衡水市重點中學2025屆九上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．⊙O的半徑為8，圓心O到直線l的距離為4，則直線l與⊙O的位置關系是A．相切 B．相交 C．相離 D．不能確定2．下列事件中為必然事件的是（）A．拋一枚硬幣，正面向上 B．打開電視，正在播放廣告C．購買一張彩票，中獎 D．從三個黑球中摸出一個是黑球3．已知一個單位向量，設、是非零向量，那么下列等式中正確的是（）．A．； B．； C．； D．．4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列變形正確的是（）A．（x+3）2=﹣4 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=5 D．（x+3）2=±5．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，則的值為（）A． B． C． D．6．下列說法中，正確的個數（）①位似圖形都相似:②兩個等邊三角形一定是位似圖形；③兩個相似多邊形的面積比為5:1．則周長的比為5:1；④兩個大小不相等的圓一定是位似圖形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，則這個方程的兩根為（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不確定8．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝ B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝ D．x＝09．下列拋物線中，其頂點在反比例函數y＝的圖象上的是（）A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣110．將函數的圖象用下列方法平移后，所得的圖象不經過點A（1，4）的方法是（）A．向左平移1個單位 B．向右平移3個單位C．向上平移3個單位 D．向下平移1個單位11．如圖，中，將繞點逆時針旋轉后得到，點經過的路徑為則圖中涂色部分的面積為（）A． B． C． D．12．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則下列敘述正確的是()A．abc＜0 B．－3a＋c＜0C．b2－4ac≥0 D．將該函數圖象向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y＝ax2＋c二、填空題（每題4分，共24分）13．某工廠的產品每50件裝為一箱，現質檢部門對100箱產品進行質量檢查，每箱中的次品數見表：次品數012345箱數5014201042該工廠規定：一箱產品的次品數達到或超過6%，則判定該箱為質量不合格的產品箱.若在這100箱中隨機抽取一箱，抽到質量不合格的產品箱概率為_______14．若是關于的方程的一個根，則的值為_________________.15．關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是______．16．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，則∠C的度數是_____．17．如右圖是一個立體圖形的三視圖，那么這個立體圖形的體積為______．18．如圖，在正方形ABCD中，AB＝a，點E，F在對角線BD上，且∠ECF＝∠ABD，將△BCE繞點C旋轉一定角度后，得到△DCG，連接FG．則下列結論：①∠FCG＝∠CDG；②△CEF的面積等于；③FC平分∠BFG；④BE2+DF2＝EF2；其中正確的結論是_____．（填寫所有正確結論的序號）三、解答題（共78分）19．（8分）化簡：．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點順指針旋轉到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉到的位置，點在軸上，依次進行下午……，若點，，則點的橫坐標為__________．21．（8分）在平面直角坐標系中，已知P（,）,R（,）兩點，且，，若過點P作軸的平行線，過點R作軸的平行線，兩平行線交于一點S，連接PR，則稱△PRS為點P，R，S的“坐標軸三角形”.若過點R作軸的平行線，過點P作軸的平行線，兩平行線交于一點，連接PR，則稱△RP為點R，P，的“坐標軸三角形”.右圖為點P，R，S的“坐標軸三角形”的示意圖.（1）已知點A（0，4），點B（3，0）,若△ABC是點A，B，C的“坐標軸三角形”，則點C的坐標為；（2）已知點D（2，1），點E（e，4），若點D，E，F的“坐標軸三角形”的面積為3，求e的值.（3）若的半徑為，點M（，4），若在上存在一點N，使得點N，M，G的“坐標軸三角形”為等腰三角形，求的取值范圍.22．（10分）如圖，拋物線過點，，直線交拋物線于點，點的橫坐標為，點是線段上的動點．（1）求直線及拋物線的解析式；（2）過點的直線垂直于軸，交拋物線于點，求線段的長度與的關系式，為何值時，最長？（3）是否存在點使為等腰三角形，若存在請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．23．（10分）如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行60米到達C處，再測得山頂A的仰角為45°，求山高AD的長度．（測角儀高度忽略不計）24．（10分）某校舉行田徑運動會，學校準備了某種氣球，這些全球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（kPa）是氣體體積V（）的反比例函數，其圖象如圖所示：（1）求這個函數的表達式；（2）當氣球內的氣壓大于150kPa時，氣球將會爆炸，為了安全起見，氣體的體積應至少是多少？25．（12分）如圖，內接于，直徑交于點，延長至點，使，且，連接并延長交過點的切線于點，且滿足，連接．(1)求證：；(2)求證：是的切線．26．問題呈現：如圖1，在邊長為1小的正方形網格中，連接格點A、B和C、D，AB和CD相交于點P，求tan∠CPB的值方法歸納：求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出(或構造出)一個直角三角形，觀察發現問題中∠CPB不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點B、E，可得BE∥CD，則∠ABE=∠CPB，連接AE，那么∠CPB就變換到Rt△ABE中．問題解決：（1）直接寫出圖1中tanCPB的值為______；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AB與CD相交于點P，求cosCPB的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據圓O的半徑和圓心O到直線L的距離的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相離：d＞r；即可選出答案．【詳解】∵⊙O的半徑為8，圓心O到直線L的距離為4，

∵8＞4，即：d＜r，

∴直線L與⊙O的位置關系是相交．

故選B．2、D【分析】根據必然事件指在一定條件下一定發生的事件逐項進行判斷即可.【詳解】A，B，C選項中，都是可能發生也可能不發生，是隨機事件，不符合題意；D是必然事件，符合題意.故選：D.【點睛】本題考查必然事件的定義，熟練掌握定義是關鍵.3、B【分析】長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規定大小沒規定方向，則可分析求解．【詳解】解：、左邊得出的是的方向不是單位向量，故錯誤；、符合向量的長度及方向，正確；、由于單位向量只限制長度，不確定方向，故錯誤；、左邊得出的是的方向，右邊得出的是的方向，兩者方向不一定相同，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查了向量的性質．4、C【解析】x2+6x+4=0，移項，得x2+6x=－4，配方，得x2+6x+32=－4+32，即（x+3）2=5.故選C.5、B【解析】試題分析：∵DE∥BC，∴，∵，∴．故選B．考點：平行線分線段成比例．6、B【分析】根據位似圖形的定義（如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．）分別對①②④進行判斷，根據相似多邊形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比對③進行判斷．【詳解】解：①位似圖形都相似，故該選項正確；②兩個等邊三角形不一定是位似圖形，故該選項錯誤；③兩個相似多邊形的面積比為5:1．則周長的比為，故該選項錯誤；④兩個大小不相等的圓一定是位似圖形，故該選項正確．正確的是①和④，有兩個，故選：B【點睛】本題考查的是位似圖形、相似多邊形性質，掌握位似圖形的定義、相似多邊形的性質定理是解決此題的關鍵．7、C【分析】根據求出m的值，再把求得的m的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的兩個根.【詳解】解：∵△=b2﹣4ac=0，∴4﹣4m=0，解得：m=1，∴原方程可化為：x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，∴x1=x2=﹣1．故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵.8、C【解析】根據題意對方程提取公因式x,得到x(

3x-1)=0的形式,則這兩個相乘的數至少有一個為0,由此可以解出x的值.【詳解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據方程的提點靈活選用合適的方法.9、A【分析】根據y＝得k＝xy＝12，所以只要點的橫坐標與縱坐標的積等于12，就在函數圖象上．【詳解】解：∵y＝，∴k＝xy＝12，A、y＝（x﹣4）2+3的頂點為（4，3），4×3＝12，故y＝（x﹣4）2+3的頂點在反比例函數y＝的圖象上，B、y＝（x﹣4）2﹣3的頂點為（4，﹣3），4×（﹣3）＝﹣12≠12，故y＝（x﹣4）2﹣3的頂點不在反比例函數y＝的圖象上，C、y＝（x+2）2+1的頂點為（﹣2，1），﹣2×1＝﹣2≠12，故y＝（x+2）2+1的頂點不在反比例函數y＝的圖象上，D、y＝（x+2）2﹣1的頂點為（﹣2，﹣1），﹣2×（﹣1）＝2≠12，故y＝（x+2）2﹣1的頂點不在反比例函數y＝的圖象上，故選：A．【點睛】本題考查的知識點是拋物線的頂點坐標以及反比例函數圖象上點的坐標，根據拋物線的解析式確定拋物線的頂點坐標是解此題的關鍵．10、D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，圖象經過A點，故A不符合題意；B.平移后，得y=(x?3)2，圖象經過A點，故B不符合題意；C.平移后，得y=x2+3，圖象經過A點，故C不符合題意；D.平移后，得y=x2?1圖象不經過A點，故D符合題意；故選D.11、A【分析】先根據勾股定理得到AB，再根據扇形的面積公式計算出，由旋轉的性質得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是．【詳解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴，

∴，又∵Rt△ABC繞A點逆時針旋轉30°后得到Rt△ADE，

∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴．

故選：A【點睛】本題主要考查的是旋轉的性質、扇形的面積公式，勾股定理的應用，將陰影部分的面積轉化為扇形ABD的面積是解題的關鍵．12、B【解析】解：A．由開口向下，可得a＜0；又由拋物線與y軸交于負半軸，可得c＜0，然后由對稱軸在y軸右側，得到b與a異號，則可得b＞0，故得abc＞0，故本選項錯誤；B．根據圖知對稱軸為直線x=2，即=2，得b=﹣4a，再根據圖象知當x=1時，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本選項正確；C．由拋物線與x軸有兩個交點，可得b2﹣4ac＞0，故本選項錯誤；D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，∴向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為，故本選項錯誤；故選B．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】由表格中的數據可知算出抽到質量不合格的產品箱頻率后，利用頻率估計概率即可求得答案.【詳解】解：∵一箱產品的次品數達到或超過6%，則判定該箱為質量不合格的產品箱.∴質量不合格的產品應滿足次品數量達到：∴抽到質量不合格的產品箱頻率為：所以100箱中隨機抽取一箱，抽到質量不合格的產品箱概率：故答案為：.【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，由此可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.用頻率估計概率的近似值，隨著實驗次數的增多，值越來越精確.14、【分析】將x=2代入方程，列出含字母a的方程，求a值即可.【詳解】解：∵x=2是方程的一個根，∴，解得，a=.故答案為：.【點睛】本題考查方程解的定義，理解定義，方程的解是使等式成立的未知數的值是解答此題的關鍵.15、且【解析】由關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，即可得判別式，繼而可求得a的范圍．【詳解】關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得：，方程是一元二次方程，，的范圍是：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程判別式以及一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0方程沒有實數根．16、75°【解析】已知在△ABC中°，cosA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根據三角形的內角和定理可得∠C=75°.17、250π【分析】根據三視圖可得這個幾何體是一個底面直徑為10，高為10的圓柱，再根據圓柱的體積公式列式計算即可．【詳解】解：根據這個立體圖形的三視圖可得：這個幾何體是一個圓柱，底面直徑為10，高為10，

則這個立體圖形的體積為：π×52×10=250π，

故答案為：250π．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．18、①③④【分析】由正方形的性質可得AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝45°，由旋轉的性質可得∠CBE＝∠CDG＝45°，BE＝DG，CE＝CG，∠DCG＝∠BCE，由SAS可證△ECF≌△GCF，可得EF＝FG，∠EFC＝∠GFC，S△ECF＝S△CFG，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝45°，∴∠ECF＝∠ABD＝45°，∴∠BCE+∠FCD＝45°，∵將△BCE繞點C旋轉一定角度后，得到△DCG，∴∠CBE＝∠CDG＝45°，BE＝DG，CE＝CG，∠DCG＝∠BCE，∴∠FCG＝∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠CDG＝45°，故①正確，∵EC＝CG，∠FCG＝∠ECF，FC＝FC，∴△ECF≌△GCF（SAS）∴EF＝FG，∠EFC＝∠GFC，S△ECF＝S△CFG，∴CF平分∠BFG，故③正確，∵∠BDG＝∠BDC+∠CDG＝90°，∴DG2+DF2＝FG2，∴BE2+DF2＝EF2，故④正確，∵DF+DG＞FG，∴BE+DF＞EF，∴S△CEF＜S△BEC+S△DFC，∴△CEF的面積＜S△BCD＝，故②錯誤；故答案為：①③④【點睛】本題是一道關于旋轉的綜合題目，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，考查了旋轉的性質、正方形的性質、全等三角形的判定及性質等知識點．三、解答題（共78分）19、【分析】根據完全平方公式和平方差公式,先算整式乘法,再算加減.【詳解】解：原式===【點睛】考核知識點：整式乘法.熟記乘法公式是關鍵.20、【解析】由圖形規律可知在X軸上，根據觀察的規律即可解題.【詳解】因為，，所以0A=，OB=4，所以AB==,所以（10,4），（20,4），（30,4），（10090,4），的橫坐標為10090++=10096.【點睛】本題考查圖形的變化—旋轉，勾股定理，以及由特殊到一般查找規律.21、（1）（3，4）；（2）或；（3）m的取值范圍是或.【分析】（1）根據點C到x軸、y軸的距離解答即可；（2）根據“坐標軸三角形”的定義求出線段DF和EF，然后根據三角形的面積公式求解即可；（3）根據題意可得：符合題意的直線MN應為y=x+b或y=－x+b．①當直線MN為y=x+b時，結合圖形可得直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第四象限時，b取得最小值，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可求得b的最小值，進而可得m的最大值；當直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第二象限時，b取得最大值，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可求得b的最大值，進而可得m的最小值，可得m的取值范圍；②當直線MN為y=－x+b時，同①的方法可得m的另一個取值范圍，問題即得解決.【詳解】解：（1）根據題意作圖如下：由圖可知：點C到x軸距離為4，到y軸距離為3，∴C（3，4）；故答案為：（3，4）；（2）∵點D（2，1），點E（e，4），點D，E，F的“坐標軸三角形”的面積為3，∴，，∴，即=2，解得：e=4或e=0；（3）由點N，M，G的“坐標軸三角形”為等腰三角形可得：直線MN為y=x+b或y=－x+b.①當直線MN為y=x+b時，由于點M的坐標為（m，4），可得m=4－b，由圖可知：當直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第四象限時，b取得最小值.此時直線MN記為M1N1，其中N1為切點，T1為直線M1N1與y軸的交點.∵△ON1T1為等腰直角三角形，ON=，∴，∴b的最小值為－3，∴m的最大值為m=4－b=7；當直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第二象限時，b取得最大值.此時直線MN記為M2N2，其中N2為切點，T2為直線M2N2與y軸的交點.∵△ON2T為等腰直角三角形，ON2=，∴，∴b的最大值為3，∴m的最小值為m=4－b=1，∴m的取值范圍是；②當直線MN為y=－x+b時，同理可得，m=b－4，當b=3時，m=－1；當b=－3時，m=－7；∴m的取值范圍是.綜上所述，m的取值范圍是或.【點睛】本題是新定義概念題，主要考查了三角形的面積、直線與圓相切的性質、等腰三角形的性質和勾股定理等知識，正確理解題意、靈活應用數形結合的思想和分類討論思想是解題的關鍵.22、（1），；（2）當時，線段的長度有最大值，最大值為；（3）存在，，，【分析】（1）由題意，利用待定系數法，先求出二次函數的解析式，然后再求出直線AD的解析式；（2）根據題意，先得到l與m的函數關系式，再依據函數的最值，可求m為何值時，PQ最長，PQ的最大值也能求出；（3）根據題意，由為等腰三角形，可分為三種情況進行分析：BP=BD或BP=DP或BD=DP，分別求出點P的坐標，然后求出點Q的坐標即可．【詳解】解：（1）將，代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為．當時，，∴點的坐標為，設直線的解析式為，代入點，，得，解得，∴直線的解析式為；（2）∵在線段上，∴，∴點的坐標為，∴點的坐標為，∴，即，∴當時，線段的長度有最大值，最大值為；（3）存在；理由如下：根據題意，則∵為等腰三角形，∴可分為三種情況進行討論：①當BP=BD時，此時點P恰好是線段AD與y軸的交點，如圖：∵，，又∵點P為（0，）∴BD=，BP=，∴BP=BD，∴點Q與點C重合，在，令x=0，則y=；∴點Q為（0，）；②當BP=DP，作PE⊥BD于點E，∴點E為（，），∵直線BD的斜率為：，∴直線PE的斜率為：，∴直線PE的解析式為：；聯合直線PE與直線AD，則有，解得：，∴點P的坐標為（，），∴點Q的坐標為：；③當BD=DP，則設點P為（m，m1），∵，∴，解得：或（舍去），∴點P為（，），∴點Q的坐標為：；綜合上述，有，，．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，等腰三角形的性質等知識，應用分類討論思想和數形結合思想是解題的關鍵．23、30米【解析】設AD＝xm，在Rt△ACD中，根據正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD中，根據正切的概念列出方程求出x的值即可．【詳解】由題意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，設AD＝xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝，∴CD＝AD＝x，∴BD＝BC+CD＝x+60，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝，∴，∴米，答：山高AD為30米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．24、（1）；（2）至少是0.4.【分析】（1）設表達式為，取點A（0.5，120）代入解得k值即可.（2）令y=1