三大題訓(xùn)練

班級:___________姓名:____________日期：20211214

設(shè)函數(shù)〃》)=85(2彳+聿卜0$(2苫-青+”的最大值為1.

(I)求4值及“X)遞增區(qū)間；

(II)若將函數(shù)y=〃x)圖象向右平移看個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求滿足

g(x0)g,+￡|W的實數(shù)演，的集合.

三大題訓(xùn)練

班級：姓名：日期：20211217

如圖，在四棱錐尸-ABC￡＞中，四邊形ABCD是直角梯形，且

AD//BC,BC±CD,ZABC=60°,BC=2AD=2,PC=3,APA3是正三角形，E是PC的

中點.

(1)求證：DE//平面RW；

(2)求直線8E與平面所成角的正弦值.

午間每日一題3

3.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,且4s.=的旬+1,q=l.數(shù)列也｝滿足

4=1，帥用=an.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

1111、后_-

(2)證明：1+丁+丁+…+1.

b\b2b、b?

午間每日一題4

13

4.已知三角形A8C中，cos(A+B)=-,cos(A-3)=g

(I)求tan/LtanB的值；

(ID若|AB|=2太，求三角形ABC的面積S.

午間每日一題5

5.如圖，四棱錐P-ABCQ的底面ABCD是邊長為2的菱形，NA8C=60,點M是棱

PC的中點，PA_L平面ABC7X

(1)證明：24〃平面8M￡＞；

⑵當(dāng)PA長度為多少時，直線M與平面.所成角的正弦值為軍

午間每日一題6

6.對于數(shù)列｛見｝,記V0%=4川一％,V<%“，k,nwN*,則稱數(shù)

列｛▼?)4｝為數(shù)列｛4｝的”階數(shù)列”.

(D己知若｛為｝為等比數(shù)列，求生的值;

(II)已知?""=3"-2,若4=1,且。“24對〃eN*恒成立，求出的取值范圍.

午間每日一題7

4

7.設(shè)A是單位圓與x軸正半軸的交點，點8在單位圓上，且其橫坐標(biāo)為直角坐

標(biāo)系原點為0.

(1)設(shè)a是以0A為始邊，。8為終邊的角，求tanc的值；

(2)若P在單位圓上，且位于第一象限，點8在第二象限，求人尸8的面積S的最大

值.

午間每日一題8

27r

8.在四棱錐P—A8C。中，BC//AD,CD±AD,二面角尸—4)—B的大小為彳，且

PA=PD=y/2,AD=2DC=2BC=2.

(1)求證：PBLAD；

(2)設(shè)E是直線PC上一點，求AE與平面以8所成角正弦的最大值.

午間每日一題9

9.在數(shù)列｛%｝中，《=1,當(dāng)”22時，其前般項和5“滿足：S：=a.(S.-

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)若M：)"+S“q向V0對一切正整數(shù)〃恒成立，求實數(shù)人的最大值.

午間每日一題10

10.已知函數(shù)/(x)=cosx(>/3cosx-sinx)-,XGR.

（1）求函數(shù)函x）在（0,萬）單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）若函數(shù)g（x）=F0+w）為奇函數(shù)，求網(wǎng)的最小值.

午間每日一題11

11.如圖，四棱錐P-MC￡＞中，PA_L平面43c。，BC//AD,且

PB=AD=2AB=2BC=2CD,E是PO的中點.

(1)求證：CE//平面

(2)求BC與平面尸CD所成角的正弦值.

午間每日一題12

a

12.設(shè)正項等比數(shù)列｛a,,｝,?4-?I=78,且4,4的等差中項為式4+%).若數(shù)列也｝

滿足々=1，2+bn+l=a?eN)

(1)求數(shù)列｛《｝,｛〃｝的通項公式：

nn

(2)數(shù)列:，前"項和為若不等式(-1)"義＜7；+3對一切〃€“恒成

yJ4b2?+12x3"

立，求2的取值范圍.

參考答案

1.(1)?=0；-?^^+-(%eZ)；(II)—+—<x0<—+—,k&Z\.

【分析】

(I)先利用三角恒等變換化簡整理f(x),再利用最大值求參數(shù)，并求遞增區(qū)間即可;

(11)先平移得到函數(shù)y=g(x)解析式，再解不等式即可.

【詳解】

=cos^2x+—j-cos^2x-—j+d!=；sin2x+*cos2x+〃

解(I)“X)

s

=sin2x-t--\+a,?e,/(無□=1+。=1,；?a=°；

I3j

TT7TTT)7TTT

令2x+—￡----+2%乃，一+2Z7，左wZ得k7i-------,24+—,keZ

3L22J11212_

"("="2尤+3)的單調(diào)遞增區(qū)間k兀今,k兀+晟,(ZeZ)；

(ID/(x)向右平移《個單位，得g(x)=sin2x-g+[=sin2x,

???g(xo)g1%+?1.2c.cc

=sin2xasin—sin*2x0+—sin2x0cos2x0

2

=1sin2x0+y^sin2x0cos2x0=與sin4x0一;cos2/+(=；sin

4

,8(“。必卜。+2卜3即2,4/一看)+%；，得sin(4Xoq)2；,

TTTTS；r

解得—F2k兀<4x----W-----F2ki,keZ、

6066

7VkjT7TkjT.?

{x~l2+~r~X{)^^+了"$Z

【點睛】

本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

2.(1)證明見解析；(2)亙

14

【分析】

(1)證明四邊形EE4O是平行四邊形可推出DE〃/TF,即可證明線面平行；(2)作出線面

角，通過解三角形知識求解或建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.

【詳解】

答案第1頁，共15頁

(1)證明：取PB的中點尸，連接EEAT7,

因為E尸是APBC的中位線，所以EF//BC,且EF=《BC,

因為A￡>〃BC,AO=l8C,所以A￡)〃E/且M>=￡F,

2

則四邊形EE4Z)是平行四邊形，所以DE//AF,

又因為QE<Z平面PAB,AFu平面皿，

所以。E〃平面R

(2)解法一：取AB的中點Q,連接尸Q,CQ,

因為△PA8是正三角形，所以PQLAB,

在直角梯形ABC。中，因為NA8C=6()o,3C=2A￡>=2,

所以可得A8=AC=2,C2=7L且CQLAB,

又CQCPQ=Q,CQu平面PCQ,PQu平面PC。,

所以A8_L平面尸C。，

又ABi平面A4B,所以平面PCQ_L平面

過點E作EG_LPQ,垂足是G,連接8G,

則NE8G即是直線8E與平面R46所成的角，

在△PQC中，PQ=QC=6,PC=3,可得NQPC=NQCP=30。,

所以雙7=尸以皿30。=3,又BE也,

42

所以sinZEBG=—=—,

BE14

所以直線8E與平面所成角的正弦值是邁.

14

解法二：如圖，以。為原點，DA,OC所在直線分別為X軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系,

答案第2頁，共15頁

由已知條件得AB=2,DC=A/3,

所以0(0,0,0),A(l,0,0),C(0,瓜0),5(2,瓜0),

(x-l)2+)?2+z2=4,

設(shè)尸(x,y,z),由■(x-2)2+(y-7Jy+z2=4,

x2+(y-43)2+z2=9,

9在3

得P

4-42-

所以—AP=(53,)A——8=(1,百r,0),

(442j

設(shè)平面抬8的法向量3=(x,y,z),

n-AP=0,5x+6y+6z=0,_l

則_____即國后=。，得平面皿的一個法向量是"=C,-"-2),

n-AB=0,

(5百3、—(

可得9詈qj,貝IJ8E=-73A/33、

~S~,4

87

設(shè)直線BE與平面叢8所成角為0,

而i35/7

貝！］sin0=

\BE\\n\~14，

所以直線8E與平面E，記所成角的正弦值是也.

14

【點睛】

本題考查空間直線與平面平行的判定、線面角，可通過解三角形知識求解或利用空間向量

的夾角公式求解線面角，屬于中檔題.

答案第3頁，共15頁

3.

+

(1)an=2?-I,/ieZ

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)與〃〃的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項公式即可求解.

27,

(2)由7=6e利用疊加，裂項相消法即可證明.

bn

(1)

-+1,a,=1,

??4S]—a1+1,??a?=3,

當(dāng)2時，有4sx=44一+1,

4S?-45?+l=a???+1-an_tan,：.4an=an(a?+1-a,,.,)，

,.?a.wO,

???數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，a2n-1=l+4(n-l)=2(2W-l)-l,

偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，

a2n=3+4(/?-l)=2-2n-l,

/.an=2/7-1,neZ*.

(2)

2,,

b，b

n+ln=2n-l,所以b〃也_i=2〃-3得bn(b〃+]-b〃_i)=2,—=^w+1-bn_x

從而2(；+(+…+!)=4_4+…+2+1_/?〃_]=d+]+bn-b1-b2

D2“3Dn

2(；+；+；+.-+；)=仇+|+b?=2：1+b“>2>/2n-l,

bib2與b?b?

從而可得J++!+…+12J2〃-1

hb24bn

4.(I)g(II)y[6

【分析】

(I)利用余弦的和角差角公式展開得到sinAsinB和cosAcosB,再結(jié)合商數(shù)關(guān)系，即可求

答案第4頁，共15頁

解;

（II）根據(jù)c=|A@和sinC,利用正弦定理，求得外接圓的半徑，再利用正弦定理將。力化

為2RsinA,2Rsin3的性質(zhì)，結(jié)合面積公式，即可求解.

【詳解】

(I)由cos(A+B)=],pjf#cosAcosB-sin>4sin=

33

又由cos(A-B)=—,可得cosAcosB+sinAsinB=—,

12

聯(lián)立方程組，解得sinAsinB=《，cosAcosB=-,

sr,csinAsinB1

所以taoA?tanB=----------------.

cosAcosB2

(II)因為cos(4+B)=cos(>r-C)=-cosC=E，所以cosC=-1

因為Cw(O,;r),所以sinC=Vl—cos2C=

n?_c

所以三角形的外接圓的直徑為撫一礪一

5

所以A45C的面積為

S=—afosinC=—-2/?sinA-27?sinBsinC=—x5x5x—x=-76.

22255

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定

理在解三角形中的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，以及合理應(yīng)用正弦定

理、余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運算、求解能力.

5.⑴證明見解析；⑵|即=2或6.

【詳解】

分析：（1）首先連接相應(yīng)的點，利用三角形的中位線，得到對應(yīng)的平行線，結(jié)合線面平行

的判定定理，證得線面平行；

（2）利用線面角的平面角的定義，先找出線面角的平面角，之后放入三角形中，解三角形

即可求得結(jié)果.

詳解：解法一：（1）連接AC交8。于。點，連接

因為M,O分別為中點，

所以R4〃MO,P4（Z平面M0=平面

答案第5頁，共15頁

所以24//平面M3。

(2)過A做A4垂直于BC交8c于點連接P4,

BCLAH,BCVPA,PAr>AH=A,

：.8(?1.平面「〃4,

二面PH4_L面PBC

過A作AG垂直于P"交于G點，連接GM,

/.4G_L面PBC,

，ZAMG即直線AM與平面PBC所成角

解得x-2或者x=A/3,

.?.照二2或6

點睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，有關(guān)線面

角的求解問題，在解題的過程中，需要銘記線面平行的判定定理的內(nèi)容，找到平行線，即

答案第6頁，共15頁

可證得結(jié)果，關(guān)于線面角的問題關(guān)鍵是找到對應(yīng)的平面角.

6.(I)(II)[-7,0].

【分析】

(I)根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的定義，即可求解；

(II)根據(jù)定義準(zhǔn)確列出等式，求出滿足凡2%對恒成立應(yīng)滿足的條件，即可求解

生的取值范圍.

【詳解】

(I)因為“2=4+44=4-3,43=%+9=。1一；，且｛叫為等比數(shù)歹I，

所以何=卬(所以=可得q=g，

當(dāng)〃22時,V4=V”,i+V%十.

當(dāng)〃=1時，符合上式,

所以數(shù)歹0憶｝等比數(shù)列，且q=；.

/、1°3(1-3"一。

(II)由V%=9+L+A“4+Aq=---------2(〃-1)+V4

1—3

3"13〃1

=---2〃+—+V4=----2〃+心——，

221222

因為V2〃"=3〃-2>0,所以｛V%｝遞增,

a

△4=。3~2-0

所以42%對〃￡N+恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)滿足

△。3二%一。320

所味^<+07細(xì)解得一74*°八，

即生的取值范圍[-7,0].

【點睛】

本題主要考查了新定義的數(shù)列的應(yīng)用問題，其中解答中認(rèn)真審題，讀懂題意，結(jié)合新定義

列出滿足的題意的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

答案第7頁，共15頁

7.

⑵3M-3

-io-

【分析】

(1)求出點B的縱坐標(biāo)，然后可得答案；

(2)設(shè)a是以O(shè)A為始邊，。8為終邊的角，夕是以O(shè)A為始邊，OP為終邊的角，然后

S=山”+=?sin￡+sin(a-⑶-sina)和三角函數(shù)的知識可求出答案.

(1)

因為點B在單位圓上，且其橫坐標(biāo)為-]4,所以其縱坐標(biāo)為3

3

所以tana=±：

4

43(71]

貝Ucosa=--,sincr=—,P^\2k7v,2^+—J

s=S.AOP+SMP-SMB=1(sin/?+sin(a--sina)

L+—s￡+—溫!小尸+沁丹一尋端sin(?+9)q,其中

答案第8頁，共15頁

1

tan°=]

所以當(dāng)sin(尸+夕)=1時,￡"=3空—

8.

(1)證明見解析

⑵亞

155

【分析】

(1)取AO中點0,證明P0_LA2B0，AD,由線面垂直判定定理證明平面P0B,

由此可證依_L4)；(2)建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求AE與平面PAB所成角正弦再求

其最大值.

(1)

取AD中點。，則PO_LAO,BO，A。，

PO,BOu平面尸OB,POC\BO=O,

，4)_1平面P。8,心匚平面/^6，

,ADLPB；

以。為原點，OBQD為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

由(1)知,ZPOB=y,則p(_g,o,當(dāng)，

4(O,-I,O),B(1,O,O),C(1,1,O),

設(shè)炭疵,則小號J+譚(―))

答案第9頁，共15頁

x+y+*z=0

設(shè)平面RW的法向量八=*,y,z),則「5

x+y=0

故取7=(1,-1,4)

一”"I-1<2師

設(shè)AE與平面245所成角。，則、‘一底/夜一…一尺二155

故AE與平面的所成角正弦的最大值冬回，

9.

(1)證明見解析

⑵烏

891

【分析】

(1)由a,,=5“-5,i，代入條件整理可得S.5,I=JS,I-GS“，即化為=2,從而

可證明.

⑵由題意分離參數(shù)可得”,2〃-;；2〃+1),令%=—，討論出￡｝的單調(diào)

性，得出其最小項即可得出答案.

(1)

11

S”94⑸-5)=⑸—S〃T)⑸一耳)，?>2

即S：=S：—s“s〃T—51s“+]1S“T,所以S“s"=]1s.T—]1s”

答案第10頁，共15頁

，1--一=2,故數(shù)列』|是等差數(shù)列;

(2)

(2)Snan+.=—----=-----,k<-------------

(2〃-1)2(2〃+1)(2〃-1)2(2〃+1)

2〃+i2"+2

_____________貝(Ic-■_____________

(2“-1尸(2"+1)',,+1-(2?+l)2(2n+3)

2〃+2

=(2〃+1)2(2〃+3)_2(2〃-

%-2向一(2〃+1)(2〃+3)

(2?-I)2(2n+l)

令2⑵一了

>1WH2-4?-->0,:.n>5.

(2〃+1)(2〃+3)4

2(2〃-1。

由令<1,解得〃45,

(2〃+1)(2〃+3)

所以數(shù)列｛，｝中當(dāng)14〃45時單調(diào)遞減，n>5時單調(diào)遞增.

所以1乜

???iT

5891

10.

511

(1)—冗、—冗

1212

71

(2)

6

【分析】

(1)展開多項式乘多項式，再由倍角公式降累，利用輔助角公式化積，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

求函數(shù)/(x)在(0,兀)單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)求出g(x),由g(x)為奇函數(shù)，可得2〃?+^的值，進(jìn)一步求得畫的最小值.

o

(1)

百c1.cC,兀、

=——cos2x——sin2x=cos(2x4--),

226

TT7冗jr

由2E-Jr<2x+—<2kn,keZ,得E---<x<kit—,

61212

答案第11頁，共15頁

當(dāng)2=1時，/WxW-jy-;又X￡(0,萬)，

.??函數(shù)〃%)在(。,4)單調(diào)遞增區(qū)間Q.冷.

(2)

由題意,得g(x)=/(X+w)=cos(2x+2m+*,

??.函數(shù)g(%)為奇函數(shù)，

_兀,冗k兀7t)

2m+—=k"—nm=——+—t,keZ,

6226

當(dāng)氏=0時，|時的最小值為g

0

11.

(1)證明見解析

⑵近

4

【分析】

(1)取抬中點，連接EE8尸，先證明EC//FB,即可證明CE//平面R4B；

(2)連接AC,在平面PAC內(nèi)過A作AGLPC于G,故NAQG即為直線AO與平面PCD

所成的角，而3CV/AD,,所以BC與平面PC。所成角也等于NADG,求出NADG的正弦

值即可

(1)

取24中點，連接EF,BF,

則防〃A￡>,且EF='A。，

2

所以由題設(shè)可知：EF//BC且BC=EF,

故四邊形8cM是平行四邊形，

所以EC//FB,

又Bbu平面以8,EC。平面乃W,

所以CE//平面RR.

(2)

連接AC由題設(shè)可知ACLCD,

因為月4,平面488,所以如，CZ),

因為弘J_C￡>,ACrCD,ACHAP=A,

答案第12頁,共15頁

所以8,平面PAC,

因為COu平面P