第十二章概率第四講二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布1.[2021安徽省名校聯(lián)考]已知水平直線上的某質(zhì)點(diǎn),每次等可能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度,則在第6次移動(dòng)后,該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率是()A.14 B.516 C.32.[2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)]某地有A,B,C,D四人先后感染了傳染性肺炎,其中只有A到過(guò)疫區(qū),B確定是受A感染的.對(duì)于C因?yàn)殡y以判定是受A還是受B感染的,于是假定他受A和B感染的概率都是12.同樣假定D受A,B和C感染的概率都是13.在這種假定下,B,C,D中恰有兩人直接受A感染的概率是(A.16 B.13 C.123.[2021八省市新高考適應(yīng)性考試]對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量,并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差εn~N(0,2n),為使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要測(cè)量次(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<2σ)=0.9545)4.[2021江蘇南通開(kāi)學(xué)考試]高二某班共有60名學(xué)生,其中女生有20名,三好學(xué)生占全班人數(shù)的16,而且三好學(xué)生中女生占一半.現(xiàn)在從該班任選一名學(xué)生參加某一座談會(huì),則在已知沒(méi)有選上女生的條件下,選上的是三好學(xué)生的概率為5.[2021洛陽(yáng)統(tǒng)一考試]田忌賽馬的故事出自《史記》中的《孫子吳起列傳》.齊國(guó)的大將田忌很喜歡賽馬,有一回,他和齊威王約定,要進(jìn)行一場(chǎng)比賽.雙方各自有三匹馬,馬都可以分為上、中、下三等.上等馬都比中等馬強(qiáng),中等馬都比下等馬強(qiáng),但是齊威王每個(gè)等級(jí)的馬都比田忌相應(yīng)等級(jí)的馬強(qiáng)一些,比賽共三局,每局雙方各派一匹馬出場(chǎng),且每匹馬只賽一局,累計(jì)勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利,在比賽之前,雙方都不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序.(1)求在第一局比賽中田忌勝利的概率;(2)若第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬,而田忌派出場(chǎng)的是下等馬,求本場(chǎng)比賽田忌勝利的概率;(3)寫(xiě)出在一場(chǎng)比賽中田忌勝利的概率(直接寫(xiě)出結(jié)果).6.[2020北京,18,14分]某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng),分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持,對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p0,假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生,除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p1,試比較p0與p1的大小.(結(jié)論不要求證明)7.[2021江西五校聯(lián)考]某省在高考改革試點(diǎn)方案中規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始,不分文理科;從2020年開(kāi)始,高考總成績(jī)由語(yǔ)、數(shù)、外三門(mén)統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目構(gòu)成.將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低依次劃分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E共八個(gè)等級(jí),參照正態(tài)分布的原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六門(mén)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布N(60,132).(1)求該校高一年級(jí)學(xué)生的物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記X表示這3人中某門(mén)選考科目的等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:若隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.8.[2021“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)考]某款游戲的規(guī)則如下:每盤(pán)游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè).每盤(pán)游戲擊鼓三次,若出現(xiàn)一次音樂(lè)則獲得1分,若出現(xiàn)兩次音樂(lè)則獲得2分,若出現(xiàn)三次音樂(lè)則獲得5分,若沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣15分(即獲得-15分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立,記每盤(pán)游戲獲得的分?jǐn)?shù)為(1)求X的分布列;(2)玩三盤(pán)此游戲,求至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率;(3)玩過(guò)這款游戲的人發(fā)現(xiàn),若干盤(pán)游戲后,與最初的得分相比,得分沒(méi)有增加反而減少了,試分析得分減少的原因.9.[2020江西紅色七校第一次聯(lián)考]隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若一人報(bào)名參加了駕駛證考試,要順利拿到駕駛證,他需要通過(guò)四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試.在一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試,就算順利通過(guò),即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒(méi)有通過(guò),則需重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若前2次都沒(méi)有通過(guò),則以后每次參加科目二考試都需交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校對(duì)以往2000個(gè)學(xué)員第1次參加科目二考試的通過(guò)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到下表:男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過(guò)科目二人數(shù)960600第1次未通過(guò)科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過(guò)科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過(guò)科目二考試的概率,且每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試,在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;(2)已知這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒(méi)有通過(guò),記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.10.[2020蘭州一中三模][與分段函數(shù)綜合]為豐富學(xué)生課外生活,某市組織了高中生鋼筆書(shū)法比賽,比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行:第一階段由評(píng)委給所有參賽作品評(píng)分,并確定優(yōu)勝者;第二階段為附加賽,參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)X進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,這些分?jǐn)?shù)都在[70,100)內(nèi),在繪制以5為組距的頻率分布直方圖(設(shè)“頻率組距=Y”)時(shí),發(fā)現(xiàn)Y=8n-109300,n≤16,115(1)試確定n的所有取值,并求k.(2)經(jīng)組委會(huì)研究確定:在第一階段比賽中低于85分的參賽者無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽;分?jǐn)?shù)在[95,100)內(nèi)的參賽者評(píng)為一等獎(jiǎng);分?jǐn)?shù)在[90,95)內(nèi)的參賽者評(píng)為二等獎(jiǎng),但通過(guò)附加賽有111的概率提升為一等獎(jiǎng);分?jǐn)?shù)在[85,90)內(nèi)的參賽者評(píng)為三等獎(jiǎng),但通過(guò)附加賽有17的概率提升為二等獎(jiǎng),不能提升為一等獎(jiǎng)(所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí)).已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽,且學(xué)生A①求學(xué)生B最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生A最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率;②已知學(xué)生A和B都獲獎(jiǎng),記A,B兩位學(xué)生中最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和期望.答案第四講二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布1.B由題意可知質(zhì)點(diǎn)每次向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度的概率均為12所以第6次移動(dòng)后,該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率P=C63(12)3(12)32.C由題意得B,C,D中恰有兩人直接受A感染包含的情況有以下3種:①B,C兩人直接受A感染,D受B感染;②B,D兩人直接受A感染,C受B感染;③B,C兩人直接受A感染,D受C感染.所以B,C,D中恰有兩人直接受A感染的概率P=12×13.32由題意可知,σ=2n,μ=0.因?yàn)镻(|X-μ|<2σ)=0.9545,所以P(-2σ<X<2σ)=0.9545,所以2σ=22n≤0.5,解得n4.18根據(jù)題意可得,男生有40名,男生中三好學(xué)生有5名設(shè)“從該班任選一名學(xué)生”的樣本空間為Ω,“從該班任選一名學(xué)生,沒(méi)有選上女生”為事件A,“從該班任選一名學(xué)生,選上的是三好學(xué)生”為事件B,則“沒(méi)有選上女生且選上的是三好學(xué)生”為事件AB,“沒(méi)有選上女生的條件下,選上的是三好學(xué)生”為事件B|A.從該班任選一名學(xué)生,沒(méi)有選上女生的事件數(shù)為n(A)=40,沒(méi)有選上女生且選上的是三好學(xué)生的事件數(shù)為n(AB)=5.解法一所以P(B|A)=n(解法二從該班任選一名學(xué)生的事件數(shù)為n(Ω)=60,則P(AB)=n(AB)n(Ω)所以P(B|A)=P(5.將田忌的三匹馬按照上、中、下三等分別記為T(mén)1,T2,T3,齊威王的三匹馬按照上、中、下三等分別記為W1,W2,W3.(1)解法一在第一局比賽中,每一匹馬上場(chǎng)的概率都是13若齊威王派出的是W1,則田忌必然失敗;若齊威王派出的是W2,則田忌只有派出T1才能勝利;若齊威王派出的是W3,則田忌派出T1或T2皆可勝利.設(shè)事件A為“在第一局比賽中田忌勝利”,則A=W2T1∪W3T1∪W3T2,則在第一局比賽中田忌勝利的概率P(A)=13解法二設(shè)事件Ω為“第一局比賽中雙方參賽的馬匹情況”,事件A為“在第一局比賽中田忌勝利”,由題意得,Ω={(T1W1),(T1W2),(T1W3),(T2W1),(T2W2),(T2W3),(T3W1),(T3W2),(T3W3)},A={(T1W2),(T1W3),(T2W3)},則在第一局比賽中田忌勝利的概率P(A)=39(2)解法一設(shè)事件B為“第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬,而田忌派出場(chǎng)的是下等馬”,事件C為“田忌獲得本場(chǎng)比賽的勝利”.由于第一局田忌失敗,故田忌第二局和第三局必須都勝利才能獲得本場(chǎng)比賽勝利.依題意,田忌若第二局勝利,則第三局必然勝利,因此,只考慮第二局的對(duì)陣情況即可,故C|B=(W2|W1)(T1|T3)∪(W3|W1)(T2|T3),則本場(chǎng)比賽田忌勝利的概率P(C|B)=12解法二設(shè)事件B為“第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬,而田忌派出場(chǎng)的是下等馬”,事件C為“田忌獲得本場(chǎng)比賽的勝利”,由題意得,B={(T3W1,T1W2,T2W3),(T3W1,T1W3,T2W2),(T3W1,T2W2,T1W3),(T3W1,T2W3,T1W2)},BC={(T3W1,T1W2,T2W3),(T3W1,T2W3,T1W2)},則本場(chǎng)比賽田忌勝利的概率P(C|B)=24(3)16.6.(1)記“該校男生支持方案一”為事件A,“該校女生支持方案一”為事件B,由于所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立,則由表中數(shù)據(jù)可知抽取的男生總?cè)藬?shù)為200+400=600,支持方案一的有200人,則估計(jì)該校男生支持方案一的概率P(A)=13.抽取的女生總?cè)藬?shù)為300+100=400,支持方案一的有300人,故估計(jì)該校女生支持方案一的概率P(B)=3(2)記“從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一”為事件C,則事件C包含“一名男生支持,一名男生不支持,一名女生支持”與“兩名男生支持,一名女生不支持”,由(1)可知P(C)=C21×(1-13)×13×(3)p0>p1.7.(1)因?yàn)樵撔８咭荒昙?jí)學(xué)生的物理原始成績(jī)?chǔ)蝵N(60,132),所以P(47<ξ<86)=P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86)=12P(60-13<ξ≤60+13)+12P(60-2×13<ξ≤60+2×13)≈0.所以該校高一年級(jí)學(xué)生的物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù)為2000×0.8186=1637.(2)由題意得,從全省考生中隨機(jī)抽取1人,其該門(mén)選考科目的等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為16%+24%=40%,即25若隨機(jī)抽取3人,則X的所有可能取值為0,1,2,3,且X~B(3,25所以P(X=0)=(35)3=27125,P(X=1)=C31×25P(X=2)=C32×(25)2×35=36125,P(X所以X的分布列為X0123P2754368因?yàn)閄~B(3,25),所以數(shù)學(xué)期望E(X)=3×28.(1)X的所有可能取值為1,2,5,-15,則P(X=1)=C31×(12)1×(1-12)P(X=2)=C32×(12)2×(1-12)P(X=5)=C33×(12)3×(1-12)P(X=-15)=C30×(12)0×(1-12)所以X的分布列為X125-15P3311(2)設(shè)“第i盤(pán)游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai(i=1,2,3),結(jié)合(1)知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-15)=18所以玩三盤(pán)此游戲,至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率為1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1(3)由(1)知,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×38+2×38+5×18-15×18即每盤(pán)游戲獲得的分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)數(shù),所以多次玩此款游戲后,得分減少的可能性更大.9.由題中表格易知此駕校男學(xué)員每次通過(guò)科目二考試的概率為9601200=4設(shè)事件Ai為男學(xué)員在第i次考科目二時(shí)通過(guò),其中i=1,2,3,4,5;事件Bj為女學(xué)員在第j次考科目二時(shí)通過(guò),其中j=1,2,3,4,5.(1)設(shè)事件M為這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi),解法一則P(M)=P(A1B1+A1B1B2+A1A2B1+A1A2B=P(A1B1)+P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1A2B=4=910解法二P(M)=[1-P(A1A2)][1-P(B1B2)]=(1-(2)ξ的所有可能取值為400,600,800,1000,1200.P(ξ=400)=P(A3B3)=45P(ξ=600)=P(A3B3B4+A3A4B3)=P(ξ=800)=P(A3A4B3B4+A3B3B4P(ξ=1000)=P(A3A4B3B4+P(ξ=1200)=P(A3A4∴ξ的分布列為ξ40060080010001200P3271171E(ξ)=400×35+600×27100+800×11100+1000×7400+1200×1