一元一次方程的應用題(一)一元一次方程的應用題(一)一元一次方程了解一元一次方程的有關概念會根據具體問題列出一元一次方程能運用整式的加減運算對多項式進行變形.進一步解決有關問題一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各個步驟能熟練掌握一元一次方程的解法；會求含有字母系數(無需討論)的一元一次方程的解會運用一元一次方程解決簡單的實際問題應用題是中學數學中的一類重要問題.一般通過對問題中量的關系進行分析.適當的設未知數.找出等量關系列出方程加以解決.很多同學見到應用題就發怵.覺得題目長.文字多.關系復雜.難以把握.其實應用題關鍵在于讀題.弄懂題意.一些常見的問題.比如行程問題.工程問題.利率問題.濃度問題等等.其中的基本關系一定要深刻理解.設未知數的方法一般來講.有以下幾種：直接設未知數解應用題：直接設未知數指題目問什么就設什么.它多適用于要求的未知數只有一個的情況；間接設未知數解應用題：設間接未知數.是指所設的不是所求的.而解得的間接未知數對確定所求的量起中介作用；引入輔助未知數解應用題：設輔助未知數.就是為了使題目中的數量關系更加明確.可以引進輔助未知數幫助建立方程.輔助未知數往往不需要求出.可以在解題時消去.解應用題的方法多種多樣.除此之外.還有運用逆推法解應用題.運用整體思想解應用題.運用圖形圖表法解應用題等等.單純的背這些方法是沒有意義的.關鍵還在于提高理解能力.大量練習.從而學會快速讀懂題意.綜合運用各種方法去求解問題.列方程解應用題的步驟：①審：審題.分析題中已知什么.求什么.明確各數量之間關系②設：設未知數（一般求什么.就設什么為x） ③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系④列：根據這個相等關系列出需要的代數式.進而列出方程⑤解：解所列出的方程.求出未知數的值⑥答：檢驗所求解是否符合題意.寫出答案（包括單位名稱）模塊一和差倍分問題玻璃缸里養了三個品種的金魚.分別是“水泡”“朝天龍”“珍珠”．“水泡”的條數是“珍珠”的3倍；“朝天龍”的條數是“珍珠”的2倍.且“朝天龍”比“水泡”少1條.這三種金魚各有幾條呢?【解題思路】設“珍珠”的條數為條.則“水泡”“朝天龍”的條數分別為條.條．依題意得：..從而..【題目答案】【鞏固練習】甲隊有32人.乙隊有28人.現從乙隊抽人到甲隊.使甲隊是乙隊人數的2倍.依題意.列出方程為.【解題思路】略【題目答案】【鞏固練習】汽車若干輛裝運貨物一批.若每輛汽車裝噸貨物.這批貨物就有2噸運不走；若每輛汽車裝4噸貨物.那么裝完這批貨物后.還可以裝其他貨物1噸.問汽車有多少輛?這批貨物有多少噸？【解題思路】設有汽車輛．依題意得：.解之得：..故汽車有6輛.貨物有23噸．【題目答案】；⑴甲倉庫有糧噸．乙倉庫有糧噸．從甲倉庫調運噸到乙倉庫.調劑后甲倉庫存糧是乙倉庫的一半．⑵甲乙兩個圓柱體容器.底面積比為.甲容器水深.乙容器水深.再往兩個容器注入同樣多的水.使兩個容器的水深相等.這時水深多少厘米?【解題思路】⑴從甲倉庫調運噸到乙倉庫.依題意得.解得．⑵設這時水深.依題意得.解得．若學生不好理解.不妨多設一個底面積比為．方程為即可．【題目答案】；【鞏固練習】某公司有甲乙兩個工程隊.甲隊人數比乙隊人數的多人．現因任務需要.從乙隊調走20人到甲隊.這時甲隊人數是乙隊人數的2倍.則甲乙兩隊原來的人數分別是多少人？【解題思路】設乙隊原來有人.則甲隊有人．依題意可列：.解得：【題目答案】【鞏固練習】甲.乙.丙三條鐵路共長千米.甲鐵路長比乙鐵路的倍少千米.乙鐵路長比丙鐵路少千米.求甲鐵路的長．【解題思路】設丙鐵路長為千米.則乙鐵路長千米.甲鐵路長千米．依題意可列：【題目答案】【鞏固練習】如圖.兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中.在桶中加入水后.一根露出水面的長度是它的.另一根露出水面的長度是它的．兩根鐵棒長度之和為.此時木桶中水的深度是．【解題思路】設此時木桶中水的深度為.依題意得.兩根鐵棒的長度為和.故.解得．【題目答案】牧羊人趕著一群羊尋找一個草長得茂盛的地方.一個過路人牽著一只肥羊從后面跟了上來.他對牧羊人說：“你趕的這群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果這群羊增加一倍.再加上原來這群羊的一半.又加上原來這群羊一半的一半.連你這只羊也算進去.才剛好湊滿100只．”問牧羊人的這群羊共有多少只?【解題思路】設這群羊共有只.依題意.有.解之得.【題目答案】模塊二行程問題?追擊問題解決追擊問題的一個最基本的公式：追擊時間速度差追擊的路程．于此相關的問題都可以應用這一公式進行解答．敵我兩軍相距32千米.敵軍以每小時6千米的速度逃竄.我軍同時以每小時16千米的速度追擊在相距2千米的地方發生戰斗.問戰斗是從開始追擊后幾小時發生的？【解題思路】根據追擊問題的基本公式：追擊時間速度差追擊的路程．設戰斗是從開始追擊后小時發生的．則依題意可列：.解得：．【題目答案】【鞏固練習】環城自行車賽.最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人.已知最快的人的速度是最慢的人速度的倍.環城一周是20千米.求兩個人的速度.【解題思路】設最慢的人的速度為.則最快的人的速度為.依題意可列：．解得：【題目答案】慢人的速度為.快人的速度為．【鞏固練習】一個通迅員騎摩托車追趕前面部隊乘坐的汽車.汽車的速度是每小時28千米.摩托車的速度是每小時42千米.通訊員出發4小時后追上汽車.求部隊比通訊員早出發幾小時？【解題思路】設部隊比通訊員早出發小時．則依題可列：.解得：．【題目答案】某人從家里騎摩托車到火車站.如果每小時行30千米.那么比火車開車時間早到15分鐘.若每小時行18千米.則比火車開車時間遲到15分鐘.現在此人打算在火車開車前10分鐘到達火車站.則此人此時騎摩托車的速度應為多少？【解題思路】設此人從家里出發到火車開車的時間為小時.則.解得.此人打算在火車開車前10分鐘到達.騎摩托車的速度應為（千米/時）【題目答案】【鞏固練習】甲乙兩列火車.甲車長160.乙車長120.甲車速度為20.乙車速度為；若乙車從后面追趕甲車.問從乙車追上甲車到乙車超過甲車的時間是多少？【解題思路】本題解題的關鍵是要注意“乙車追上甲車到乙車超過甲車”所以.追擊路程為兩車的車長之和．設從乙車追上甲車到乙車超過甲車的時間為.則依題意可列：解得：【題目答案】?相遇問題解決相遇問題的基本公式為：速度和相遇時間路程．乙兩站的路程為360千米.一列快車從乙站開出.每小時行駛72千米；一列慢車從甲站開出.每小時行駛48千米．兩列火車同時開出.相向而行.經過多少小時相遇？【解題思路】設經過小時相遇.則依題意可列：.解得：．【題目答案】【鞏固練習】甲.乙兩人從相距75的.兩地相向而行.甲每小時行.乙每小時行.問：（1）兩人同時出發.多少小時相遇？（2）甲先走2小時后乙出發.問乙出發幾小時后兩人相遇【解題思路】（1）設小時相遇．依題意可列：.解得：（2）設乙出發小時后兩人相遇．則依題意可列：.解得：．【題目答案】；【鞏固練習】甲.乙兩人從相距73的.兩地相向而行.甲每小時行7.乙每小時行2.問：兩人同時出發.多少小時相距1？【解題思路】設小時后相距．依題意可列：.解得：．【題目答案】?變速問題一輛汽車從甲地開往乙地.每分鐘行525米.預計40分鐘到達.但行到一半路程時.機器發生故障.用5分鐘修理完畢.如果仍在預計的時間內到達.行駛余下的路程.每分鐘比原來速度快多少米？【解題思路】設比原來的速度快米．則依題意可列：.解得：．【題目答案】【鞏固練習】某人以每小時8千米的速度上山.以每小時12千米的速度下山.共用5小時.問上山需要用多少時間？【解題思路】設上山需要用小時.下山需要小時．則依題可列：.解得：．【題目答案】【鞏固練習】Cenrrie帶著寵物狗“旺財”去玩接“飛盤”的游戲.Cenrrie站一個小山坡的腳下.當Cenrrie扔出“飛盤”.“旺財”從Cenrrie身邊同時跑出去速度為6.接到“飛盤”后以9的速度跑回Cenrrie身邊.問整個過程中“旺財”的平均速度是多少？【解題思路】設“旺財”從身邊跑出去接到飛盤所用的時間為..則整個過程中的平均速度為：【題目答案】【點評】這題切記利用兩個速度和的一半來求平均速度.這樣做是錯誤的．某人有急事.預定搭乘一輛小貨車從A地趕往B地．實際上.他乘小貨車行了三分之一路程后改乘一輛小轎車.車速提高了一倍.結果提前一個半小時到達．已知小貨車的車速是36千米／小時.求兩地間路程.【解題思路】列方程解應用題的基本思想是通過對實際問題中數量關系的分析.列出相關的代數式.進而建立方程.轉化為純數學問題來解決．這一過程的關鍵是要透過紛繁多變問題的表象.住數量關系的實質；不能機械的記憶.套用某些題型而忽略了問題的本質．常有貌似相像.實質不同的問題；也有面目迥異而實質相同的問題．本題與上題具有相同的數量關系：后程中時間節約了小時．所以設行駛了全程的還余千米．根據題意.同樣可列出方程..解得．這時兩地間路程是(千米)．【題目答案】【鞏固練習】一只小船從甲港到乙港逆流航行需2小時.水流速度增加一倍后.再從甲港到乙港航行需3小時.水流速度增加后.從乙港返回甲港需航行多少小時？【解題思路】設小船在靜水中的速度為.原來的水速為.則.解得.故所求時間為（小時）.【題目答案】?流水問題流水問題的常用公式：一小船由A港到B港順流需行6小時.由B港到A港逆流需行8小時.一天.小船從早晨6點由A港出發順流行至B港時.發現一救生圈在途中掉落在水中.立即返回.1小時后找到救生圈.問：⑴若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小時？⑵救生圈是何時掉入水中的？【解題思路】⑴設小船在靜水中的速度為.水流速度為.則.解得.故小船按水流速度由A港漂流到B港所需時間為（小時）；⑵設小船行駛小時后.救生圈掉入水中.則.將代入上式.得到.故救生圈是上午11點掉入水中的.【題目答案】；【鞏固練習】甲.乙兩港相距360千米.一輪船往返兩港需35小時.逆流航行比順流航行多花了5小時.現有一機帆船.靜水中速度是每小時12千米.問這機帆船往返兩港要多少小時？【解題思路】解答本題需要兩大步驟：首先求出水流的速度.其次.利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的時間．設輪船順流航行需要小時.依題意可列：.解得：．可求得水速為：（千米∕時）則帆船往返兩港所需要的時間為：（小時）【題目答案】模塊三工程問題某車間原計劃每周裝配臺機床.預計若干周完成任務．在裝配了三分之一以后.改進操作技術.工效提高了一倍.結果提前一周半完成任務．求這次任務需裝配機床總臺數．【解題思路】設裝配了機床總量的還余臺．根據題意可列方程.解得．這時總任務是(臺)．【題目答案】【鞏固練習】某工程.甲工程隊單獨做天完成.乙工程隊單獨做需要天完成.若乙工程隊單獨做天后.甲.乙兩工程隊再合作天完成．列方程為．【解題思路】．【題目答案】一水池.裝有甲.乙兩個進水管和一個出水管丙.如果單獨開發甲管4小時注滿水池；單獨開放乙管3小時可注滿水池；單獨開放丙管8小時可以把滿池水放完.問三管一齊開放.幾小時注滿水池？【解題思路】設三管一齊開放.小時可以注滿水池．則由題意可列：.解得：（小時）【題目答案】【鞏固練習】有一個水池.用甲抽水機抽水小時可以把全池水的抽完.用乙抽水機小時可以把全池水的抽完.若兩臺抽水機同時工作.幾小時可將全池的水抽完？【解題思路】根據題意可知甲抽水機每小時可以完成總量的.乙抽水機每小時可以完成總量的.則依題意可列：.解得：（小時）【題目答案】模塊四.配套問題1．在配套問題中.配套的物品之間具有一定的數量關系.這個數量關系可以作為列方程的依據．2．配套問題中的基本數量關系：若m個A和n個B配成一套.則.可得等量關系：m×B的數量=n×A的數量．3．審題時.要注意對題目中“恰好”“最多”等關鍵詞的理解．【例1】佳福服裝公司為學校加工一批校服.3米長的布料可制作上衣2件或褲子3條.一件上衣和一條褲子為一套.計劃用600米長的布料加工校服.請你幫該公司計算一下.分別用多少布料生產上衣和褲子.才能配套？共能加工多少套校服？【題目答案】用360米布料生產上衣.則用240米布料生產褲子才能配套.共加工240套校服．【解題思路】設用x米布料生產上衣.則用（600–x）米布料生產褲子才能配套.由題意得.2x=3（600–x）.解得：x=360.則600–x=240.共加工校服：360÷3×2=240（套）．答：用360米布料生產上衣.則用240米布料生產褲子才能配套.共加工240套校服．模塊五.比賽中的積分問題在比賽積分問題中.基本相等關系有：某個隊的參賽場數=該隊的勝場數+該隊的負場數+該隊的平場數；某個隊的總積分=該隊的勝場積分+該隊的負場積分+該隊的平場積分．【例4】籃球比賽規定：勝一場得3分.負一場得1分.某籃球隊共進行了6場比賽.得了12分.該隊獲勝的場數是A．2 B．3 C．4 D．5【題目答案】B【解題思路】設該隊獲勝x場.則負了（6–x）場.根據題意得：3x+（6–x）=12.解得：x=3．故選B．【名師點睛】（1）并不是每種比賽都按勝.平.負情況積分.有的只按勝.平兩種情況積分.所以解題時一定要認真理解比賽的積分規則．（2）比賽中的積分與勝負場數有關.同時也與比賽積分規則有關.需先弄清“勝一場積幾分.平一場積幾分.負一場積幾分”．課堂檢測課堂檢測1.甲乙兩人從相距米的兩地同時相對而行.甲每分鐘行米.乙每分鐘行米．幾分鐘后.甲乙二人相遇？如果甲帶了一只狗和甲同時出發.狗以每分鐘米的速度向乙跑去.遇到乙后立刻回頭向甲跑去.這樣.狗在甲乙二人之間來回奔跑.直到兩人相遇時為止.求這只狗跑了多少路？【解題思路】設兩人的相遇時間為.則根據相遇問題的基本公式可列：.解得：.第二問讀起來學生可能覺得很難.但仔細想想這個題很簡單.只要能夠想到.這只狗一共跑了多長時間就可以.這只狗不管跑了多少趟.所跑的時間都是兩個人的相遇時間也就是十分鐘.所以這只狗所跑的路程為：（米）．【題目答案】；2.在一次有12個隊參加的足球循環賽中(每兩隊之間比賽一場).規定勝一場記3分.平一場記1分.負一場記0分．某隊在這次循環賽中所勝場數比所負場數多2場.結果共積19分．問：該隊在這次循環賽中戰平了幾場？【解題思路】設該隊負了x場.則勝(x＋2)場.平局的場數為[11－x－(x＋2)]場．根據題意.得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]=19.解得x=4.所以11－x－(x＋2)=1.答：該隊在這次循環賽中戰平了1場．3．程大位是我國明朝商人.珠算發明家．他60歲時完成的《直指算法統宗》是東方古代數學名著.詳述了傳統的珠算規則.確立了算盤用法．書中有如下問題：一