第15講雙曲線【學習目標】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質2.通過雙曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想．【基礎知識】一、雙曲線定義1.平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數且a>0,c>0.(1)當2a<|F1F2|時,P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a＝|F1F2|時,P點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線；(3)當2a>|F1F2|時,P點不存在．3.雙曲線定義中距離的差要加絕對值,否則只為雙曲線的一支.設F1,F2表示雙曲線的左、右焦點,若|MF1|-|MF2|=2a,則點M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,則點M在左支上.二、雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0,b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a,y∈Rx∈R,y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0),A2(a,0)A1(0,－a),A2(0,a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a),e∈(1,＋∞),其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關系c2＝a2＋b2(c>a>0,c>b>0)【解讀】1.求雙曲線的標準方程一般用待定系數法,用待定系數法求雙曲線方程具體過程中先定形,再定量,即先確定雙曲線標準方程的形式,注意焦點F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”,若x2項的系數為正,則焦點在x軸上;若y2項的系數為正,那么焦點在y軸上.確定方程的形式后,然后再根據a,b,c,e及漸近線之間的關系,求出a,b的值,當雙曲線焦點的位置不確定時,為了避免討論焦點的位置,常設雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(A·B＜0),這樣可以簡化運算.2.在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經常結合||PF1|－|PF2||＝2a,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯系．3.雙曲線漸近線的說明(1)隨著x和y趨向于無窮大,雙曲線將無限地與漸近線接近,但永遠沒有交點.(2)由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值,但無法確定焦點位置.(3)求漸近線的方程,常把雙曲線的方程右邊的常數寫成0,分解因式即得漸近線方程,(4)如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標準方程,可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0),再由條件求出λ的值即可．(5)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4.求雙曲線離心率的常見方法(1)依據條件求出a,c,再計算e=.(2)依據條件建立參數a,b,c的關系式,一種方法是消去b轉化成關于的齊次方程,再轉化為離心率e的方程求解,另一種方法是利用離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿足關系式e2＝1＋k2.5.求離心率的范圍,一般根據條件建立a,b,c的不等式,再轉化為關于e的不等式,通過解不等式求得離心率的范圍,求解時應找好題中的等量關系或不等關系,構造出關于a,c的齊次式,進而求解.要注意對題目中隱含條件的挖掘,如對雙曲線上點的幾何特征eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≥2c的運用.三、直線與雙曲線1.直線與雙曲線位置關系的處理方法把直線與雙曲線的方程聯立成方程組,通過消元后化為一元二次方程,在二次項系數不為零的情況下考察方程的判別式.(1)Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點.(2)Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點.(3)Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點.2.當二次項系數為0時,此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個公共點.特別提醒:利用判別式來判斷直線與雙曲線的交點個數問題的前提是通過消元化為一元二次方程.四、雙曲線中的結論1.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角.2.PT平分△PF1F2在點P處的內角,則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓,除去長軸的兩個端點.3.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內切：P在右支；外切：P在左支)4.若在雙曲線(a＞0,b＞0)上,則過的雙曲線的切線方程是.5.若在雙曲線(a＞0,b＞0)外,則過作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是.6.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點,A1P和A2Q交于點M,A2P和A1Q交于點N,則MF⊥NF.7.AB是雙曲線(a＞0,b＞0)的不平行于對稱軸的弦,M為AB的中點,則,即.8.若在雙曲線(a＞0,b＞0)內,則被所平分的中點弦的方程是.9.雙曲線(a＞0,b＞0)的兩個頂點為,,與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.10.過雙曲線(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點,則直線BC有定向且(常數).【考點剖析】考點一：求雙曲線的方程例1．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為()A． B．C． D．考點二：雙曲線定義的應用例2．(2022學年四川省遂寧市射洪中學高二下學期月考)已知P是雙曲線上的點，，是其焦點，雙曲線的離心率是，且，若的面積為9，則的值為__________.考點三：求雙曲線的離心率例3．已知直線與雙曲線有且只有一個公共點，則C的離心率等于________．考點四：求雙曲線離心率的取值范圍例4．(2022學年四川省攀枝花市高二上學期期末)已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.

線段的垂直平分線和直線相交于點，設點在圓上運動時，點的軌跡為，當時，軌跡對應曲線的離心率取值范圍為(

)A． B．C． D．考點五：雙曲線的漸近線例5．(2022學年江西省宜春市銅鼓中學高二下學期月考)已知雙曲線的焦距為，實軸長為4，則C的漸近線方程為(

)A． B． C． D．考點六：與雙曲線有關的最值例6．(2022學年廣東省梅州市大埔縣虎山中學高二下學期4月月考)已知雙曲線是其左右焦點.圓，點P為雙曲線C右支上的動點，點Q為圓E上的動點，則的最小值是(

)A． B． C．7 D．8考點七：直線與雙曲線例7．(2022學年浙江省杭州地區高二下學期期中聯考)已知點為雙曲線右支上的點，雙曲線在點處的切線交漸近線于點，.(1)證明：為中點；(2)若雙曲線上存在點使的垂心恰為原點，求的取值范圍.【真題演練】1．(2021年高考全國卷甲)已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為 ()A． B． C． D．2．(2020年高考全國卷Ⅱ)設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為 ()A．4 B．8 C．16 D．323．(2020年高考全國卷Ⅲ)設雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點分別為F1，F2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a= ()A．1 B．2 C．4 D．84.(2020年新高考山東卷)已知曲線.()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為D.若m=0,n>0,則C是兩條直線5.(2021年新高考Ⅱ卷)已知雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為_______________6．(2021年高考全國卷甲)已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．7.(2022新高考全國卷=2\*ROMANII)已知雙曲線的右焦點為,漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點,點在C上,且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.8.(2022新高考全國卷=1\*ROMANI)已知點在雙曲線上,直線l交C于P,Q兩點,直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若,求的面積．【過關檢測】1.(2022學年江蘇省鹽城市高二下學期期末)若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數m的值為(

)A． B．9 C． D．32.(2022學年廣東省佛山市南海區南海中學高二下學期期中)已知雙曲線的一條漸近線過圓的圓心，則C的離心率為(

)A． B． C． D．33.(2022學年吉林省吉林市第一中學高二6月月考)已知雙曲線C：的上、下焦點分別為F1，F2，點P在x軸上，線段PF1交C于Q點，△PQF2的內切圓與直線QF2相切于點M，則線段MQ的長為()A．1 B．2 C． D．4.(多選)(2022學年河南省豫北名校高二下學期5月調研)已知雙曲線的左，右焦點分別為，點，若C的右支上的任意一點M滿足，則C的離心率的取值范圍為(

)A． B．C． D．5.(多選)(2022學年吉林省吉林市吉化第一高級中學校高二上學期期末)下列雙曲線中以為漸近線的是(

)A． B． C． D．6.(多選)(2020-2021學年山東省日照市高二上學期期末校際聯合考試)已知曲線，下列結論正確的是(

)A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是雙曲線，其焦點在軸上C．若，則是圓D．若，，則是兩條直線7.(多選)(2022學年湖北省新高考聯考協作體高二下學期5月月考)若P是雙曲線C：上一點，C的一個焦點坐標為，則下列結論中正確的是(

)A． B．漸近線方程為C．的最小值是2 D．焦點到漸近線的距離是8.(2022學年江西省撫州市南城縣第二中學高二下學期月考)設為雙曲線C：的左、右焦點，為雙曲線虛軸的下端點，為過點的圓與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為_________；