數學建模基礎第1頁前言第2頁一、開設數學建模課程背景1.開設數學建模是數學教育改革必定現在請各位同學回答以下兩個問題：(1)數學主要嗎，為何？(2)數學有用嗎？請舉出一些用數學知識處理實際問題例子。第3頁對于第一個問題，大家一定會毫不猶豫地回答：數學是非常主要。至于理由我猜測應該是：從小學、初中到高中、大學，從小升初、中考到高考、考研，數學從來是必考科目，而且在總分中所占比重相當高。在大學階段，許多專業學生都最少要學習高等數學、線性代數、概率統計三門課程，歷時一年半，17個學分。第4頁對于第二個問題，大家回答可能會有些矛盾：數學應該是有用，但又極難列舉出自己用數學處理有價值實例。之所以出現“數學主要，數學又似乎沒用”矛盾，原因是多方面。當然有數學比較抽象不易掌握等客觀原因，但不可否定是，長久以來數學教育中一些敝病是造成這種情況主要原因。

第5頁事實上，現在大學數學教育相當不盡如人意。一方面傳統數學已演變為數學技術、理論研究和實驗研究三足鼎立現代數學；而其次大部分教材、教學內容和教學伎倆幾十年一貫制，過于陳舊，完全沒有反映出信息時代數學作為一種技術新特點，致使學生科學計算能力和運用數學知識解決實際問題能力得不到很好培養。第6頁比如，我校工科專業一些碩士和教師在科研中碰到稍微復雜一點數學計算問題便束手無策。另外在最近幾年全國大學生數學建模競賽中，盡管我院大部分參賽選手數學成績都很好，但他們利用數學知識和數學軟件處理實際問題能力顯著不足。所以，數學教育改革已成了當務之急。第7頁為了適應新形勢需要，必須改革現有數學教育模式與內容，增強學生使用計算機與數學軟件學習數學和處理實際問題能力。數學建模課便應運而生了，能夠說數學建模是數學教育改革產物。第8頁2.開設數學建模是參加競賽需要我校于首次參加全國大學生數學建模競賽。因為缺乏指導教師和充分資金支持、建模活動不普及等原因，我校數學建模水平與省內同類院校相比相差甚遠。一直存在著參賽隊少、獲獎級別低等問題。第9頁據調查，我校數學教師中有不少愿意投身數學建模，但缺乏學習和研究建模契機；學生中也有一批數學建模興趣者，但平時苦于沒有機會接收數學建模知識系統介紹和培訓。安大、安財等建模先進院校經驗表明，開設數學建模選修課是培養指導教師和參賽選手有效路徑。數學建模選修課開設不但能夠引導教師學第10頁習、鉆研建模，而且為學生中建模興趣者提供了接收建模基礎學習、培訓機會和場所。第11頁3.學分制為開設數學建模提供了有利條件我校從級新生開始實施學分制。學分制是以學分為計量單位衡量學生完成學業情況一個彈性教學管理制度。學分制關鍵和基礎是選課制，選課制允許學生在一定范圍內自主選擇課程、教師、講課時間、修讀方式和學習進程。第12頁學分制實施給數學建模選修課開設提供了極為有利條件。在全校開設數學建模選修課，為學生中建模興趣者提供了接收建模基礎學習、培訓機會和場所，有利于數學建模活動普及，可在一定程度上改變我校在數學建模競賽上落后情況。第13頁二、課程介紹1.課程主要內容與講課方式

考慮到選修本門課程大多為非數學專業學生，他們選修本門課程主要目標不是學習數學，而是想經過本門課程學習提升應用數學知識和數學軟件處理實際問題能力。第14頁所以，除了少數數學理論問題之外，本門課程重點介紹怎樣用數學數學軟件求解經典數學模型。內容包含：慣用數學軟件介紹，重點介紹Maple和Lingo；初等模型、微分方程模型、運籌與優化模型、數據處理與統計分析、隨機模擬、圖論與網絡模型等。第15頁因為公選課尤其是數學建模不太適宜指定教科書，所以數學建模課程擬采取學生自學、學生教師課下討論與教師課堂講解相結合講課方式。首先由學生按教師要求對下次講課內容進行自學，對于疑難問題可經過適當方式與教師進行討論、交流，然后教師在課堂上對此次講課內容進行講解、總結，布置作業。第16頁2.上機練習、數學軟件使用與編程

數學建模是實踐性尤其強課程，與高等數學等課程有很大不一樣。數學建模課程中幾乎全部問題都要借助數學軟件上機完成。希望同學們對數學建模課堂中所講例題以及課后練習一定要動手上機演練，這么才能有所收獲。第17頁在數學建模中，能否熟練利用相關軟件往往比熟知數學知識更主要。因為對于許多問題而言選定數學方法并不太難，而能否用相關軟件得出正確結果往往是能否處理問題關鍵。訓練學生比較熟練地掌握各類相關數學軟件是數學建模課程主要內容之一。第18頁在充分利用現有軟件同時，我們提倡適當地自己動手編程，因為

①Matlab、Maple和Lingo等軟件功效確實強大，但它們也不是萬能。首先，對于一些問題，這些工具軟件有都求不出正確解情況。其次不能確保對任何問題都有現成工具軟件，實際上，許多當代計算方法都不可能編制成通用軟件。第19頁②即使使用數學軟件時也需要編程將軟件各功效相聯結。③在一些大型計算中，可能要求計算是“實時計算”，即計算從前一計算步驟獲取參數，計算結果后馬上傳送給后一計算步驟，全部計算都是在內存中進行。顯然，現成工具軟件對此無能為力。第20頁

④熟練使用相關科技軟件、含有一定編程水平是理工科學生所必須含有素養，從某種程度上講，后者更能反應出個人能力，而編程經驗和水平不是憑一朝一夕就能夠提升，要靠大量編程實踐和不停地日積月累。考慮到學生實際情況，本課程主要要求學生掌握1,2種慣用數學軟件基本功效，對編程無過多要求。第21頁三、學習數學建模應注意幾個問題伴隨高等教育普及化，高等學校學生和教師質量不可防止地有了一定程度下降。許多大學生知識面狹窄、自學能力差、計算機應用能力和科技論文寫作能力不強。在學習數學建模課程時要注意以下幾個方面問題：第22頁1.借助于數學建模課程學習盡可能多應用數學知識和方法，尤其是一些當代數學方法。2.在數學建模中著力提升各種動手能力，包含計算能力、編程能力、計算機軟件應用能力、科技論文寫作與編輯能力等。第23頁3.數學建模課程屬于拓寬性、啟發性、難度較大課程，學好這門課不但要有濃厚興趣，還要有較強自學能力和不怕困難毅力。我們有理由相信，只要你有興趣、花功夫、不怕難，經過數學建模課程學習,就一定能拓展知識面，提升應用數學和計算機處理實際問題能力。第24頁最終要說明是，今年數學建模是首次做為全校公共選修課，面向來自不一樣專業、學習心態各異學生，我們缺乏足夠經驗。前面提到一些構想可能只是我們一廂情愿，不一定得以實現。假如各位能從課堂上學到一點點有用東西，或者能從課下我們交流中取得一絲有益啟示，我認為這門課就沒有完全失敗。第25頁四、參考書目①趙靜，但琦.數學建模與數學試驗(第3版)，高等教育出版社，；②何青，王麗芬.Maple教程，科學出版社，；③謝金星，薛毅.優化建模與Lingo軟件，清華大學出版社，；④周建興等.Matlab從入門到精通，人民郵電出版社，；第26頁⑤數學建模，Matlab，Maple，Lingo電子版資料。郵箱：austmathmodeling@163.com

MM：matlabmaple第27頁數學軟件Maple介紹第28頁一、慣用數學軟件介紹當前在科學研究與工程計算中慣用數學軟件約30余個，可分為通用與專用兩大類。專用軟件主要是為處理數學中某個分支特殊問題而設計。第29頁慣用專用軟件有:1.SAS和SPSS(統計分析)；2.Lindo、Lingo和CPLEX(運籌與優化計算)；3.Cayley和GAP(群論研究)；4.PARI(數論研究)；5.Origin(科技繪圖與數據分析)；6.DELiA(微分方程分析)；7.ANSYS(有限元計算)。第30頁

通用軟件普通能夠求解數學許多分支中大部分問題。通用軟件又可分為數值計算型與解析計算型。慣用通用型數值計算軟件有：

Matlab、Xmath、Gauss、MLAB等。慣用通用型解析計算軟件有：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。第31頁Matlab、Mathematica、Maple與另一個面向大眾普及型數學軟件Mathcad并稱數學軟件中“四大天王”。第32頁Matlab意思為“矩陣試驗室”，是美國計算機科學家CleveMoler在70年代末開發出以矩陣數值計算為主數學軟件，如今已發展成為融科技計算、圖形可視化與程序語言為一體功效強大通用數學軟件。Matlab最突出特點是其帶有一系列“工具包”，可廣泛應用于自動控制、信號處理、數據分析、通訊系統和動態仿真等領域。高版本Matlab也可進行符號計第33頁符號計算，不過它代數運算系統是從解析計算軟件Maple移植而來。當前,Matlab最高版本為Rb(3.69G)。Mathematica是美國物理學家StephenWolfram開發第一個將符號計算、數值計算和圖形顯示很好地結合在一起數學軟件，在國內較為流行，擁有廣泛用戶。它最大優點是帶有圖形用戶接口計算機上Mathematica支持一個專用Notebook第34頁接口。經過Notebook接口，能夠顯示輸出結果、圖形、動畫和聲音等。Mathematica另一個特點是它能夠和C、Excel、Word等相互調用。

Mathcad是MathSoft企業在80年代開發一個交互式數學文字軟件，與Matlab和Mathematica不一樣是，該軟件市場定位是:向廣大教師、學生、工程技術人員提供一個兼備文字、數學和圖形處理能力集第35頁集成工作環境，而并不致力于復雜數值計算與符號計算問題，含有面向大眾普及特點。不過，現在Mathcad計算能力已遠超出了其早期設計目標。SPSS(社會科學統計軟件包)是世界著名統計分析軟件之一。SPSS基本功效包含數據管理、統計分析、圖表分析、輸出管理等。其過程包含描述性統計、均值比較、普通線性模型、相關分析、回歸第36頁分析、聚類分析、生存分析、時間序列分析等。SPSS中還有專門繪圖系統，能夠依據數據繪制各種圖形。Origin是與SigmaPlot和Axum齊名科技繪圖和數據處理軟件。Origin除了能夠很方便地畫出各種二維和三維圖形外，它最突出功效是曲線擬合。它不但能夠用內置上百種函數很方便地進行曲線擬合,而且能夠依據用戶需要添加線型。第37頁

Lindo是美國芝加哥大學Schrage教授開發專門用于求解數學規劃專用軟件包，版權現歸屬于美國Lindo系統企業。Lindo包含Lindo、Gino、Lingo、LingoNL和“What’sBest”等多個組件，這些組件統稱為Lindo，其中Lindo和Lingo最為慣用。

Lindo可求解線性規劃、整數規劃和二次規劃；Lingo除了能夠求解線性規劃、整數規劃和二次規劃外，還能夠求解非線第38頁性規劃和線性、非線性方程組。除此之外,Lingo還包含了內置建模語言和一些慣用數學函數，能夠簡便、直觀地描述大規模優化問題。Lingo有各種版本，如學生版、演示版、高級版、發行版、工業版等，其主要區分在于對優化規模(變量和約束個數)有不一樣限制。第39頁Maple是加拿大Waterloo大學符號計算研究小組于80年代初開始研發，1985年才面世計算機代數軟件，起初并不為人們所注意。但MapleVrelease2于1992年面世后，人們發覺它是一個功效強大、界面友好計算機代數系統。伴隨版本不停更新，Maple已日益得到廣泛認可和歡迎，用戶越來越多，聲譽越來越高。從1995年二、Maple介紹第40頁以后，Maple一直在IEEE數學軟件評選中居符號計算軟件第1名。當前，Maple最高版本為MapleVrelease14.01。Maple是一個開放計算機代數系統，主要由用戶界面、代數運算器和外部函數庫三部分組成。用戶界面負責輸入數學表示式初步處理、運算結果和圖像顯示等。代數運算器進行輸入編譯及基本代數運算。外部函數庫中包含數千個數學第41頁函數和過程，幾乎涵蓋了數學全部分支Maple支持函數、序列、集合、列表、數組、表等各種數據結構。用戶能夠查看其非內部函數源程序，也能夠將自己編和函數、過程添加到函數庫中或建立自己函數庫。Maple一個突出特點是界面非常友好。它有一個非常好幫助系統，能夠很方便地查找函數和命令使用方法。第42頁

總之，Maple是一個功效強大、輕易掌握、不停發展數學解析軟件。有了良好數學基礎加上Maple就能使你如虎添翼，有能力和信心去處理各種各樣數學計算問題。第43頁第一章Maple初步1.1Maple安裝與開啟不一樣版本Maple安裝過程略有不一樣，有版本需要序列號。Maple工作環境是經典windows界面，下面給出Maple7(序列號1210)經典界面和Maple14新界面。第44頁第45頁第46頁1.2Maple命令輸入與顯示1.>命令提醒符；大小寫敏感。2.Maple命令以；或：結尾，以；結尾顯示結果，而以：結尾則不顯示結果。3.Maple賦值號為：=。4.光標放在命令行任意位置，然后回車即可運行此命令；在書寫命令時如需換行，須按Shift+回車。第47頁1.3Maple數值與解析計算Maple可進行無誤差符號計算和高精度數值計算。比如，100!,Pi,sqrt(2),sin(3)。1.4Maple圖形顯示1.普通函數做圖plot(f(x),x=a..b,option);plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,option);第48頁2.極坐標做圖plot([sin(3*x),x,x=-2*Pi..2*Pi],cords=polor);3.隱函數做圖implicitplot(表示式,x=a..b,y=c..d);with(plots);impliciplot(y=sin(x+y),x=1..20,y=-1..1);4.參數方程做圖plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);第49頁5.同一坐標系中做多圖方法1:plot([f1(x),…,fn(x)],x=a..b);plot([x^3-6*x+2,3*x^2-6],x=-5..5):切勿與參數方程做圖混同.方法2:F1:=plot():F2:=plot():…Fn:=plot():Display(F1,…,Fn);第50頁with(plots):F:=plot([cos(x),sin(x),x=0..2*Pi]):G:=plot([cos(x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi):display(F,G):1.5Maple微積分計算1.解方程solve(f(x),x);求解析解fsolve(f(x),x);求全部實數數值解第51頁fsolve(f(x),x,complex);求全部復數數值解2.求極限limit((tan(x)-sin(x))/x^3,x=0);limit(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x),x=infinity);3.求導數diff((x/(1+x))^x,x);diff(sin(x),x$2);diff(ln(tan(x/y)),x,y);第52頁simplify(diff(ln(tan(x/y)),x,y));implicitdiff(y=sin(x+y),y,x);4.求積分int(exp(-x)*cos(x),x);int(sqrt(1+cos(2*x),x=0..Pi);5.解微分方程dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(x));dsolve({diff(y(x),x)=x+y(x),y(0)=2},y(x));dsolve({diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)^2,x(0)=0,D(x)(0)=200});第53頁1.6Maple線性代數計算1.矩陣轉置transpose(A);2.矩陣取行列式det(A);3.矩陣加法evalm(A+B);4.矩陣乘法evalm(A&*B);5.求特征值eigenvals(A);6.求特征向量eigenvects(A);第54頁1.7Maple幫助功效

Maple有非常強大、完善在線幫助功效。Maple可經過Introduction,TopicSearch和鍵盤命令等方式尋求幫助。比如，?interp;?dsolve;第55頁1.8Maple函數庫Maple有數以千計函數，這些函數被分成四大類:標準庫、混合庫、專用軟件包和共享軟件包。1.標準庫標準庫分為內部函數、外部函數和惰性函數三類。內部函數在Maple內核中，不能查看其代碼。外部函數和惰性函數能夠查看第56頁其代碼。惰性函數主要用來顯示函數名。2.混合庫混合庫中存放是不太慣用函數，系統開啟時不自動調入內存。需要用時需用命令readlib(函數名)調入。3.專用軟件包Maple有幾十個專用軟件包，分別處理不一樣數學分支問題。第57頁專用軟件包在使用時要用命令with(軟件包名)調入。4.共享庫共享庫是由Maple興趣者開發軟件包。這些程序用戶可上網搜尋。第58頁第一次作業1.安裝Maple軟件；2.自學Maple相關資料(PPT,word,pdf)，初步掌握Maple基本操作。第59頁第二章Maple語言基礎Maple是一個可編程數學環境。本章介紹Maple符號集、語句、表示式、基本數據類型以及基本程序語言。2.1標識符與變量名2.1.1標識符標識符是語言基本元素。Maple第60頁標識符由26個大小寫字母、10個數字字符以及一些特殊符號組成(P49)。2.1.2變量名變量名第一個符號必須是字母，后面能夠跟字母、數字、下劃線。Maple中關鍵詞是系統內部使用字符串，不能作為變量名。另外，內部函數名也不能作為變量名。第61頁2.2語句和表示式2.2.1語句類型1.賦值語句變量名:=表示式注:初學者最輕易犯錯誤是將賦值號“:=”誤寫為“=”。2.條件語句if條件then語句組fi第62頁if條件then語句組else語句組fiif條件then語句組elif條件then語句組fiif條件then語句組elif條件then語句組else語句組fi3.循環語句for循環變量名from初值by步長to終值do語句組od第63頁

考查以下程序中循環和條件語句。restart:n:=10000:count:=0:forifrom1tondor1:=rand(0..1):r2:=rand(0..1):ifr1()=1orr2()=1thencount:=count+1:fi:od:prizeA:=1000*evalf(count/n);第64頁2.2.2表示式Maple表示式由常數、變量、函數、運算符和括號等組成。比如，1.序列、列表、集合；(第五章)2.尤其運算符：復合@、自復合@@、取模mod。比如，(sin@ln)(x)結果為sin(ln(x))；(ln@@2)(x)結果為ln(ln(x))；第65頁10mod3結果為1。考查以下程序中復合運算。restart:f:=x->x^3-3*x-1:plot(f(x),x=-3..3);fsolve(f(x));x:=-4:n:=9:g:=x->x-(x^3-3*x-1)/(3*x^2-3):第66頁forifrom1tondox:=evalf((g@@i)(x)):od;3.布爾表示式和邏輯運算Maple中關系運算符為<,<=,>,>=,=,<>；邏輯運算符為and,or,not。“表示式關系運算符表示式”稱為關系式，其值為true或false。第67頁由關系式、邏輯運算符和括號組成表示式稱為布爾表示式。比如，a:=1;b:=2;c:=3;a>b,c>b;false,truea>bandc>bfalse考查第38張幻燈片程序中邏輯表示式。

4.過程與函數(第五章)第68頁2.3類型與判別Maple含有豐富表示式、函數和數據類型，以適應不一樣數學領域和用戶要求。看一個表示式是什么類型，除憑經驗外，還可用命令type對變量類型進行判別,用命令whattype對表示式類型進行問詢。2.3.1判別類型命令

函數type(表示式,類型)判別此表示式第69頁是否屬于該類型。屬于時函數值為1，不然為0。比如，type(5,float)值為false。Maple中全部表示式類型見P57。2.3.2類型問詢函數whattype(表示式)返回表示式基本數據類型。Maple中基本數據類型見P57。第70頁比如，whattype(x-y)值為+，whattype(x^y)值為^。2.4基本數據類型本節介紹一些慣用基本數據類型：整數(integer),分數(fraction),浮點數(float),常數(constant),函數(functions),復數(complex),代數數(algebraicnumber)。下一章將深入介紹慣用復合數據類型。第71頁2.4.1整數、分數Maple能夠計算和表示最大整數長度為2^19-1=524279位。慣用整數運算函數見P58。Maple分數計算是符號計算，Maple在處理含有分數表示式時，自動地對分數進行約分，將分母表示成正整數。2.4.2浮點數、符號常數第72頁浮點數通常指帶有小數數，它運算不屬于符號運算。1.浮點數有常規和指數兩種表示法。比如，314.5和3.145e2。2.可用命令evalf(表示式,精度)求表示式浮點數。比如，evalf(22/7,20)。3.Maple默認浮點精度為10，可用第73頁命令“Digits:=精度”進行重新設置。比如，Digits:=40;evalf(22/7);Maple對數學中主要常數做了特殊定義。注：Maple各版本中定義略有不一樣。2.4.3復數、代數數

Maple用I代表虛數單位，如1+3*I。復數慣用運算有Re(取實部)、Im(第74頁取虛部)、argument(求幅角)、conjugate(求共軛)。代數數是指有理多項式方程根。代數數計算是符號計算。2.5Maple程序語言用本章介紹語句能夠編制出簡單Maple程序。

下面給出用數值積分計算程序。第75頁因為，只要計算出右邊積分，即可得到值。我們分別采取數值分析中復化梯形公式和復化Simpson公式計算。復化梯形公式：復化Simpson公式：第76頁Pi:=evalf(Pi,50);a:=0:b:=1:n:=1000:f:=x->4/(1+x^2):Pi1:=evalf((b-a)/n*(sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+(f(a)+f(b))/2),50);Pi2:=evalf((b-a)/6/n*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+4*sum(f(a+(i+1/2)*(b-a)/n),i=0..n-1)),50);第77頁1.在同一坐標系中作出和它Taylor展式前項組成多項式圖象。對不一樣，觀察多項式迫近情形,并經過計算證實Taylor級數收斂于。2.對不一樣n，畫出在上圖象。經過觀察圖像猜測當時，這個函數趨向于什么函數，并證實之。第78頁第三章Maple復合數據類型本章深入介紹Maple語言數據結構，包含慣用復合數據類型、函數定義方法和函數運算。最終介紹復合數據三個主要命令：代換(subs)，映射(map)和轉換(convert)。第79頁3.1序列、集合、列表序列、集合和列表是三種最慣用復合型數據類型。本節介紹它們使用和相互轉換方法。3.1.1序列(sequence)形以以下類型數據稱為序列。表示式1,表示式2,…,表示式n比如，1,2,3和x,y,z均為序列。第80頁1.序列是Maple中一個基本數據結構，可用于函數、集合、列表等語句中。比如，f(1,2,3)(三元函數),{x,y,z}(集合),[a,b,c](列表)。2.兩個序列可用逗號連成一個序列。比如，a:=1,2,3;b:=4,5,6;，則語句c:=a,b;產生序列是1,2,3,4,5,6。3.可用函數seq、$、op生成序列。第81頁(1)seq(f(i),i=m..n)生成序列f(m),f(m+1),…,f(n)。(2)語句“表示式$n”表示將表示式重復n次，即生成序列“表示式,…,表示式”。比如，a$3生成序列a,a,a。語句“表示式(i)$i=m..n”表示生成序列“表示式(m),…,表示式(n)”。比如，i^2$i=1..4生成序列1,4,9,16。第82頁語句“$m..n”等價于語句“i$i=m..n”，即生成序列“m,m+1,…,n”。比如，$1..4生成序列1,2,3,4。(3)op([列表])生成列表。比如，op([x,y,z])生成列表x,y,z。(4)可用命令“序列名[i]”提取序列第i項。比如，s:=1,2,3;s[3];結果是3。第83頁(5)連接算子||可將兩個序列按一定法則連接，產生一個新序列。若s為一序列，則a||s能夠把a綴于s每一元素前。比如，s:=1,2,3;a||s;生成序列a1,a2,a3。3.1.2列表(list)用一對方括號括起以逗號分隔一組Maple對象即[序列]稱為列表。比如，[1,2,3]即為一列表。第84頁(1)列表元素是有序，能夠重復。比如，[1,2]和[2,1]、[1,2]和[1,2,2]是不一樣列表。(2)可用“列表名[i..j]”提取列表第i到第j個元素。比如，L:=[$1..10]:L[5];L[1..3];結果分別為5和1,2,3。(3)op(L)表示提取列表全部操作數即第85頁元素，亦即將列表轉換為序列。(4)nops(L)表示求列表中元素個數即列表長度。比如，L:=[1,2,3,4]:nops(L)結果為4。(5)[op(L),x]表示在列表后面附加一個元素x；subsop(i=x,L)表示將列表L中第i個元素換成x；subsop(i=NULL,L)表示消去列表L中第i個元素。第86頁3.1.3集合(set)用一對花括號括起以逗號分隔一組Maple對象即{序列}稱為集合。比如，{x,y,z}即為一集合。(1)列表元素是無序。元素能夠重復，但運行后重復元素只保留一個。比如，[1,2]和[2,1]、[1,2]和[1,2,2]是相同集合。第87頁(2)可用“集合名[i..j]”提取集合第i到第j個元素。(3)可用命令op(S)、[op(S)]將集合S分別轉換為序列和列表，但在轉換時去除重復元素。(4)集合運算有union(并)、intersect(交)、minus(差)、member(組員判別)。第88頁第一章數學建模介紹一、數學模型與數學建模數學模型與數學建模是用數學描述和處理實際問題產物。數學模型就是對于現實世界一個特定問題，為了某種目標，依據其內在規律,經過必要抽象簡化，利用適當數學工具，得到一個數學結構。

第89頁通俗地說，數學模型就是描述實際問題某方面規律數學公式、圖形或算法。

例1設一根勻質鏈條，懸掛在一個無摩擦釘子上。鏈條從靜止開始運動，運動開始時一端下垂8厘米，另一端下垂12厘米，求鏈條運動方程。第90頁第91頁

解設鏈條密度為，在時刻鏈條下滑長度為，由牛頓定理，，。第92頁數學建模是利用數學方法處理實際問題一個實踐，即經過抽象、簡化、假設等處理過程后，將實際問題用數學方式表示，建立起數學模型，然后利用先進數學方法及計算機技術進行求解。比如，用常微分方程中方法或數學軟件可求出例1中運動方程為。第93頁數學建模其實并不是什么新東西，能夠說有了數學并需要用數學去處理實際問題，就一定要用數學語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃數學表述就是一個數學模型，其過程就是數學建模過程。

第94頁二、數學建模過程及要求學習數學建模基本目標在于學會怎樣利用有效數學知識、計算工具和科學試驗伎倆來創造性地處理實際問題。數學建模基本組成部分為：(1)用適當數學方法對實際問題進行描述；(2)數學模型求解；(3)結果分析和模型檢驗。第95頁很好數學模型通常含有以下特點：考慮問題較全方面，含有獨到性或創新性，結果合理，穩定性好，適用性強。第96頁實際問題問題分析數學模型模型求解模型驗證實際使用正確修正數學建模基本過程第97頁1.數學建模中慣用數學知識

數學建模通常需要具備微積分、微分方程、概率統計(隨機模擬、方差分析、回歸分析)、數值計算方法(插值、擬合、數值積分)、運籌優化(線性規劃、整數規劃)、圖論(最短路、網絡流)、神經網絡、層次分析法、含糊數學等相關知識。第98頁不過，數學建模并不要求學生對上述知識精通(不現實也不可能)。同學們只要對上述知識有所了解，對所面臨問題知道用什么知識和方法處理就能夠了。第99頁2.求解數學模型慣用軟件

在求解數學模型時，要充分利用先進計算工具和計算軟件。提議熟悉和掌握以下慣用軟件：Matlab（功效強大數值計算軟件）Maple（方便實用解析計算軟件）SPSS或SAS（專業統計分析軟件）Lingo（專業運籌與優化軟件）第100頁3.結果分析和模型檢驗

一個高質量數學建模要求對計算結果進行合理性分析，對模型進行準確性檢驗。對結果分析包含誤差分析、靈敏性與穩定性分析等。在對模型進行檢驗時，要采取不一樣方法檢驗。比如，模型求解時采取是解析法或數值法，模型檢驗時可采取計算機仿真或模擬法。第101頁三、數學模型分類依據數學模型數學特征和應用范圍,普通有以下幾個分類方法：1.依據模型應用領域，數學模型可分為人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、生理模型、城鎮規劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。第102頁2.按研究方法和對象數學特征，數學模型可分為初等模型、微分方程模型、網絡圖論模型、規劃與優化模型、統計模型等。3.依據模型數學特征，數學模型可分為離散與連續模型、確定性與隨機性模型、線性與非線性模型、靜態與動態模型等。第103頁4.根據建模目，數學模型又可分為分析、預測、決策、控制和優化模型等。第104頁微積分與微分方程建模第105頁

因為選課絕大多數學生僅學過微積分、線性代數和概率論，所以我們首先介紹一些只用一元、多元函數微積分以及微分方程即可處理簡單建模問題。

第106頁例1設一根勻質鏈條，懸掛在一個無摩擦釘子上。鏈條從靜止開始運動，運動開始時一端下垂8厘米，另一端下垂12厘米，求整個鏈條滑過釘子所用時間。

第107頁第108頁

解設鏈條密度為，在時刻鏈條下滑長度為，由牛頓定理，，。。第109頁不是特征根，設，代入求得，。由，即,得，。

。x=8時，時間。第110頁restart:a:=12:b:=8:dsolve({diff(x(t),t$2)-x(t)*g/(a+b)+(a+b-x(t))*g/(a+b),x(0)=a,D(x)(0)=0});solve(a+b=rhs(%),t);第111頁例2一粒子彈以速度v=200m/s打進一厚度為0.1m板。已知穿出板速度為80m/s，若板對子彈阻力與速度平方成正比，問子彈穿過板用了多少時間？第112頁第113頁

解由題意知，

。假設子彈過板所用時間為T，則，。第114頁restart:dsolve({diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)^2,x(0)=0,D(x)(0)=200});solve({0.1=rhs(%),80=diff(rhs(%),t)},{t,k});第115頁例3曲柄滑塊機構運動規律曲柄滑塊是一個慣用機械結構，它將曲柄轉動轉化為滑塊在直線上往復運動，是氣壓機、沖床、活塞式水泵等機械主機構。下面為其示意圖：第116頁第117頁記曲柄OQ長為r，連桿QP長為l。當曲柄繞固定點O以角速度旋轉時，由連桿帶動滑塊P在水平槽內作往復直線運動。假設初始時刻曲柄端點Q位于水平線段OP上，曲柄從初始位置起轉動角度為，連桿QP與OP銳夾角為(稱為擺角)。第118頁在機械設計中要研究滑塊運動規律和擺角改變規律，確切地說，要研究滑塊位移、速度和加速度關于函數關系，擺角及其角速度和角加速度關于函數關系，進而第119頁(1)求出滑塊行程，即滑塊往復運動時左右極限位置；(2)求出滑塊最大,最小加速度(絕對值)，以了解滑塊在水平方向上作用力；(3)求出最大,最小加速度(絕對值)，以了解連桿轉動慣量對滑塊影響。設。第120頁解取O點為坐標原點，OP方向為x軸正方向，P在x軸上坐標為x，則，。(1)由上式即可得出滑塊往復運動時左右極限位置。因為，故有而，第121頁所以(2)由上式可求出滑塊最大和最小加速度。第122頁又，得，

第123頁(2)由上式可求出最大和最小加速度。第124頁restart:x:=theta->r*cos(theta)+sqrt(l^2-r^2*sin(theta)^2):v:=diff(x(theta),theta):a:=diff(x(theta),theta$2):r:=100:l:=3*r:omega:=240:plot(x(theta),theta=0..Pi,y=0..400);plot(