必備知識·逐點夯實第三節變量的相關性與一元線性回歸模型第十章統計與成對數據的統計分析核心考點·分類突破【課標解讀】【課程標準】1.結合實例,了解樣本相關系數的統計含義,了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.2.結合實例,會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.3.結合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數的統計意義,了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法,會使用相關的統計軟件.4.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測.【核心素養】數學抽象、數據分析、數學運算.【命題說明】考向考法高考命題常以現實生活為載體,考查樣本相關系數、一元線性回歸方程、非線性回歸方程;一元線性回歸方程是高考熱點,三種題型都會出現.預測預計2025年高考仍會在相關系數、經驗回歸方程方面出題.必備知識·逐點夯實知識梳理·歸納1.變量的相關關系(1)相關關系:兩個變量____________,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.

(2)相關關系的分類:____________和___________.

(3)線性相關:一般地,如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關,而且散點落在______________附近,我們就稱這兩個變量線性相關.

微思考

變量的相關關系是因果關系嗎?提示:變量的相關關系,體現的不一定是因果關系.

有關系

正相關

負相關

一條直線

正

負

強

弱

4.對模型刻畫數據效果的分析(1)殘差圖法在殘差圖中,如果殘差比較均勻地集中在____________________________________,則說明經驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系.

以橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內

大

小

√√基礎診斷·自測類型辨析改編易錯題號12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)相關關系是一種非確定性關系.(

)提示:(1)由相關關系的定義可知,相關關系是一種非確定性關系,所以(1)正確;(2)散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段.(

)提示:(2)因為散點圖是描述成對數據之間關系的一種直觀方法,觀察散點圖可以大致看出兩個變量的相關關系,所以(2)正確;√×2.(選修第三冊P101例1改編)對于x,y兩個變量,有四組成對樣本數據,分別算出它們的樣本相關系數r如下,則線性相關性最強的是(

)A.-0.82 B.0.78 C.-0.69 D.0.87【解析】選D.由樣本相關系數的絕對值|r|越接近1,變量間的線性相關性越強知,各選項中r=0.87的絕對值最接近1.3.(選修第三冊P103習題1改編)根據所示的散點圖,下列說法正確的是(

)A.身高越高,體重越大

B.身高越高,體重越小C.身高和體重呈正相關

D.身高和體重呈負相關【解析】選C.根據散點圖的分布可得:身高和體重呈正相關.x24568y304060p70核心考點·分類突破A.花瓣長度和花萼長度沒有相關性B.花瓣長度和花萼長度呈現負相關C.花瓣長度和花萼長度呈現正相關D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關系數一定是0.8245【解析】選C.因為相關系數r=0.8245>0.75,且題中散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布,所以花瓣長度和花萼長度呈現正相關.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關系數不一定是0.8245.考點一成對數據的相關性[例1](1)(2023·天津高考)調查某種花萼長度和花瓣長度,所得數據如圖所示,其中相關系數r=0.8245,下列說法正確的是(

)(2)(多選題)對于樣本相關系數,下列說法正確的有(

)A.樣本相關系數可以用來判斷成對樣本數據相關的正負性B.樣本相關系數可以是正的,也可以是負的C.樣本相關系數r∈[-1,1]D.樣本相關系數越大,成對樣本數據的線性相關程度也越強【解析】選ABC.因為樣本相關系數大于0,說明成對樣本數據正相關,樣本相關系數小于0,說明成對樣本數據負相關,所以選項A正確;由樣本相關系數公式可知:樣本相關系數r∈[-1,1],所以選項B,C正確;樣本相關系數的絕對值越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強,故D錯誤.解題技法判斷相關關系的兩種方法(1)散點圖法:如果所有的樣本點都落在某條曲線附近,變量之間就有相關關系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系.(2)相關系數法:利用相關系數判定,|r|越趨近于1,相關性越強.對點訓練1.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位:千元)與利潤率統計表如下:月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3根據表中數據,下列說法正確的是(

)A.利潤率與人均銷售額呈現正相關關系B.利潤率與人均銷售額呈現負相關關系C.利潤率與人均銷售額成正比例函數關系D.利潤率與人均銷售額成反比例函數關系【解析】選A.由題中統計表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關系,也不是反比例關系,排除C,D;其屬于正相關關系,A正確,B錯誤.

【解析】選B.由題中散點圖可以看出兩個變量所構成的點在一條直線附近,所以線性相關關系較強,且應為正相關,所以經驗回歸方程的斜率應為正數,且從散點圖觀察,經驗回歸方程的斜率應該比直線y=x的斜率要小一些,綜上可知應選B.考點二回歸模型及其應用角度1一元線性回歸模型及其應用[例2]為保證新能源汽車的推廣,某市逐漸加大充電基礎設施的建設,該市統計了近五年新能源汽車充電站的數量(單位:個),得到如下數據:年份編號x12345年份20182019202020212022數量y/個37104147196226(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請用相關系數加以說明;

解題技法求經驗回歸方程的步驟57解題技法非線性回歸分析的步驟2ln2+21.4