高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市八校2024屆高三三模適應性檢測數學試卷一、單選題1.已知復數（為虛數單位），則（）A. B. C. D.為純虛數〖答案〗C〖解析〗對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為，的以不一定等于1，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以為實數，所以D錯誤，故選：C2.已知為等比數列，則“”是“為遞減數列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當等比數列且時，，此時不是遞減數列充分性不成立當等比數列為遞減數列時，顯然成立必要性成立綜上所述：“”是“為遞減數列”的必要而不充分條件故選3.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A.4.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據國家有關規定:血液中酒精含量達到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了三兩白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛?（）（參考數據:）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗設至少經過個小時才能駕駛，則由題意得，則，所以，所以他至少經過6個小時才能駕駛.故選：C.5.已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（）A.4 B. C. D.6〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以，即，所以①，因為，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量為單位向量，則，即，解得，則，代入②中可得，解得.故選：B6.記“的不同正因數的個數”，“的展開式中項的系數”，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以的約數有個，即，又展開式的項可以看作從個盒子中取出一個元素相乘，每個盒子中均有，，，要得到，需從個盒子中取出，個盒子中取出，個盒子中取出，所以，所以，即.故選：B7.已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗因為雙曲線，則其漸近線方程為，且，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，則直線方程，聯立直線方程，解得，所以，過點作軸的垂線，交軸于點，因為，則，則，且，即，化簡可得，則.故選：C.8.對于函數，若存在實數，使，其中，則稱為“可移倒數函”，為“的可移倒數點”.設，若函數恰有3個“可移1倒數點”，則的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，由恰有3個“可移1倒數點”，得方程恰有3個不等實數根，①當時，，方程可化為，解得，這與不符，因此在內沒有實數根；②當時，，方程可化為，該方程又可化為．設，則，因為當時，，所以在內單調遞增，又因為，所以當時，，因此，當時，方程在內恰有一個實數根；當時，方程在內沒有實數根．③當時，沒有意義，所以不是的實數根．④當時，，方程可化為，化為，于是此方程在內恰有兩個實數根，則有，解得，因此當時，方程在內恰有兩個實數根，當時，方程在內至多有一個實數根，綜上，的取值范圍為．故選：A.二、選擇題9.過拋物線的焦點的直線與相交于A，B兩點，為坐標原點，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為直線經過點，可得，即，所以，故A正確；對于B：設由，所以，所以所以所以所以與不垂直，故B不正確；，故C正確；對于D：，故D正確.故選：ACD.10.已知是函數有四個零點，記的導函數為，則（）A. B.C.在上的最小值為 D.存在，使得是奇函數〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得，所以即為系數的相反數，即，故A錯誤；即為常數項，即，故B正確；因為，所以，則在上單調遞增，又，則在恒成立，所以在單調遞減，所以，故C正確；因為，則，所以，所以的對稱中心為，所以關于對稱，即為奇函數，則，所以存在，使得為奇函數，故D正確．故選：BCD．11.在棱長為2的正方體中，為的中點，以為原點，OB，OD，OO1所在直線分別為軸、軸、軸，建立如何所示空間直角坐標系.若該正方體內一動點，滿足，則（）A.點的軌跡長為 B.的最小值為C. D.三棱錐體積的最小值為〖答案〗BC〖解析〗對于A：由可知，點在以為球心，1為半徑的球上，又由可知，點在平面上，所以點為球面與平面的交線，如圖（2）所示，在矩形中，以為圓心，1為半徑半圓，所以點的軌跡長為，故A錯誤；對于B：由投影法可得，當點在上投影最小時，向量積最小，此時點位于半圓弧中點，投影長為，所以，故B正確；對于C：因為平面，平面，所以，故C正確；對于D：因為平面，所以點到平面平面的距離為，則，由圖（2）可知當點位于半圓弧中點時，的面積最小為，所以，故D錯誤；故選：BC.三、填空題12.函數的值域是________________.〖答案〗〖解析〗因為，所以是以為周期的周期函數，當時，由，則，所以，則；當時，由，則，所以，則；綜上可得的值域為.故〖答案〗為：13.已知，則________________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，故〖答案〗為：.14.已知函數.①當時，，記前項積為，若恒成立，整數的最小值是______________;②對所有n都有成立，則的最小值是_____________.〖答案〗3〖解析〗，，，故，設，，則，故在上單調遞減，則，故當時，，則，所以，綜上，，若恒成立，整數的最小值為3，，化簡得，即，令，當時，，所以在上單調遞減，又，所以，故，解得，所以的最小值為.故〖答案〗為：3，四、解答題15.如圖，已知正方體的棱長為，，分別是和的中點.（1）求證：；（2）求直線和之間的距離；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在正方體中，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，所以，故；（2）解：因為，，所以，所以，由題意知，，，不共線，故，故知點到直線的距離即為兩條平行線和之間的距離，又，則，，，設點到直線的距離為，則，即直線和之間的距離為；（3）解：因為，，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）若，求的面積;（2）若，求使得恒成立時，實數的最小值.解：（1）因為，即，所以，即，則，所以，所以，且，由正弦定理可得，則，所以，則.（2）因為，由余弦定理可得，又，則，即，所以，化簡可得，因為，所以，所以，即，所以，當且僅當時，等號成立，又，所以，故即可，所以的最小值為.17.2006年，在國家節能減排的宏觀政策指導下，科技部在“十一五”啟動了“863”計劃新能源汽車重大項目.自2011年起，國家相關部門重點扶持新能源汽車的發展，也逐步得到消費者的認可.如下表是統計的2014年-2023年全國新能源汽車保有量(百萬輛)數據：年份代碼12345678910年份2014201520162017201820192020202120222023保有量0.120.501.091.602.613.814.927.8413.1020.41并計算得:.（1）根據表中數據，求相關年份與全國新能源汽車保有量的樣本相關系數(精確到0.01)；（2）現蘇同學購買第1輛汽車時隨機在新能源汽車和非新能源汽車中選擇.如果第1輛購買新能源汽車，那么第2輛仍選擇購買新能源汽車的概率為0.6；如果第1輛購買非新能源汽車，那么第2輛購買新能源汽車的概率為0.8，計算蘇同學第2輛購買新能源汽車的概率；（3）某汽車網站為調查新能源汽車車主用車體驗，決定從12名候選車主中選3名車主進行訪談，已知有4名候選車主是新能源汽車車主，假設每名候選人都有相同的機會被選到，求被選到新能源汽車車主的分布列及數學期望.附:相關系數：.解：（1）由，則.（2）設“第1輛購買新能源汽車”，“第1輛購買非新能源汽車”，“第2輛購買新能源汽車”，，由全概率公式得，，所以蘇同學第2輛購買新能源汽車的概率為.（3）設被選到新能源汽車車主人數為，則可能取值為，，，則被選到新能源汽車車主的分布列為，0123所以.18.已知圓，直線，直線和圓交于A，B兩點，過A，B分別做直線的垂線，垂足為C，D.（1）求實數b的取值范圍;（2）若，求四邊形ABDC的面積取最大值時，對應實數的值;（3）若直線AD和直線BC交于點，問是否存在實數，使得點在一條平行于軸的直線上?若存在，求出實數的值;若不存在，請說明理由.解：（1）圓的半徑為2，因為直線和圓交于A，B兩點，所以圓心到直線的距離，解得，則實數b的取值范圍為；（2）設，則，由得，所以，，則，因為四邊形為直角梯形，所以四邊形的面積，令，，令，解得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時四邊形ABDC的面積最大，且最大值為；（3），則，且直線、的斜率存在，由（2），，，直線，直線，聯立得，若為常數，則，其中為常數，可得，解得，所以當時點在一條平行于軸的直線上.19.已知函數.（1）時，求的零點個數;（