第6章一元一次方程

6.1從實際問題到方程

教學目的

1.通過對多個實際問題的分析，使學生體會到?元一次方程作為實際問題的數學模型的作用。

2.使學生會列一元一次方程解決一些簡單的應用題。

3.會判斷一個數是不是某個方程的解。

重點、難點

1.重點：會列一元一次方程解決一些簡單的應用題。

2.難點：弄清題意，找出“相等關系”。

教學過程

一、復習提問

小學里已經學過列方程解簡單的應用題，讓我們回顧一下，如何列方程解應用題？

例如：一本筆記本1.2元。小紅有6元錢，那么她最多能買到兒本這樣的筆記本呢？

解：設小紅能買到工本筆記本，那么根據題意，得

1.2x=6

因為12X5=6,所以小紅能買到5本筆記本。

二、新授：

我們再來看下面一個例子：

問題1：某校初中一年級328名師生乘車外出春游，已有2輛校車可以乘坐64人，還需租用44座的

客車多少輛？

問：你能解決這個問題嗎?有哪些方法？

(讓學生思考后，回答，教師再作講評)

算術法：(328—64)+44=264+44=6(輛)

列方程解應用題：

設需要租用x輛客車，那么這些客車共可乘44x人，加上乘坐校車的64人，就是全體師生328人，

可得。

44x+64=328(1)

解這個方程，就能得到所求的結果。

問：你會解這個方程嗎?試試看？

(學生可能利用逆運算求解，教師加以肯定，同時指出本章里我們將要學習解方程的另一種方法。)

問題2：在課外活動中，張老師發現同學們的年齡大多是13歲，就問同學：“我今年45歲，幾年以后

你們的年齡是我年齡的三分之一?”

小敏同學很快說出了答案。“三年”。他是這樣算的：

1年后，老師46歲，同學們的年齡是14歲，不是老師的三分之一。

2年后，老師47歲，同學們的年齡是15歲，也不是老師的三分之一。

3年后，老師48歲，同學們的年齡是16歲，恰好是老師的三分之一。

你能否用方程的方法來解呢？

通過分析，列出方程：13+x=，(45+x)(2)

3

問：你會解這個方程嗎?你能否從小敏同學的解法中得到啟發？

這個方程不像例1中的方程(1)那樣容易求出它的解，小敏同學的方法啟發了我們，可以用嘗試，檢驗

的方法找出方程(2)的解。也就是只要將x=l,2,3,4,……代人方程(2)的兩邊，看哪個數能使兩邊的值

相等，這個數就是這個方程的解。

把x=3代人方程(2),左邊=13+3=16,右邊=(45+3)=X48=16,

因為左邊=右邊，所以x=3就是這個方程的解。

這種通過試驗的方法得出方程的解，這也是一種基本的數學思想方法。也可以據此檢驗一下一個數是

不是方程的解。

問：若把例2中的“三分之一”改為“二分之一”，那么答案是多少？

同學們動手試一試，大家發現了什么問題？

同樣，用檢驗的方法也很難得到方程的解，因為這里x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整數,

該從何試起?如何試驗根本無法人手，又該怎么辦？

這正是我們本章要解決的問題。

三、鞏固練習

1.教科書第3頁練習1、2。

2.補充練習：檢驗下列各括號內的數是不是它前面方程的解。

(l)x—3(x+2)=6+x(x=3,x=—4)

(2)2y(y—1)=3(y=—1,y=2)

(3)5(x—l)(x—2)=0(x=0,x=l,x=2)

四、小結。本節課我們主要學習了怎樣列方程解應用題的方法，解決一些實際問題。談談你的學習體會。

五、作業。教科書第3頁，習題6.1第1、3題。

6.2解一元一次方程

1.方程的簡單變形

教學目的

通過天平實驗，讓學生在觀察、思考的基礎上歸納出方程的兩種變形，并能利用它們將簡單的方程變

形以求出未知數的值。

重點、難點

1.重點：方程的兩種變形。

2.難點：由具體實例抽象出方程的兩種變形。

教學過程

一、引入

上一節課我們學習了列方程解簡單的應用題，列出的方程有的我們不會解，我們知道解方程就是把方

程變形成x=a形式，本節課，我們將學習如何將方程變形。

二、新授

讓我們先做個實驗，拿出預先準備好的天平和若干祛碼。

測量一些物體的質量時，我們將它放在天干的左盤內，在右盤內放上祛碼，當天平處于平衡狀態時，

顯然兩邊的質量相等。

如果我們在兩盤內同時加入相同質量的祛碼，這時天平仍然平衡，天平兩邊盤內同時拿去相同質量的

祛碼，天平仍然平衡。

如果把天平看成一個方程，課本第4頁上的圖，你能從天平上祛碼的變化聯想到方程的變形嗎？

讓同學們觀察圖6.2.1的左邊的天平；天平的左盤內有一個大祛碼和2個小祛碼，右盤上有5個小祛

碼，天平平衡，表示左右兩盤的質量相等。如果我們用x表示大祛碼的質量，1表示小祛碼的質量，那么

可用方程x+2=5表示天平兩盤內物體的質量關系。

問：圖6.2.1右邊的天平內的祛碼是怎樣由左邊天平變化而來的?它所表示的方程如何由方程x+2=5

變形得到的？

學生回答后，教師歸納：方程兩邊都減去同一個數，方程的解不變。

問：若把方程兩邊都加上同一個數，方程的解有沒有變?如果把方程兩邊都加上(或減去)同一個整式呢?

讓同學們看圖6.2.2o左天平兩盤內的祛碼的質量關系可用方程表示為3x=2x+2,右邊的天平內的祛

碼是怎樣由左邊天平變化而來的？

把天平兩邊都拿去2個大祛碼，相當于把方程3x=2x+2兩邊都減去2x,得到的方程的解變化了嗎?

如果把方程兩邊都加上2x呢？

山圖6.2.1和622可歸結為；

方程兩邊都加上或都減去同一個數或同一個整式，方程的解不變。

讓學生觀察(3),山學生自己得出方程的第二個變形。

即方程兩邊都乘以或除以同一個不為零的數，方程的解不變：

通過對方程進行適當的變形.可以求得方程的解。

例1.解下列方程

(l)x-5=7(2)4x=3x-4

解：⑴兩邊都加上5,得x=7+5即x=12

(2)兩邊都減去3x,得x=3x—4—3x即x=-4

請同學們分別將x=7+5與原方程x-5=7；x=3x—4—3與原方程4x=3x—4比較，你發現了這些方

程的變形。有什么共同特點？

這就是說把方程兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，就相當于把方程中的某些項改變符號后，

從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。

注意："移項''是指將方程的某一項從等號的左邊移到右邊或從右邊移到左邊，移項時要先變號后移

項。

例2.解下列方程

31

(1)—5x=2(2)-x=-

23

這里的變形通常稱為“將未知數的系數化為1”。

以上兩個例題都是對方程進行適當的變形，得到x=a的形式。

練習：

課本第6頁練習1、2、3。

練習中的第3題，即第2頁中的方程①先讓學生討論、交流。

鼓勵學生采用不同的方法，要他們說出每一步變形的根據，由他們自己得出采用哪種方法簡便，體會

方程的不同解法中所經歷的轉化思想，讓學生自己體驗成功的感覺。

三、鞏固練習

教科書第7頁，練習

四、小結

本節課我們通過天平實驗，得出方程的兩種變形：

1.把方程兩邊都加上或減去同一個數或整式方程的解不變。

2.把方程兩邊都乘以或除以(不等零)的同一個數，方程的解不變。第①種變形又叫移項，移項別忘了

要先變號，注意移項與在方程的一邊交換兩項的位置有本質的區別。

五、作業

教科書第7—8頁習題6.2.1第1、2、3。

2、解一元一次方程

第一課時

教學目的

1.了解一元一次方程的概念。

2.掌握含有括號的一元一次方程的解法。

重點、難點

1.重點；解含有括號的一元一次方程的解法。

2.難點；括號前面是負號時，去括號時忘記變號。

教學過程

一、復習提問

1.解下列方程：

(l)5x-2=8(2)5+2x=4x

2.去括號法則是什么？“移項”要注意什么？

二、新授

一元一次方程的概念

前面我們遇到的一些方程，例如44x+64=3283+x=(45+x)y—5=2y+l問：大家觀察這些方程,

它們有什么共同特征？

(提示：觀察未知數的個數和未知數的次數。)

只含有一個未知數，并且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1,這樣的方程叫做一元一次

方程。

例1.判斷下列哪些是一元一次方程

x=3x—2x-3=-1

5x2—3x+l=02x+y=l—3y=5

下面我們再一起來解幾個一元一次方程。

例2.解方程⑴-2(x-l)=4

(2)3(x-2)+l=x-(2x-l)

方程(1)該怎樣解?由學生獨立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括號求解，也可以看作關于(X-1)的一元一次方程進行求解。

第(2)題可由學生自己完成后講評，講評時，強調去括號時把括號外的因數分別乘以括號內的每一項，

若括號前面是“一”號，注意去掉括號，要改變括號內的每一項的符號。

補充例題：解方程3x—[3(x+l)—(1+4)]=1

方程中有多重括號，你會解這個方程嗎？

說明：方程中有多重括號時，?般應按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法去括號，每去

一層括號合并同類項一次，以簡便運算。

三、鞏固練習

教科書第9頁，練習，1、2、3。

四、小結

本節課我們學習了一元一次方程的概念，并學習了含有括號的一元一次方程的解法。用分配律去括號

時，不要漏乘括號中的項，并且不要搞錯符號。

五、作業

教科書第12頁習題6.2,2第1題。

第二課時

教學目的：

使學生掌握去分母解方程的方法，并從中體會到轉化的思想。對于求解較復雜的方程，要注意培養學

生自覺反思求解的過程和自覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣。

重點、難點

1、重點：掌握去分母解方程的方法。

2、難點：求各分母的最小公倍數，去分母時，有時要添括號.

教學過程

一、復習提問

1.去括號和添括號法則。

2.求幾個數的最小公倍數的方法。

二、新授

x-32x+1

例1：解方程m------------1

23

分析：如何解這個方程呢?此方程可改寫成

3(x-3)-2(2x+l)

------------------=1

6

所以可以去括號解這個方程，先讓學生自己解。

同學們，想一想還有其他方法嗎?能否把方程變形成沒有分母的一元一次方程，這樣，我們就可以用

已學過的方法解它了。

解法二；把方程兩邊都乘以6,去分母。

比較兩種解法，可知解法二簡便。

想一想，解一元一次方程有哪些步驟？

先讓學生自己總結，然后互相交流，得出結論。

解一元一次方程，?般要通過去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數的系數化為1等步驟，把

一個一.元一次方程，，轉化”成x=a的形式。解題時，要靈活運用這些步驟。

補充例2：解方程遼”=_L——

523

問：如果先去分母，方程兩邊應同乘以一個什么數？

應乘以各分母的最小公倍數，5、2、3的最小公倍數。

三、鞏固練習

教科書第10頁，練習1、2。

(練習第1題是辨析題，引導學生進行分析、討論，幫助學生在實踐中自我認識和糾正解題中的錯誤)

四、小結

1.解一元一次方程有哪些步驟？

2.同學們要靈活運用這些解法步驟，掌握移項要變號，去分母時，方程兩邊每一項都要乘各分母的

最小公倍數，切勿漏乘不含有分母的項，另外分數線有兩層意義，?方面它是除號，另一方面它又代表著

括號，所以在去分母時，應該將分子用括號括上。

五、作業

教科書第12頁習題6.2.2第2題。

第三課時

教學目的：

理解一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟；并會列一元一次方程解簡單應用題。

重點、難點

1、重點：弄清應用題題意列出方程。

2、難點：弄清應用題題意列出方程。

教學過程

一、復習

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理論根據是什么？

二、新授。

例1、如圖6.2.4(課本第10頁)天平的兩個盤內分別盛有51克，45克食鹽，問應該從盤A內拿出

多少鹽放到月盤內，才能兩盤所盛的鹽的質量相等？

先讓學生思考，引導學生結合填表，體會解決實際問題，重在學會探索：已知量和未知量的關系，主

要的等量關系，建立方程，轉化為數學問題。

分析：設應從A盤內拿出鹽X,可列表幫助分析。

等量關系；A盤現有鹽=3盤現有鹽

完成后，可讓學生反思，檢驗所求出的解是否合理。

(盤A現有鹽為51—3=48,盤B現有鹽為45+3=48。)

培養學生自覺反思求解過程和自覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣。

例2.學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚，初一同學每人搬6塊，其他年級同學每人搬8塊，

總共搬了400塊，問初一同學有多少人參加了搬磚？

引導學生弄清題意，疏理已知量和未知量：

1.題目中有哪些已知量？

(1)參加搬磚的初一-同學和其他年級同學共65名。

(2)初一同學每人搬6塊，其他年級同學每人搬8塊。

(3)初?和其他年級同學一共搬了400塊。

2.求什么？

初一同學有多少人參加搬不專？

3.等量關系是什么？

初一同學搬磚的塊數十其他年級同學的搬碗數=400

如果設初一同學有工人參加搬磚，那么由己知量(1)可得，其他年級同學有(65-x)人參加搬磚；再

由已知量(2)和等量關系可列出方程

6x+8(65—x)=400

也可以按照教科書上的列表法分析

三、鞏固練習

教科書第11頁練習1、2、3

第1題：可引導學生畫線圖分析

等量關系是：AC|CB=400

若設小剛在沖刺階段花了x秒，即tl=x秒，貝h2(65-x)秒，再由等量關系就可列出方程：

6(65—x)+8x=400

四、小結

本節課我們學習了用一元一次方程解答實際問題，列方程解應用題的關鍵在于抓住能表示問題含意的

一個主要等量關系，對于這個等量關系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示適當的未

知數(設元)，再將其余未知量用這個字母的代數式表示，最后根據等量關系，得到方程，解這個方程求得

未知數的值，并檢驗是否合理。最后寫出答案。

五、作業

教科書第12頁習題6.2.2第3、4、5、6題。

6.3實踐與探索

第一課時

教學目的

讓學生通過獨立思考，積極探索，從而發現；圍成的長方形的長和寬在發生變化，但在圍的過程中，

長方形的周長不變，由此便可建立“等量關系”同時根據計算，發現隨著長方形長與寬的變化，長方形的

面積也發生變化，且長方形的長與寬越接近時，面積越大。通過問題3的教學，讓學生初步體會數形結合

思想的作用。

重點、難點

1.重點：通過分析圖形問題中的數量關系，建立方程解決問題。

2.難點：找出“等量關系”列出方程。

教學過程

一、復習提問

1.列一元一次方程解應用題的步驟是什么？

2.長方形的周長公式、面積公式。

二、新授

問題L用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形。

(1)使長方形的寬是長的專，求這個長方形的長和寬。

(2)使長方形的寬比長少4厘米，求這個長方形的面積。

(3)比較(1)、(2)所得兩個長方形面積的大小，還能圍出面積更大的長方形嗎？

讓學生獨立探索解法，并互相交流。第(1)小題一般能由學生獨立或合作完成，教師也可提示：與幾何

圖形有關的實際問題，可畫出圖形，在圖上標注相關量的代數式，借助直觀形象有助于分析和發現數量關

系。

分析：由題意知，長方形的周長始終不變，長與寬的和為60+2=30(厘米)，解決這個問題時，要抓

住這個等量關系。

第(2)小題的設元，可讓學生嘗試、討論，對學生所得到的結論都應給予鼓勵，在討論交流的基礎匕

使學生知道，不是每道應用題都是直接設元，要認真分析題意，找出能表示整個題意的等量關系，再根據

這個等量關系，確定如何設未知數。

(3)當長方形的長為18厘米，寬為12厘米時

長方形的面積=18X12=216(平方厘米)

當長方形的長為17厘米，寬為13厘米時

長方形的面積=221(平方厘米)

??.(1)中的長方形面積比(2)中的長方形面積小。

問：(1)、(2)中的長方形的長、寬是怎樣變化的?你發現了什么?如果把(2)中的寬比長少“4厘米”改為

3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米長方形的面積有什么變化?猜想寬比長少多少時，長方形的面積最大呢?

并加以驗證。

通過計算，發現隨著長方形長與寬的變化，長方形的面積也發生變

化，并且長和寬的差越小，長方形的面積越大，當長和寬相等，即成正方形時面積最大。

實際上，如果兩個正數的和不變，當這兩個數相等時，它們的積最大，通過以后的學習，我們就會知

道其中的道理。

三、鞏固練習

教科書第14頁練習1、2。

第1題，組織學生討論，尋找本題的“等量關系”。

用一塊橡皮泥捏出的各種形狀的物體，它的體積是不變的。因此等量關系是：圓柱的體積=長方體的

體積。

第2題，先讓學生根據生活經驗，開展討論，解這道題的關鍵是什么?題中的等量關系是什么？

通過思考，使學生明確要解決“能否完全裝下”這個問題，實質是比較這兩個容器的容積大小，因此

只要分別計算這兩個容器的容積，結果發現裝不下，接著研究第2個問題，“那么瓶內水面還有多高”呢?

如果設瓶內水面還有x厘米高，那么這里的等量關系是什么？

等量關系是：玻璃杯中的水的體積卜瓶內剩下的水的體積=原來整瓶水的體積。從而列出方程

四、小結

本節課同學們認真思考，積極探索，通過分析圖形問題中的數量關系，建立方程解決問題，進一步體

會到運用方程解決問題的關鍵是抓住等量關系，有些等量關系是隱藏的，不明顯，同學們要聯系實際，積

極探索，找出等量關系。

五、作業

教科書第15頁，習題6.3.1第1、2、3。

第二課時

教學目的

通過分析儲蓄中的數量關系，以及商品利潤等有關知識，經歷運用方程解決實際問題的過程，使學生

進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型。

重點、難點

1.重點：探索這些實際問題中的等量關系，由此等量關系列出方程。

2.難點：找出能表示整個題意的等量關系。

教學過程

一、復習

1.儲蓄中的利息、本金、利率、本利和等含義，它們之間的數量關系利息=本金X年利率X年

數

本利和=本金義利息X年數+本金

2.商品利潤等有關知識。

利潤=售價一成本=商品利潤率

二、新授

在本章6.1練習中討論過的教育儲蓄，是我國目前暫不征收利息稅的儲種，國家對其他儲蓄所產生的

利息征收20%的個人所得稅，即利息稅。今天我們來探索一般的儲蓄問題。

問題2、小明爸爸前年存了年利率為2.43%的二年期定期儲蓄，今年到期后，扣除利息稅，所得利息

正好為小明買了一只價值48.6元的計算器，問小明爸爸前年存了多少元？

先讓學生思考，試著列出方程，對有困難的學生，教師可引導他們進行分析，找出等量關系。

利息一利息稅=48.6

可設小明爸爸前年存了x元，那么二年后共得利息為

2.43%XXX2,利息稅為2.43%XX2X20%

根據等量關系，得2.43%x?2-2.43%xX2X20%=48.6

問，扣除利息的20%,那么實際得到的利息是多少?你能否列出較簡單的方程？

扣除利息的20%,實際得到利息的80%,因此可得

2.43%x?2?80%=48.6

解方程，得x=1250

例1.一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%）優惠賣出，結果

每件仍獲利15元，那么這種服裝每件的成本是多少元？

大家想一想這15元的利潤是怎么來的？

標價的80%（即售價）一成本=15

若設這種服裝每件的成本是x元，那么

每件服裝的標價為：（l+40%）x

每件服裝的實際售價為：（l+40%）x?80%

每件服裝的利潤為：（l+40%）x?80%—x

由等量關系，列出方程：

（l+40%）x?80%-x=15

解方程，得x=125

答：每件服裝的成本是125元。

三、鞏固練習

教科書第15頁，練習1、2。

四、小結

本節課我們利用一元一次方程解決有關儲蓄、商品利潤等實際問題，當運用方程解決實際問題時:首

先要弄清題意，從實際問題中抽象出數學問題，然后分析數學問題中的等量關系，并由此列出方程；求出

所列方程的解；檢驗解的合理性。應用一元一次方程解決實際問題的關鍵是：根據題意首先尋找“等量關

系”。

五、作業

教科書第16頁，習題6.3.1,第3、4,5題。

第三課時

教學目的

1.使學生理解用一元一次方程解工程問題的本質規律；通過對“工程問題”的分析進一步培養學

生用代數方法解決實際問題的能力。

2.使學生在自主探索與合作交流的過程中理解和掌握基本的數學知識、技能、數學思想方法，獲

得廣泛的數學活動經驗，提高解決問題的能力。

重點、難點

重點：工程中的工作量、工作的效率和工作時間的關系。

難點：把全部工作量看作“1”。

教學過程

一、復習提問

1.一件工作，如果甲單獨做2小時完成，那么甲獨做I小時完成全部工作量的多少？

2.一件工作，如果甲單獨做a小時完成，那么甲獨做1小時，完成全部工作量的多少？

3.工作量、工作效率、工作時間之間有怎樣的關系？

二、新授

讓學生閱讀教科書第16頁中的問題3。

分析：

1.這是一個關于工程問題的實際問題，在這個問題中，已經知道了什么?小劉提出什么問題？

已知：制作一塊廣告牌，師傅單獨完成需4天，徒弟單獨做要6天。

小劉提出的問題是：兩人合作需要幾天完成？

2.怎樣用列方程解決這個問題?本題中的等量關系是什么？

［等量關系是：師傅做的工作量+徒弟做的工作量=1］

若設兩人合作需要x天完成，那么甲、乙分別做了幾天?甲、乙的工作效率是多少？

本題中工作總量沒有告訴，我們把它看成“1”，根據等量關系可得方程。

（略）

3.你還能提出什么問題?試試看，并解答這些問題。

讓學生充分思考，大膽提出問題，互相交流，對于合理的問題，讓大家共同解答，對于不合理的問題,

讓大家探討為什么不合理?應改為怎樣提？

4.李老師把兩位同學的問題，合起來后，已知條件增加了什么?求什么？

［“徒弟先做I天”，也就是說徒弟比師傅多做1天］

5.要解決本題提出的問題，應先求什么？

［先要求出師傅與徒弟各完成的工作量是多少?I

兩人的工效已知，因此要先求他們各自所做的天數，因此，設師傅做了x天，則徒弟做（x+1）天，根據

等量關系，列方程

（略）

解方程得x=2

師傅完成的工作量為（略），徒弟完成的工作量為（略）

所以他們兩人完成的工作量相同，因此每人各得225元。

三、鞏固練習

一件工作，甲獨做需30小時完成，由甲、乙合做需24小時完成，現由甲獨做10小時；請你提出問

題，并加以解答。

例如（1）剩下的乙獨做要幾小時完成？

（2）剩下的由甲、乙合作，還需多少小時完成？

（3）乙又獨做5小時，然后甲、乙合做，還需多少小時完成？

四、小結

1.本節課主要分析了工作問題中工作量、工作效率和工作時間之間的關系，即

工作量=工作效率X工作時間

工作效率=工作量/工作時間工作時間=工作量/工作效率

2.解題時要全面審題，尋找全部工作，單獨完成工作量和合作完成工作量的個等量關系列方程。

五、作業

教科書習題6.3.2第1,2、3題。

小結與復習(一)

教學目的

了解一元一次方程的概念，根據方程的特征，靈活運用一元一次方程的解法求一元一次方程的解，進

一步培養學生快速準確的計算能力，進一步滲透“轉化”的思想方法。

重點、難點

1.重點：一元一次方程的解法。

2.難點：靈活運用一元一次方程的解法。

教學過程

一、復習提問

定義：只含有一個未知數，且含未知數的項的次數1的整式方程。

一元一次方程解法步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、

系數化為1,把一個一元一次方程“轉化”成x=a"的形式。

二、練習

1.下列各式哪些是一元一次方程。

(略)

2.解下列方程。

(l)(x—3)=2—(x—3)

(2)[(x—3)—]=1—x

學生認真審題，注意方程的結構特點。選用簡便方法。

第(1)小題，可以先去括號，也可以先去分母，還可以把x-3看成一個整體，解關于x-3的方程。方

法一：去括號，得x—3=2—x+3

移項，得x+x=2+3+3

合并同類項，得x=5

方法二：去分母，得X—3=4-x+3

(強調等號右邊的“2”也要乘以2,而且不要弄錯符號)

移項，得x+x=4+3十3

合并同類項，得2x=10

系數化為1,得x=5

方法三：移項(x—3)+(x—3)=2

即x—3=2

x=5

第(2)小題有雙重括號，?般情況是先去小括號，再去中括號，但本題結構特殊，應先去中括號簡便，注

意去中括號時，要把小括號看作一個整體，中括號里先看成2項。

解：去中括號，得(x—3)一義=1-x

即x-3-=I-x

移項，得x+x—1+3+

合并同類項，得*=

系數化為1,得x=

也可以讓學生先去小括號，讓他們對兩種解法進行比較。

3.解力程。

(D—=1+

(2)—x=+l

解：⑴去分母，得3x-(5x+ll)=6+2(2x-4)

去括號，得31—5x—ll=6+4x—8

移項，得3x-5x—4x=6—8十11

合并同類項，得一6x=9

系數化為1，得x=-

點撥：去分母時注意事項，右邊的“1”別忘了乘以6,分數線有兩層含義，去掉分數線時，要添上括

號。

(2)先利用分數的基本性質，將分母化為整數。

原方程化為一x=x+l

去分母，得2(10—5x)—4x=90x+6

去括號，得20—K)x—4x=90x+6

移項，得一10x—4x—90x=6—20

合并同類項，得一104x=-14

系數化為1,得x=

點撥：“將分母化為整數”與“去分母”的區別。本題去分母之前，也可以先將方程右邊的約分后再去

分母。

4.解方程。

(1)I5x-2I=3

(2)II=1

分析：(1)把5x-2看作一個數a,那么方程可看作IaI=3,根據絕對值的意義得a=3或a=-3

(2)把看作一個數，或把II化成II

解：(1)根據絕對值的意義，原方程化為：

5x-2=3或5x—"2=-3

解方程5x-2=3得x=l

解方程5x—2=—3得x=—

所以原方程解為：x=l或x=-

(2)根據絕對值的意義，原方程可化為

=1或=—1

解方程=1得x=-1

解方程=-1得x=2

所以原方程的解為x=-1或x=2

5.已知，la—3|+(b十1)2=o,代數式的值比b-a十m多1,求m的值。

解：因為Ia—3INO(b+1)2^0

又Ia—3I+(b十1)2=0

AIa—3I=0且(b+l)2=0

a—3=0b十1=0

即a=3b=-1

把a=3,b=一1分別代人代數式,b—a+m

得=

X(-1)-3+m=-3+m

根據題意，得一(一3十m)=l

去括號得+3-m=l

即—I—m=l

二-十1=1

-=0

**?m—0

6.m為何值時，關于x的方程4x—2m=3x+l的解是x=2x—3m的2倍。

解：關于；的方程4x--2m=3x+l,得x=2m+l

解關于x的方程x=2x—3m得x=3m

,根據題意，得2m+l=2X3m

解之，得m=

三、小結

在解一元一次方程時要注意選擇合理的解方程步驟，解方程的方法、步驟可以靈活多樣，但基本思路都

是把“復雜”轉化為“簡單”，把“新”轉化為“舊”，求出解后，要自覺反思求解過程和檢驗方程的解是

否正確。

四.作業

1.教科書第21復習題A組第1、2B組9、10選做C組13、14。

小結與復習(二)

教學目的

使學生進一步能以一元一次方程為工具解決一些簡單的實際問題，能借助圖表整體把握和分析題意，

從多角度思考問題，尋找等量關系，恰當地轉化和分析量與量之間的關系，提高學生運用方程解決實際問

題的能力。

重點、難點

1.重點：運用方程解決實際問題。

2.難點：尋找等量關系，間接設元。

教學過程

一、復習

列一元一次方程解應用題的步驟。

二、新授

例1.為了準備小勇6年后上大學的學費5000元，他的父母現在就參加了教育儲蓄，下面有兩種儲蓄

方式。

(1)直接存一個6年期，年利率是2.88%；

(2)先存一個3年期的，3年后將本利和自動轉存一個3年期。3年期的年利率是2.7%。

你認為哪種儲蓄方式開始存人的本金比較少？

分析：要解決“哪種儲蓄方式開始存入的本金較少”，只要分別求出這兩種儲蓄方式開始存人多少元,

然后再比較。

設開始存入x元。.

如果按照第一種儲蓄方式，那么列方程：

xX(l十2.88%X6)=5000

解得x^4263(元)

如果按照第二種蓄儲方式，

可鼓勵學生自己填上表，適當時對學生加以引導，對有困難的學生復習：本利和=本金卜利息

利息：本金X利率X期數

等量關系是：第二個3午后本利和=5000

所以列方程1.081X?(1+2.7%X3)=5000

解得x~4279

這就是說，大約4280元，3年期滿后將本利和再存一個3年期，6年后本利和達到5000元。

因此第一種儲蓄方式(即直接存一個6年期)開始存入的本金少。

例2.解答下列各問題：

(1)據《北京日報》2000年5月16日報道：北京市人均水資源占有300立方米，僅是全國人均占有量

的，世界人均占有量的，問全國人均水資源占有量是多少立方米?世界人均水資源占有量是多少立方米？

(2)北京市一年漏掉的水相當于新建一個自來水廠，據不完全統計，全市至少有6X105個水龍頭，2X

105個抽水馬桶漏水，如果一個關不緊的水龍頭，一個月能漏掉a立方米水，一個漏水馬桶，一個月漏掉b

立方米水，那么一個月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含a、b的代數式表示)

(3)水源透支令人擔憂，節約用水迫在眉睫，針對居民用水浪費現象，北京市將制定居民用水標準，規定三

口之家樓房每月標準用水量，超標部分加價收費，假設不超標部分每立方米水費1.3元，超標部分每立方

米水費2.9元，某住樓房的三口之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規定

三口之家樓房每月標準用水量是多少立方米？

三、鞏固練習

1.爸爸為小明存了一個3年期的教育儲蓄(3年期的年利率為2.7%),3年后能取5405元，他開始存入了

多少元？

2.一收割機收割一塊麥田，上午收了麥田的25%,下午收割了剩下麥田的20%,結果還剩6公頃麥

田未收割，這塊麥田一共有多少公頃？

3.兒子今年13歲，父親今年40歲，父親的年齡可能是兒子年齡的4倍嗎？

四、小結

本節課我們復習了利用一元一次方程解決實際問題，方程是刻畫現實世界的有效數學模型，列方程解

實際問題的關鍵是找到“等量關系”，在尋找等量關系時可以借助圖表等，在得到方程的解后，要檢驗它

是否符合實際意義。

五、作業

1.教科書第21頁復習題A組第3、4、5、6、7、8。B組11、12選做C組15、16。

第七章二元一次方程組

7.1二元一次方程組和它的解

教學目的

1.使學生了解二元一次方程，二元一次方程組的概念。

2.使學生了解二元一次方程；二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數是不是它們的解。

3.通過引例的教學，使學生進一步使用代數中的方程去反映現實世界中的等量關系，體會代數方法

的優越性。

重點、難點

1.重點：了解二元一次方程。二元一次方程組以及二元一次方程

組的解的含義，會檢驗一對數是否是某個二元一次方程組的解。

2.難點；了解二元一次方程組的解的含義。

教學過程

一、復習提問

1.什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎樣檢驗一

個數是否是這個方程的解？

2.列方程解應用題的步驟。

二、新授

問題1：暑假里，《新晚報》組織了“我們的小世界杯”足球邀請賽，勇士隊在第一輪比賽中共賽9場,

得17分。

比賽規定勝??場得3分，平一場得1分，負一場得。分，勇士隊在這一輪中只負了2場，那么這個隊

勝了幾場?又平了幾場呢？

這個問題可以用算術方法來解，也可以列一元一次方程來解，請同學們選一種方法試一試。

解后反思：既然是求兩個未知量，那么能不能同時設兩個未知數？

學生嘗試設勇士隊勝了x場，平了y場。

讓學生在空格中填人數字或式子：

（略）（見教科書）

那么根據填表結果可知

XI-y=7①

3x+y=17②

這兩個方程有什么共同的特點？

（都含有兩個未知數，且含未知數的項的次數都是1）

這里的x、y要同時滿足兩個條件：一個是勝與平的場數和是7場；另一個是這些場次的得分一共是

17分，也就是說，兩個未知數x、y

必須同時滿足方程①、②。因此，把兩個方程合在一起，并寫成

x+y=7①

3x+y=17②

上面，列出的兩個方程與一元一次方程不同，每個方程都有兩個未知數，并且未知數的次數都是1,

像這樣的方程，叫做二元一次方程。把這兩個二元一次方程①、②合在一起，就組成了一個二元一次方程

組。

結合一元一次方程，二元一次方程對“元”和“次”作進一步的解釋；“元”與“未知數”相通，幾

個元是指幾個未知數，“次”指未知數的最高次數。

用算術方法或通過列一元?次方程都可以求得勇士隊勝了5場，

平了2場，即x=5,y=2

這里的x=5,與y=2既滿足方程①即5+2=7

又滿足方程②，即3X5十2=17

我們就說x=5與y=2是二元一次方程組的解。

一般地，使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩

個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。

二元一次方程組的解的檢驗范例。

三、鞏固練習

1.教科書第25頁問題2。

2.補充練習。

四、小結

1.什么是二元一次方程，什么是二元一次方程組？

2.什么是二元一次方程組的解?如何檢驗-對數是不是某個方程組的解？

五、作業

教科書第26頁習題7.1全部。

7.2二元一次方程組的解法

第一課時

教學目的

1.使學生通過探索，逐步發現解方程組的基本思想是“消元”，化二元——次方程組為一元一次方程。

2.使學生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

3.通過代入消元，使學生初步理解把“未知”轉化為“已知”，和復雜問題轉化為簡單問題的思想方

法。

重點、難點

1.重點；用代入法把二元一次方程組轉化為一元一次方程。

2.難點：用代入法求出一個未知數值后，把它代入哪個方程求另個未知數值較簡便。

教學過程

一、復習

1.什么叫二元一次方程，二元一次方程組，二元一次方程組的解？

2.把3x+y=7改寫成用x的代數式表示y的形式。

二、新授

回顧上一節課的問題2。

在問題2中，如果設應拆除舊校舍xm2,建新校舍ym2,那么根據

題意可列出方程組。

y-x=20000X30%①

y=4x②

怎樣求這個二元一次方程組的解呢？

方程②表明，可以把y看作4x,因此，方程①中的y也可以看著

4x,即將②代人①（得到一元一次方程，實際上此方程就是設應拆除舊校舍xm2,所列的一元一次方程）。

這樣就二元轉化為一元，把“未知”轉化為“已知”。你能用同樣的方法來解問題1中的二元一次方

程組嗎？

讓學生自己概括上面解法的思路，然后試著解方程組。對有困難的同學，教師加以引導。并總結出解方程

的步驟。

1.選取一個方程，將它寫成用一個未知數表示另一個未知數，記作方程③。

2.把③代人另一個方程，得一元一次方程。

3.解這個一元一次方程，得一個未知數的值。

4.把這個未知數的值代人③，求出另一個未知數值，從而得到方程組的解。

以上解法是通過“代人”消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程來解的，這種解法叫做代人

消元法，簡稱代入法。

三、鞏固練習

教科書第29頁，練習。

四、小結

1.解二元一次方程組的思路。

2.掌握代入消元法解二元一次方程組的一般步驟。

五、作業

1.教科書第34頁習題7.2題第1題。

第二課時

教學目的

1.使學生進一步理解代人消元法的基本思想和代入法解題的一般

步驟。

2.讓學生在實踐中去體會根據方程組未知數系數的特點，選擇較

為合理、簡單的表示方法，將一個未知數表示另一個未知數。

重點、難點

1.重點：熟練地用代人法解一般形式的二元一次方程組。

2.難點：準確地把二元一次方程組轉化為一元一次方程。

教學過程

一、復習

1.方程組2x+5y=-2如何求解?關鍵是什么?解題步驟是什么？

x=8-3y

2.把方程2x-7y=8(l)寫成用含x的代數式表示y的形式。(2)寫成用含y的代數式表示x的形式。

二、新授

2x-7y=8①

例：解方程3x-8y-10=0②

分析：這兩個方程中未知數的系數都不是1,那么如何求解呢?消哪一個未知數呢？

如果將①寫成用一個未知數來表示另一個未知數，那么用x表示y,還是用y表示x好呢?(讓學生自

己探索、歸納)

因為x的系數為正數，且系數也較小，所以應用y來表示x較好。

嘗試解答。教師板書解方程的過程。

這里是消去x,得關于y的一元二次方程，能否消去y呢?讓學生

試一試，然后通過比較，使學生明白本題消x較簡單。

三、鞏固練習

教科書第30頁，練習1、2(1)(2)

四、小結

對于一般形式的二元一次方程用代入法求解關鍵是選擇哪一個方程變形，消什么元，選取的恰當往

往會使計算簡單，而且不易出錯，選取的原則是：

1.選擇未知數的系數是1或一1的方程；

2.若未知數的系數都不是1或一1,選系數的絕對值較小的方程，將要消的元用含另一個未知數

的代數式表示，再把它代人沒有變形的方程中去。這樣就把二元一次方程組轉化為一元一次方程了。

對運算的結果養成檢驗的習慣。

五、作業

教科書第30頁，第2題的(3)、(4)。

第三課時

教學目的

1.使學生進一步理解解方程組的消元思想。

2.使學生了解加減法是消元法的又一種基本方法，并使他們會用加減法解一些簡單的二元一次方程

組。

重點、難點

1,重點：用加減法解二元一次方程組。

2.難點：兩個方程相減消元時對被減的方程各項符號要做變號處理。

教學過程

一、復習

1.解二元一次方程組的基本思想是什么？

2.用代人法解方程組

3x+5y=5①

3x-4y=23②

學生口述解題過程，教師板書。

二、新授

對復習2的反思并引入新課。

用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一個未知數，才能把二元轉化為熟悉的一元方

程求解，為了消元，除了代入法還有其他的方法嗎?（讓學生主動探求解法，適當時教師可作以下引導）

觀察方程組在這個方程組中，未知數x的系數有什么特點?怎樣才能把這個未知數消去?你的根據是什

么？

這兩個方程中未知數x的系數相同，都是3,只要把這兩個方程的左邊與左邊相減、右邊與右邊相減,

就能消去x從而把它轉化為一元一次方程。把方程①兩邊分別減去方程②的兩邊，相當于把方程①的兩邊

分別減去兩個相等的整式。

為了避免符號上的錯誤（3x+5y）-（3x-4y）=5-23

板書示范時可以如下：3x+5y-3x+4y=-18

解：把①一②得9y=-18

y=-2

把y=-2代入①，得3x+5X（—2）=5

解得x=5

二x=5這結果與用代入法解的結果一樣

y=-2也可以通過檢驗

從上面的解答過程中，你發現了二元一次方程組的新解法嗎？讓學生自己概括一下。

例2.解方程組3x+7y=9①

4x-7y=5②

怎樣解這個方程組呢?用什么方法消去一個未知數?先消哪個未知數比較方便？

①+②，得7x=14［兩個方程中，未知數y的系數是互為相反

x=2數，而互為相反數的和為零，所以應把方程

將x=2代入①，得①的兩邊分別加上方程②的兩邊］

6+7y=9

y=

*'?x=2

y=

以上兩個例子是通過將兩個方程相加（或相減），消去?個未知數，將方程組轉化為-元一次方程來

解，這種解法叫加減消元法，簡稱加減法。

三、鞏固練習

教科書第31頁，練習1、2。

四、小結

今天我們又學習了解二元一次方程組的另一種方法一一加減法,它是通過把兩個方程兩邊相加（或相減）

消去一個未知數，把二元一次方程組轉化為一元一次方程。請同學們歸納一下，什么樣的方程組用“代入

法”，什么樣的方程組用“加減法”。

五、作業

教科書第31頁練習3、4。

第四課時

教學目的

使學生了解用加減法解二元一次方程組的一般步驟，能熟練地用加減法解較復雜的二元一次方程組。

重點、難點

1.重點：將方程組化成兩個方程中的某一未知數的系數的絕對值相等。

2.難點：將方程組化成兩個方程中的某一未知數的系數的絕對值相等。

教學過程

一、復習

下列方程組用加減法可消哪一個元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么？

3x+4y=-3.44x—2y=5.6

6x-4y=5.27x-2y=7.7

二、新授

例1.解方程組9x+2y=15①

3x+4y=10②

分析如果用加減法解，直接把兩個方程的兩邊相減能消去一個未知數嗎?如果不行，那該怎么辦呢？

當兩個方程中某個未知數系數的絕對值相等時，可用加減法求解，你有辦法將兩個方程中的某個系數

變相同或相反嗎？

方程②中y的系數是方程①中y系數的2倍，所以只要將①義2

例2.解方程組

3x-4y=10①

15x+6y=42②

這個方程組中兩個方程的x,y系數都不是整數倍。那么如何把其中一個未知數的系數變為絕對值相等

呢?該消哪一個元比較簡便呢?（讓學生自主探索怎樣適當地把方程變形，才能轉化為例3或例4那樣的情

形。）

分析：（1）若消y，兩個方程未知數y系數的絕對值分別為4、6,要使它們變成12（4與6的最小公倍

數），只要①X3,②X2（2）若消x,只要使工的系數的絕對值等于15。（3與5的最小公倍數，因此只要①

X3,（2）X2）

請同學們用加減法解本節例2中的方程組。

2x-7y=8

3x—8y—10=0

做完后，并比較用加減法和代人法解，哪種方法方便？

教師講評：應先整理為一般式。

三、鞏固練習

教科書第33頁,練習1.3。

四、小結（教師說出條件部分，學生回答結論部分）。

加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個未知數系數的絕對值相等，可直接加減消元；若同一未

知數的系數絕對值不等，則應選一個或兩個方程變形，使一個未知數的系數的絕對值相等，然后再直接用

加減法求解；若方程組比較復雜，應先化簡整理。

五、作業

教科書第33頁練習2.4。

第五課時（習題課）

教學目的

1.使學生進一步理解二元一次方程（組）的解的概念。

2.使學生能夠根據題目特點熟練地選用代入法或加減法解二元一次方程組。

教學過程

一、復習

1.什么是二元一次方程，二元一次方程組以及它的解？

2.解二元一次方程組有哪兩種方法?它們的實際是什么？

3.舉例說明解二元一次方程組什么情況下用代人法，什么情況下用加減法？

［當方程組中兩個方程的某個未知數的系數的絕對值為1或有一個方程的常數項是。時，用代人法；當

兩個方程中某人未知數的系數的絕對值相等或成整數倍時，用加減法。）

二、課堂練習

1.方程2x+39=3與下面哪個方程所組成的方程組的解是

x=3

y=T

A.41+6y=-6B.