第34講概率目錄一、考情分析二、知識建構TOC\o"1-3"\n\h\z\u考點一概率的相關概念題型01事件的分類題型02判斷事件發生可能性的大小題型03理解概率的意義題型04判斷幾個事件概率的大小關系考點二概率的計算方法題型01根據概率公式計算概率題型02根據概率作判斷題型03已知概率求數量題型04列舉法求概率題型05畫樹狀圖法/列表法求概率題型06幾何概率題型07由頻率估計概率題型08用頻率估計概率的綜合應用題型09放回實驗概率計算方法題型10不放回實驗概率計算方法題型11游戲公平性題型12概率的應用題型13概率與統計綜合考點要求新課標要求命題預測概率的相關概念能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發生的所有可能結果，了解隨機事件的概率.知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率.概率問題在中考數學中的考察難度在中檔以下，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現.該專題考題的類型也比較的固定，單獨考察時，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡單計算;綜合考察時會和統計圖表類問題結合，作為最后一問，考察概率的樹狀圖或者列表分析.因為整體難度較小，屬于中考數學中必拿分點，審題時要多加注意即可.概率的計算方法考點一概率的相關概念1.概率的定義及計算公式概率的定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發生可能性大小的數值，稱之為隨機事件A發生的概率，記為P(A).概率的意義：一個事件發生的概率是一個確定的數,它從數值上刻畫了一個隨機事件發生的可能性的大小.概率公式：P(隨機事件)=隨機事件出現的次數2.確定事件與隨機事件定義事件發生的概率確定事件必然事件在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發生，這些事情稱為必然事件。P(必然事件)=1不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發生，這些事情稱為不可能事件。P(不可能事件)=0不確定事件（隨機事件）在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發生，這些事情稱為不確定事件（又叫隨機事件）。0＜P(隨機事件)＜1題型01事件的分類【例1】（2023·安徽合肥·統考模擬預測）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（

）A．必然事件 B．確定性事件 C．不可能事件 D．隨機事件【答案】D【分析】直接根據隨機事件的概念即可得出結論．【詳解】購買一張彩票，結果可能為中獎，也可能為不中獎，中獎與否是隨機的，即這個事件為隨機事件．故選：D．【點撥】本題考查了隨機事件的概念，解題的關鍵是熟練掌握隨機事件發生的條件，能夠靈活作出判斷．【變式1-1】（2023·湖北武漢·統考模擬預測）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月【答案】D【分析】根據不可能事件的定義：在一定條件下一定不會發生的事件是不可能事件，進行逐一判斷即可【詳解】解：A.水落石出是必然事件，不符合題意；B.水漲船高是必然事件，不符合題意；C.水滴石穿是必然事件，不符合題意；D.水中撈月是不可能事件，符合題意；故選D【點撥】本題主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定義是解題的關鍵．【變式1-2】（2023·遼寧葫蘆島·統考一模）下列事件是必然事件的是（

）A．三角形內角和是180° B．端午節賽龍舟，紅隊獲得冠軍C．擲一枚均勻骰子，點數是6的一面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發射實況【答案】A【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．【詳解】解：A.三角形內角和是180°是必然事件，故此選項符合題意；B.端午節賽龍舟，紅隊獲得冠軍是隨機事件，故此選項不符合題意；C.擲一枚均勻骰子，點數是6的一面朝上是隨機事件，故此選項不符合題意；D.打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發射實況是隨機事件，故此選項不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．【變式1-3】（2021·貴州貴陽·統考一模）如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發光．下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（

）A．只閉合1個開關 B．只閉合2個開關 C．只閉合3個開關 D．閉合4個開關【答案】B【分析】觀察電路發現，閉合A,B或閉合C,D或閉合三個或四個，則小燈泡一定發光，從而可得答案．【詳解】解：由小燈泡要發光，則電路一定是一個閉合的回路，只閉合1個開關，小燈泡不發光，所以是一個不可能事件，所以A不符合題意；閉合4個開關，小燈泡發光是必然事件，所以D不符合題意；只閉合2個開關，小燈泡有可能發光，也有可能不發光，所以B符合題意；只閉合3個開關，小燈泡一定發光，是必然事件，所以C不符合題意．故選B．【點撥】本題結合物理知識考查的是必然事件，不可能事件，隨機事件的概念，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是隨機事件的是（

）A．明天太陽從東方升起B．經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈C．平面內不共線的三點確定一個圓D．任意畫一個三角形，其內角和是540°【答案】B【分析】根據隨機事件的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．明天太陽從東方升起，是必然事件，故本選項不符合題意；B．經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，故本選項符合題意；C．平面內不共線的三點確定一個圓，是必然事件，故本選項不符合題意；D．任意畫一個三角形，其內角和是540°，是不可能事件，故本選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟練掌握必然事件指在一定條件下，一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件是解題的關鍵．題型02判斷事件發生可能性的大小【例2】（2022·廣東中山·統考一模）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競賽”．比賽規定，以抽簽方式決定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（

）A．小星抽到數字1的可能性最小 B．小星抽到數字2的可能性最大C．小星抽到數字3的可能性最大 D．小星抽到每個數的可能性相同【答案】D【分析】算出每種情況的概率，即可判斷事件可能性的大小．【詳解】解：每個數字抽到的概率都為：13故小星抽到每個數的可能性相同．故選：D．【點撥】本題主要考查利用概率公式求概率，正確應用公式是解題的關鍵．【變式2-1】（2021·河北唐山·統考一模）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中紅球所占的比例大小即可．【詳解】解：第一個袋子摸到紅球的可能性=110第二個袋子摸到紅球的可能性=210第三個袋子摸到紅球的可能性=510第四個袋子摸到紅球的可能性=610故選：D．【點撥】】本題主要考查了可能性大小的計算，用到的知識點為：可能性等于所求情況數與總情況數之比，難度適中．【變式2-2】（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考一模）袋子里有8個紅球，m個白球，3個黑球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．10【答案】D【分析】根據摸到紅球的可能性最大可得袋子里紅球的個數最多，從而可得0<m<8，由此即可得．【詳解】解：因為從中任意摸出一個球，摸到紅球的可能性最大，所以袋子里紅球的個數最多，所以0<m<8，所以在四個選項中，m的值不可能是10，故選：D．【點撥】本題考查了事件發生的可能性的大小，根據事件發生的可能性的大小求出m的取值范圍是解題關鍵．【變式2-3】（2023·貴州貴陽·校考一模）將4張質地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標有1～4四個數字，隨機抽出一張，出現可能性最大的是（

）A．數字大于2的卡片 B．數字小于2的卡片 C．數字大于3的卡片 D．數字小于4的卡片【答案】D【分析】根據事件發生的可能性進行分析即可．【詳解】將4張質地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標有1～4四個數字，隨機抽出一張，共有4種情況，且出現數字為1，2，3，4的可能性相等其中抽出數字大于2的卡片有2種情況；抽出數字小于2的卡片有1種情況；抽出數字大于3的卡片有1種情況；抽出數字小于4的卡片有3種情況，D選項符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了判斷事件發生的可能性的大小．熟練掌握判斷事件發生的可能性的大小是解題的關鍵．判斷事件發生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大為判斷事件發生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大為100%，不可能事件的可能性最小為0，隨機事件的可能性有大有小，其發生可能性介于0－100%．在隨機事件中，要想判斷隨機事件發生的概率就要列舉出隨機事件中可能出現的各種結果，其中包含的結果數多的事件發生的可能性大．所以平時要多加練習如何列舉全隨機事件中包含的各種結果，如果少列舉一種都會造成錯誤結果．題型03理解概率的意義【例3】（2022·廣東深圳·校考一模）“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發生的概率為P，則（）A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1【答案】C【分析】根據不可能事件的概率為0，隨機事件的概率大于0而小于1，必然事件的概率為1，即可判斷．【詳解】解：∵一年有12個月，14個人中有12個人在不同的月份過生日，剩下的兩人不論哪個月生日，都和前12人中的一個人同一個月過生日∴“14人中至少有2人在同一個月過生日”是必然事件，即這一事件發生的概率為P=1．故選：C．【點撥】本題考查了概率的初步認識，確定此事件為必然事件是解題的關鍵．【變式3-1】（2022·安徽蕪湖·統考一模）縣氣象站天氣預報稱，明天千島湖鎮的降水概率為90%A．明天千島湖鎮下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮有90%C．明天千島湖鎮全天有90%D．明天千島湖鎮一定會下雨【答案】A【分析】概率是表示事件發生可能性大小的量，據此解得此題即可．【詳解】解：千島湖鎮明天下雨概率是90%，表示千島湖鎮明天下雨的可能性很大，但不是將有90%的地方下雨，不是故選：A．【點撥】此題考查概率，熟練掌握概率的意義是解題的關鍵．【變式3-2】（2022·河北石家莊·校聯考一模）拋擲一枚質地均勻的硬幣時，正面向上的概率是0.5．則下列判斷正確的是（

）A．連續擲2次時，正面朝上一定會出現1次B．連續擲100次時，正面朝上一定會出現50次C．連續擲2n次時，正面朝上一定會出現n次D．當拋擲次數越大時，正面朝上的頻率越穩定于0.5【答案】D【分析】根據概率的意義即可得出答案．【詳解】解：A.連續擲2次時，正面朝上有可能出現，還有可能不出現，故選項A判斷不正確；B.連續擲100次時，正面朝上不一定會出現50次，故選項B判斷不正確；C.連續擲2n次時，正面朝上不一定會出現n次，故選項C判斷不正確；D.當拋擲次數越大時，正面朝上的頻率越穩定于0.5，正確，故選項D符合題意，故選：D【點撥】本題考查的是模擬實驗和概率的意義，熟知概率的定義是解答此題的關鍵．【變式3-3】（2023·山西晉城·統考一模）在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，如果沒有硬幣，我們可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（）A．一枚均勻的普通六面體骰子 B．兩張撲克牌(一張黑桃，一張紅桃)C．兩個只有顏色不同的小球 D．一枚圖釘【答案】D【分析】在拋擲一枚質地均勻的硬幣的試驗中，硬幣正反兩面向上的概率為12；若用其它物體代替只要此物體只能出現這兩種情況且概率為1【詳解】A.一枚均勻的普通六面體骰子向上的點數為奇數和偶數的概率都為12B.兩張撲克牌(1張黑桃，1張紅桃)，兩張花色不同的撲克，分別代替硬幣正面和反面，且各自概率為12C.兩個只有顏色不同的小球，符合硬幣只有正反兩面的可能性，能作替代物，故不符合題意；D.圖釘兩面不同，不能替代該實驗，故符合題意；故選：D．【點撥】此題主要考查了模擬實驗，選擇實驗的替代物，應從可能性是否相等入手思考．題型04判斷幾個事件概率的大小關系【例4】（2021·福建福州·福州三牧中學校考二模）在一個布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區別．其中紅球若干，白球5個，袋中的球已攪勻．若從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，則紅球的個數是（

）A．4個 B．5個 C．不足4個 D．6個或6個以上【答案】D【分析】由取出紅球的可能性大知紅球的個數比白球個數多，據此可得答案．【詳解】解：∵袋子中白球有5個，且從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，∴紅球的個數比白球個數多，∴紅球個數滿足6個或6個以上，故選D．【點撥】本題主要考查可能性大小，只要在總情況數目相同的情況下，比較其包含的情況總數即可．【變式4-1】（2023·廣東云浮·統考二模）任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉動后，發生可能性最大的事件是（）A．朝上一面的點數大于2 B．朝上一面的點數為3C．朝上一面的點數是2的倍數 D．朝上一面的點數是3的倍數【答案】A【分析】分別利用概率公式計算每個選項的概率后比較即可得出答案【詳解】解：選項A的概率4選項B的概率1選項C的概率3選項D的概率由2故選：A【點撥】本題考查概率公式的應用，解題的關鍵是能準確找出所求情況數與總情況數【變式4-2】（2020·內蒙古鄂爾多斯·統考一模）桌子上有6杯同樣型號的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯雙氧水，從6個杯子中隨機取出1杯，請你將下列事件發生的可能性從大到小排列：．（填序號即可）①取到75%的酒精；②取到雙氧水；③沒有取到75%的酒精；④取到84消毒液．【答案】③②①④【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例時，應注意記清各自的數目．【詳解】∵有6杯同樣型號的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯雙氧水，∴①取到75%的酒精的概率是26②取到雙氧水的概率是36③沒有取到75%的酒精的概率是46④取到84消毒液16∴按事件發生的可能性從大到小排列：③②①④；故答案為：③②①④．【點撥】本題考查了基本概率的計算及比較可能性大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數與總情況數之比．考點二概率的計算方法公式法P（A）=mn，其中n為所有事件的總數，m為事件列舉法在一次試驗中，如果可能出現的結果只有有限個，且各種結果出現的可能性大小相等，我們可通過列舉試驗結果的方法，分析出隨機事件發生的概率，這種方法稱為列舉法.【注意事項】1）直接列舉試驗結果時，要有一定的順序性，保證結果不重不漏.2）用列舉法求概率的前提有兩個：①所有可能出現的結果是有限個②每個結果出現的可能性相等.3）所求概率是一個準確數，一般用分數表示.畫樹狀圖法當事件中涉及兩個以上的因素時，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結果的方法叫畫樹狀圖法.畫樹狀圖法求概率的步驟：1)明確試驗由幾個步驟組成；2)畫樹狀圖分步列舉出試驗的所有等可能結果；3)根據樹狀圖求出所關注事件包含的結果數及所有等可能的結果數，再利用概率公式求解.列表法當事件中涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，用表格不重不漏地列出所有可能的結果，這種方法叫列表法.列表法求概率的步驟：1）列表，并將所有可能結果有規律地填人表格；2）通過表格計數，確定所有等可能的結果數n和符合條件的結果數m的值；3）利用概率公式PA用頻率估計概率的方法通過大量重復試驗，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示出一定的穩定性.因此可以用隨機事件發生的頻率來估計該事件發生的概率.適用范圍：當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率．11.當一次試驗要涉及兩個因素或一個因素做兩次試驗并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常可以采用列表法，也可以用樹狀圖法.當試驗包含三步或三步以上時，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.2.概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值，且隨實驗次數的增多，值越來越精確.題型01根據概率公式計算概率【例1】（2023·廣西·模擬預測）書架上有2本數學書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（

）A．14 B．13 C．12【答案】B【分析】根據概率公式直接求概率即可；【詳解】解：一共有3本書，從中任取1本書共有3種結果，選中的書是物理書的結果有1種，∴從中任取1本書是物理書的概率=13故選：B．【點撥】本題考查了概率的計算，掌握概率=所求事件的結果數÷總的結果數是解題關鍵．【變式1-1】（2023·湖北武漢·統考模擬預測）在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（

）A．34 B．12 C．13【答案】A【分析】根據概率公式計算，即可求解．【詳解】解：根據題意得：從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是33+1故選：A【點撥】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解題的關鍵．【變式1-2】（2023·廣西·模擬預測）老師從甲、乙，丙、丁四位同學中任選一人去學校勞動基地澆水，選中甲同學的概率是（

）A．15 B．14 C．13【答案】B【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找到全部情況的總數以及符合條件的情況，兩者的比值就是其發生的概率的大小．【詳解】解：根據題意可得：從甲、乙，丙、丁四位同學中任選一人去學校勞動基地澆水，總數是4個人，符合情況的只有甲一個人，所以概率是P=14故選：B．【點撥】本題考查概率的求法與運用，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=mn【變式1-3】（2023·遼寧撫順·統考一模）如圖，一個質地均勻的正五邊形轉盤，指針的位置固定，當轉盤自由轉動停止后，觀察指針指向區域內的數（若指針正好指向分界線，則重新轉一次），這個數是一個奇數的概率是．【答案】3【分析】由題意知，一個質地均勻的正五邊形轉盤被分成5個形狀大小相同的三角形，標有奇數的三角形有3個，用奇數的個數除以數字的總數即為這個數是一個奇數的概率．【詳解】解：一個質地均勻的正五邊形轉盤被分成5個形狀大小相同的三角形，上面分別標有奇數的三角形有3個，當轉盤自由轉動停止后，觀察指針指向區域內的數，這個數是一個奇數的概率是：3÷5=3故答案為：35【點撥】本題考查概率的求法與運用．一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率PA題型02根據概率作判斷【例2】（2020·北京·一模）一個不透明的袋中裝有8個黃球，m個紅球，n個白球，每個球除顏色外都相同．任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率相同，下列m與n的關系一定正確的是（

）A．m=n=8 B．n-m=8 C．m+n=8 D．m-n=8【答案】C【分析】先根據概率公式得出：任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率（用含m、n的代數式表示），然后由這兩個概率相同可得m與n的關系．【詳解】解：∵一個不透明的袋中裝有8個黃球，m個紅球，n個白球，∴任意摸出一個球，是黃球的概率為：88+m+n，不是黃球的概率為：m+n∵是黃球的概率與不是黃球的概率相同，∴88+m+n＝m+n∴m+n＝8．故選：C．【點撥】此題考查了概率公式的應用，屬于基礎題型，解題時注意掌握概率=所求情況數與總情況數之比．【變式2-1】（2015·河北石家莊·統考一模）已知電流在一定時間段內正常通過電子元件“”的概率是0.5，則在一定時間段內，由該元件組成的圖示電路A，B之間，電流能夠正常通過的概率是．【答案】【分析】根據題意，某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，可得兩個元件同時不正常工作的概率為0.25，進而由概率的意義可得一定時間內AB之間電流能夠正常流通的概率．【詳解】解：根據題意，某一個電子元件正常工作的概率為0.5，即某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，則兩個元件同時不正常工作的概率為0.25(正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常)故一定時間內AB之間電流能夠正常流通的概率=1-0.25=0.75故答案為：0.75．【點撥】本題考查了等可能事件的概率，于基礎題，到的知識點為：電流正常通過的概率=1-電流不能正常通過的概率．【變式2-2】（2023·福建廈門·統考一模）一個不透明盒子中裝有1個紅球、2個黃球，這些球除顏色外無其他差別．從該盒子中隨機摸出1個球，請寫出概率為13的事件：【答案】摸出紅球【分析】根據概率公式確定答案即可．【詳解】一共有3個球，其中紅球有1個，所以摸出紅球的概率是13故答案為：摸出紅球．【點撥】本題主要考查了概率，掌握概率的計算公式是解題的關鍵．題型03已知概率求數量【例3】（2023·廣東·統考二模）一個不透明的口袋中裝有n個白球，為了估計白球的個數，向口袋中加入兩個紅球，它們除顏色外其它完全相同．通過多次摸球實驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在10%附近，則n的值為（

A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】根據大量反復試驗下頻率的穩定值即為概率值可知摸到紅球的概率為0.1，由此根據概率計算公式建立方程求解即可．【詳解】解：由題意得，2n+2解得n=18，經檢驗，n=18是原方程的解，故選：A．【點撥】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，熟知大量反復試驗下頻率的穩定值即為概率值是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·山東臨沂·統考一模）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為14，則這個箱子中黃球的個數為個【答案】15【分析】設黃球的個數為x個，根據概率計算公式列出方程，解出x即可．【詳解】解：設黃球的個數為x個，5解得：x=15，檢驗：將x=15代入x+5=20，值不為零，∴x=15是方程的解，∴黃球的個數為15個，故答案為：15．【點撥】本題考查概率計算公式，根據題意列出分式方程并檢驗是解答本題的關鍵．【變式3-2】（2018·四川成都·成都外國語學校校考一模）袋中裝有6個黑球和n個白球，經過若干次試驗，發現“若從袋中任摸出一個球，恰是黑球的概率為34”，則這個袋中白球大約有個【答案】2【分析】根據已知概率與概率公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵袋中裝有6個黑球和n個白球，∴袋中一共有球(6+n)個，∵從中任摸一個球，恰好是黑球的概率為34∴66+n解得：n=2（經檢驗符合題意）．故答案為：2．【點撥】此題考查了概率公式的應用．注意用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．注意方程思想的應用．【變式3-3】（2020·遼寧鞍山·統考一模）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發現有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數約為．【答案】24【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，設未知數列出方程求解．【詳解】解：∵共試驗100次，其中有20次摸到紅球，∴白球所占的比例為：1-20設袋子中共有白球x個，則x6+x解得：x=24，經檢驗：x=24是原方程的解，故答案為：24．【點撥】本題考查利用頻率估計概率．關鍵是根據白球的頻率得到相應的等量關系．【變式3-4】（2023·廣西南寧·廣西大學附屬中學校聯考一模）黔東南州某校數學興趣小組開展摸球試驗，具體操作如下：在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的小球共4個，這些球除顏色外無其它差別，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，然后再把它放回盒子里攪勻，再隨機摸出一球記下顏色，不斷重復摸球實驗．下表是這次活動的一組統計數據：摸球的次數n1001502005008001000摸到白球的次數m263850127197251摸到白球的頻率m0.2600.2530.2500.2540.2460.251(1)請你根據上表統計數據估計：從不透明的盒子里隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率約為___________（精確到0.01）；(2)試估算盒子里有多少個白球？(3)根據第（2）題的估算結果，若從盒子里隨機摸出兩球，請畫樹狀圖或列表求“摸到兩個顏色相同小球”的概率．【答案】(1)(2)1(3)1【分析】（1）大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據此可得．（2）設盒子里有x個白球，根據概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案；（3）先利用列表法展示所有12種等可能的結果數，再找出“摸到兩個顏色相同小球”的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】（1）從不透明的盒子里隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率約為0.25；故答案為：0.25；（2）設盒子里有x個白球，根據題意，得：x4解得：x=1，∴盒子里有1個白球．（3）隨機摸出兩球的樹狀圖如下：共有12種等可能結果，而“摸到的兩個球是顏色相同的小球”6種結果，“摸到兩個顏色相同小球”的概率是612【點撥】本題主要考查利用頻率估計概率，解題的關鍵是掌握大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．題型04列舉法求概率【例4】（2023·湖北武漢·校考模擬預測）隨著信息化的發展，二維碼已經走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A．13 B．38 C．12【答案】B【分析】列出所有可能的情況，找出符合題意的情況，利用概率公式即可求解．【詳解】解：對每個小正方形隨機涂成黑色或白色的情況，如圖所示，共有8種情況，其中恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形情況有3種，∴恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為38故選：B【點撥】本題考查了用列舉法求概率，能一個不漏的列舉出所有可能的情況是解題的關鍵．【變式4-1】（2023·廣東佛山·校考一模）宋代程顥的《秋月》有四句古詩如下：①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調整為正確位置，則她第一次就調整正確的可能性是（）A．112 B．118 C．124【答案】C【分析】本題是排序古詩相當于簡單隨機事件中的“不放回”事件，求出總的可能為24，第一次調整可能占其中一種，第一次就調整正確的可能性大小是124【詳解】解：這首詩四句隨機排列的順序共有24種情況：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因為這24種情況出現的可能性大小相等，正確的順序只有一種④②①③，故第一次就調整正確的可能性大小是124故答案選：C【點撥】本題是考查等可能概型的概率計算公式計算概率，熟練掌握簡單隨機事件概率的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．當出現可能結果多種時，用樹狀圖輔助列出所有可能出現的結果．【變式4-2】．（2021·山東濰坊·校考二模）現有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為．【答案】2【分析】求出任取三根木棒的所有情況，再求出能組成三角形的所有情況，利用概率公式直接計算即可.【詳解】五根木棒，任意取三根共有10種情況：3.5.83.5.103.5.133.8.103.8.133.10.135.10.135.8.105.8.138.10.13其中能組成三角形的有：①3.8.10，由于8-3<10<8+3,所以能構成三角形；②5.10.13，由于10-5<13<10+5，所以能構成三角形；③5.8.10，由于8-5<10<8+5，所以能構成三角形；④8.10.13，由于10-8<13<10+8，所以能構成三角形；所以有4種方案符合要求，故能構成三角形的概率是P=410=2故答案為：25【點撥】此題考查三角形的三邊關系，列舉法求事件的概率，列舉法求概率的關鍵是在列舉所有情況時考慮要全面，不能重復也不能遺漏.題型05畫樹狀圖法/列表法求概率【例5】（2023·山東濟南·統考一模）為了疫情防控，某小區需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機抽取2名負責該小區入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（

）A．12 B．14 C．34【答案】A【分析】根據題意畫出樹狀圖，然后求得全部情況的總數與符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率．【詳解】解：畫樹狀圖得：∴一共有12種情況，抽取到甲的有6種，∴P（抽到甲）=612=故選：A．【點撥】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．【變式5-1】（2022·廣東深圳·校考一模）同時擲兩枚質地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數之和為7的概率是（

）A．112 B．16 C．13【答案】B【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點數之和所有可能的結果數及兩枚骰子向上的點數之和為7的結果數，根據概率計算公式即可求得所求的概率．【詳解】列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表知，兩枚骰子向上的點數之和所有可能的結果數為36種，兩枚骰子向上的點數之和為7的結果數為6，故兩枚骰子向上的點數之和為7的概率是：636故選：B．【點撥】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以不重不漏地把事件所有可能的結果數及某一事件的結果數表示出來，具有直觀的特點．【變式5-2】（2023·遼寧沈陽·模擬預測）一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數字1，2，3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數字．(1)第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是______；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率．【答案】(1)1(2)兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率為4【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數和兩次都摸到標有奇數的乒乓球的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵袋中共有3個分別標有數字1，2，3的小球，數字2為偶數，∴第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是1故答案為：13（2）解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中兩次都摸到標有奇數的乒乓球的結果有：(1，1)，∴兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率為49【點撥】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．【變式5-3】（2023·陜西寶雞·統考一模）有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現將這五個紙箱隨機擺放．(1)若從這五個紙箱中隨機選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是______；(2)若從這五個紙箱中隨機選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．【答案】(1)(2)見解析，1【分析】（1）直接根據概率公式計算；（2）先列表，展示所有20種等可能的結果數，再找出兩個數字之和等于15kg所占的結果數，再根據概率公式計算．【詳解】（1）解：所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是25故答案為：25（2）解：列表如下：

第二個第一個66778612131314612131314713131415713131415814141515由列表可知，共有20種等可能的結果，其中兩個西瓜的重量之和為15kg的結果有4種．∴P=4【點撥】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，解題的關鍵是利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，從而求出概率．【變式5-4】（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形（兩個轉盤除表面數字不同外，其它完全相同），轉盤甲上的數字分別是?6，?1，8，轉盤乙上的數字分別是?4，5，7（規定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次）．(1)轉動轉盤，轉盤甲指針指向正數的概率是__________；轉盤乙指針指向正數的概率是__________．(2)若同時轉動兩個轉盤，轉盤甲指針所指的數字記為a，轉盤乙指針所指的數字記為b，請用列表法或樹狀圖法求滿足a+b<0的概率．【答案】(1)13；(2)滿足a+b<0的概率為13【分析】（1）直接根據概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能解果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【詳解】（1）解：轉動轉盤，轉盤甲指針指向正數的概率是13轉盤乙指針指向正數的概率是23故答案為：13；2（2）解：列表如下：乙

甲-1-68-4-5-10454-11376115由表知，共有9種等可能結果，其中滿足a+b<0的有3種結果，∴滿足a+b<0的概率為39【點撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．題型06幾何概率【例6】（2023·安徽合肥·統考模擬預測）如圖，在5×6的長方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A．π12 B．π24 C．10π【答案】A【分析】根據幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區域的面積與總面積的比值．【詳解】解：由圖可知，總面積為：5×6=30，OB=3∴陰影部分面積為：90·π×10360∴飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是5π2故選：A．【點撥】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發生的概率．【變式6-1】（2022·福建漳州·統考模擬預測）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區域的概率為(

)A．12 B．13 C．25【答案】A【分析】隨機事件A的概率P（A）＝事件A發生時涉及的圖形面積÷一次試驗涉及的圖形面積，因為這是幾何概率．【詳解】解：設正六邊形邊長為a，過A作AD⊥BC于D，過B作BE⊥CE于E，如圖所示：∵正六邊形的內角為180°-360°∴在RtΔACD中，∠ADC=90°,∠CAD=60°,AC=a，則∴BC=2CD=3∴在RtΔBCE中，∠BEC=90°,∠BCE=60°,BC=3則灰色部分面積為3S白色區域面積為2S所以正六邊形面積為兩部分面積之和為32飛鏢落在白色區域的概率P=3故選：A．【點撥】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率模型及簡單概率公式是解決問題的關鍵．【變式6-2】（2022·福建龍巖·統考一模）如圖①所示，平整的地面上有一個不規則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為5m，寬為4m的長方形，將不規則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區域扔小球，并記錄小球落在不規則圖案上的次數（球扔在界線上或長方形區域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了A．6m2 B．7m2【答案】B【分析】本題分兩部分求解，首先假設不規則圖案面積為x，根據幾何概率知識求解不規則圖案占長方形的面積大小；繼而根據折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．【詳解】假設不規則圖案面積為x，由已知得：長方形面積為20，根據幾何概率公式小球落在不規則圖案的概率為：x20當事件A實驗次數足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規則圖案的概率大約為0.35，綜上有：x20=0.35，解得故選：B．【點撥】本題考查幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎上進行了題目創新，解題關鍵在于清晰理解題意，能從復雜的題目背景當中找到考點化繁為簡，創新題目對基礎知識要求極高．【變式6-3】（2020·浙江衢州·統考模擬預測）如圖是一個游戲轉盤，自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指針落在數字“Ⅱ”所示區域內的概率是（）A．13 B．14 C．16【答案】A【分析】直接利用“Ⅱ”所示區域所占圓周角除以360，進而得出答案．【詳解】解：由扇形統計圖可得，指針落在數字“Ⅱ”所示區域內的概率是：120360故選：A．【點撥】此題主要考查了概率公式，正確理解概率的求法是解題關鍵．【變式6-4】（2022·貴州畢節·統考模擬預測）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱長為1的小正方體，將它們全部放入一個不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，只有一個面被涂色的概率為（

）A．427 B．29 C．827【答案】B【分析】由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面只有一個面涂有顏色，有6種結果，根據幾何概率及其概率的計算公式，即可求解．【詳解】解：解：由題意，在一個棱長為3cm的正方體的表面涂上顏色，將其分割成27個棱長為1cm的小正方體，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面有一個面都涂色，有6種結果，所以所求概率為627故選：B．【點撥】本題考查幾何概率的計算，涉及正方體的幾何結構，屬于基礎題．【變式6-5】（2023·湖南株洲·校考模擬預測）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區域的概率是．【答案】4【分析】根據題意可得一共有9塊方磚，其中陰影區域的有4塊，再根據概率公式計算，即可求解．【詳解】解：根據題意得：一共有9塊方磚，其中陰影區域的有4塊，∴它最終停留在陰影區域的概率是49故答案為：4【點撥】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解題的關鍵．【變式6-6】（2022·遼寧葫蘆島·統考二模）如圖，正方形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，點E在線段BC上，OF⊥OE交CD于點F，小明向正方形內投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在陰影部分的概率是．【答案】1【分析】由正方形的性質求得△OCE≌△ODF，從而得出陰影面積=△ODC面積=14【詳解】解：ABCD是正方形，則OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，∠EOF=∠COD，則∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，∴∠EOC=∠FOD，∴△OCE≌△ODF（ASA），∴△OCE面積等于△ODF面積，∴陰影面積=△ODC面積=14∴飛鏢落在陰影部分的概率是14故答案為：14【點撥】本題考查了正方形的性質，幾何概率：事件的概率可以用部分線段的長度（部分區域的面積）和整條線段的長度（整個區域的面積）的比來表示．題型07由頻率估計概率【例7】（2020·浙江紹興·統考模擬預測）某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（

）實驗次數10020030050080010002000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B．拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是5C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”D．拋一枚硬幣，出現反面的概率【答案】C【分析】根據利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.33左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進行判斷．【詳解】解：A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為14B.拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是5的概率為16C.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率是13D.拋一枚硬幣，出現反面的概率為12故選C．【點撥】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【變式7-1】（2023·山東青島·模擬預測）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共8個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有75次摸到紅球，則口袋中紅球的個數約為．【答案】6【分析】用球的總個數乘以摸到紅球的頻率即可．【詳解】解：估計這個口袋中紅球的數量為8×75100=6（個故答案為：6．【點撥】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確．【變式7-2】（2023·江蘇揚州·校考二模）為了比較甲、乙兩魚池中的魚苗數目，小明從兩魚池中各撈出100條魚苗，每條做好記號，然后放回原魚池；一段時間后，在同樣的地方，小明再從甲、乙兩魚池中各撈出100條魚苗，發現其中有記號的魚苗分別是5條、10條，可以初步估計魚苗數目較多的是魚池（填甲或乙）【答案】甲【分析】先計算出有記號魚的頻率，再用頻率估計概率，利用概率計算魚的總數，比較兩個魚池中的總數即可得到結論．【詳解】解：設甲魚池魚的總數為x條，則魚的概率近似=5100=100x設乙魚池魚的總數為y條，則魚的概率近似=10100=100y∵2000>1000，∴可以初步估計魚苗數目較多的是甲魚池，故答案為：甲．【點撥】本題主要考查了頻率＝所求情況數與總情況數之比，關鍵是根據有記號的魚的頻率得到相應的等量關系．【變式7-3】（2023·廣東佛山·統考一模）2022年3月12日是我國第44個植樹節，某林業部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統計成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統計數據：幼樹移植數（棵）100100050008000100001500020000幼樹移植成活數（棵）878934485722489831344318044幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是．（結果精確到0.1）【答案】0.9【分析】大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【詳解】∵幼樹移植數20000時，幼樹移植成活的頻率是0.902，∴估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為0.902，精確到0.1，即為0.9，故答案為：0.9．【點撥】本題考查了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．【變式7-4】（2023·福建三明·統考一模）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數20801002004008001000射中九環以上次數186882166330664832射中九環以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環以上”的概率約是.（精確到0.01）【答案】0.83【分析】根據大量的試驗結果穩定在0.83左右即可得出結論．【詳解】解：∵從頻率的波動情況可以發現頻率穩定在0.83附近，∴這名運動員射擊一次時“射中九環以上”的概率是0.83．故答案為：0.83．【點撥】本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關鍵．題型08用頻率估計概率的綜合應用【例8】（2022·福建·二模）不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個，這些球除顏色外無其他差別．把“從袋子中隨機摸出一個小球”作為試驗，每次試驗后，將摸出的小球放回搖勻，再進行下一次試驗．試驗數據顯示：大量重復試驗后，摸出紅球的頻率越來越穩定于0.2，則下列對于袋子中球的數量的估計，最合理的是（

）A．紅球有2個 B．黃球有10個C．黃球的數量是紅球的4倍 D．黃球和紅球的數量相等【答案】C【分析】設袋子中球的總數為n，則紅球的個數為0.2n，黃球的個數為n-0.2n=0.8n，進而可得答案．【詳解】解：設袋子中球的總數為n，則由題意可得，紅球的個數為0.2n，黃球的個數為n-0.2n=0.8n，因為n的值不確定，所以唯一能確定的是黃球的數量是紅球的4倍，故選C【點撥】本題考查了利用頻率估計概率，正確掌握頻率的求法是解題的關鍵．【變式8-1】（2015·河北·模擬預測）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球D．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是6【答案】D【分析】根據利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.17左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進行判斷．【詳解】解：A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率是13B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是1352C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球的概率是13D．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是6的概率是16故選：D．【點撥】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率．【變式8-2】（2023·北京朝陽·統考二模）某射箭選手在同一條件下進行射箭訓練，結果如下：射箭次數n102050100200350500射中靶心的次數m7174492178315455射中靶心的頻率m0.700.850.880.920.890.900.91下列說法正確的是（

）A．該選手射箭一次，估計射中靶心的概率為0.90B．該選手射箭80次，射中靶心的頻率不超過0.90C．該選手射箭400次，射中靶心的次數不超過360次D．該選手射箭1000次，射中靶心的次數一定為910次【答案】A【分析】觀察表格的數據可以得到擊中靶心的頻率，然后用頻率估計概率即可求解．【詳解】解：依題意得擊中靶心頻率為0.90，A.該選手射箭一次，估計射中靶心的概率為0.90，該選項說法正確；B.該選手射箭80次，射中靶心的頻率可能超過0.90，該選項說法錯誤；C.該選手射箭400次，射中靶心的次數可能超過360次，該選項說法錯誤；D.該選手射箭1000次，射中靶心的次數不一定為910次，該選項說法錯誤；故選：A．【點撥】此題主要考查了利用頻率估計概率,首先通過實驗得到事件的頻率，然后用頻率估計概率即可解決問題．【變式8-3】（2020·江蘇揚州·統考模擬預測）大數據分析技術為打贏疫情防控阻擊戰發揮了重要作用．如圖是小明同學的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區域內，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區域內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，據此可以估計黑色部分的總面積約為cm2【答案】2.4【分析】求出正方形二維碼的面積，根據題意得到黑色部分的面積占正方形面積得60%計算即可；【詳解】∵正方形的二維碼的邊長為2cm，∴正方形二維碼的面積為4∵經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，∴黑色部分的面積占正方形二維碼面積得60%，∴黑色部分的面積約為：4×60%=故答案為2.4cm【點撥】本題主要考查了利用頻率估計概率進行求解，準確立即數據的意義是解題的關鍵．【變式8-4】（2023·江蘇徐州·統考一模）國務院教育督導委員會辦公室印發的《關于組織責任督學進行“五項管理”督導的通知》指出，要加強中小學生作業、睡眠、手機、讀物、體質管理．某校數學社團成員采用隨機抽樣的方法，抽取了八年級部分學生，對他們一周內平均每天的睡眠時間t（單位：h）進行了調查，將數據整理后得到下列不完整的統計圖表：組別睡眠時間分組頻數頻率At<640.08B6≤t<780.16C7≤t<810aD8≤t<9210.42Et≥9b0.14請根據圖表信息回答下列問題：（1）頻數分布表中，a=________，b=________；（2）扇形統計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數是________°；（3）請估算該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數；（4）研究表明，初中生每天睡眠時長低于7小時，會嚴重影響學習效率．請你根據以上調查統計結果，向學校提出一條合理化的建議．【答案】（1）0.2,7；（2）72；（3）144人；（4）建議學校盡量讓學生在學校完成作業，課后少布置作業．【分析】（1）按照頻率=頻數總體數量進行求解，根據組別A的頻數和頻率即可求得本次調查的總人數，再按照公式頻率=頻數總體數量進行求解，即可得到a，（2）根據（1）中所求得的a的值，即可得到其在扇形中的百分比，此題得解；（3）根據頻率估計概率，即可計算出該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數；（4）根據（3）中結果，即可知道該學校每天睡眠時長低于7小時的人數，根據實際情況提出建議．【詳解】（1）根據組別A，本次調查的總體數量=頻數頻率=∴組別C的頻率=頻數總體數量=∴組別E的頻數=頻率×總體數量=0.14×50=7，∴a=0.2，b=7；（2）∵（1）中求得a的值為0.2，∴其在扇形中的度數=360°×0.2=72°；（3）組別A和B的頻率和為：0.08+0.16=0.24，∴八年級學生中睡眠不足7小時的人數=600×0.24=144（人）；（4）根據（3）中求得的該學校每天睡眠時長低于7小時的人數，建議學校盡量讓學生在學校完成作業，課后少布置作業．【點撥】本題主要考查了用頻率估計概率，解題的關鍵是掌握頻率=頻數總體數量題型09放回實驗概率計算方法【例9】（2017·河北·模擬預測）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個，小穎做摸球試驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復上述過程．如圖所示為“摸到白球”的頻率折線統計圖．(1)請估計：當n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近__________（結果精確到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為__________；(2)試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；(3)在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩定在35【答案】(1)0.5，0.5(2)估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有20個(3)10個【分析】本題考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，分式方程的應用．熟練掌握用頻率估計概率，已知概率求數量，分式方程的應用是解題的關鍵．（1）根據用頻率估計概率求解作答即可；（2）由題意知，盒子里白顏色的球有40×0.5=20（個），則黑顏色的球有40-20=20（個）；（3）設需要往盒子里再放入x個白球，依題意得，20+x40+x【詳解】（1）解：由統計圖可知，當n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近0.5，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為0.5，故答案為：0.5，0.5；（2）解：由題意知，盒子里白顏色的球有40×0.5=20（個），黑顏色的球有40-20=20（個）；∴估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有20個；（3）解：設需要往盒子里再放入x個白球，依題意得，20+x40+x520+x解得，x=10，經檢驗，x=10是原分式方程的解，∴需要往盒子里再放入10個白球．【變式9-1】（2024·福建南平·統考一模）在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標有數字1，3，4，5的小球．它們的形狀、大小、質地等完全相同．小明先從盒子里隨機取出一個小球，記下數字為x，放回盒子搖勻后，再由小華隨機取出一個小球，記下數字為y．(1)列出表示點x,y的所有可能出現的結果；(2)求小明、小華各取一次小球所確定的點x,y落在一次函數y=5x的圖象上的概率．【答案】(1)1,1，1,3，1,4，1,5，3,1，3,3，3,4，3,5，4,1，4,3，4,4，4,5，5,1，5,3，5,4，5,5(2)1【分析】本題主要考查用概率公式求概率以及用列表法或畫樹狀圖法求概率：（1）依據題意先用列表法分析所有等可能的出現結果．（2）根據（1）得出所有情況數，再根據概率公式求出答案即可．【詳解】（1）解：列表如下：134511,11,31,41,533,13,33,43,544,14,34,44,555,15,35,45,5共有16種不同的結果：1,1，1,3，1,4，1,5，3,1，3,3，3,4，3,5，4,1，4,3，4,4，4,5，5,1，5,3，5,4，5,5；（2）解：∵共有16種情形，其中落在一次函數y=5x的圖象上有1種，即點1,5，∴落在一次函數y=5x的圖象上的概率為116【變式9-2】（2022·陜西西安·校考模擬預測）一個不透明的箱子里裝有1枚黑棋子和若干枚白棋子，這些棋子除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的棋子搖勻后隨機摸出一枚棋子，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復試驗后，發現摸到黑棋子的頻率穩定于13(1)請你估計箱子里白棋子的數量；(2)若一個不透明的袋子里裝有2枚黑棋子和1枚白棋子，從箱子和袋子里各隨機摸出一枚棋子，請用樹狀圖或列表法求摸出的兩枚棋子顏色不同的概率．【答案】(1)2個(2)【分析】（1）設白棋子有x個，根據多次摸棋子試驗后發現，摸到黑棋子的頻率穩定在13左右可估計摸到黑棋子的概率為13，據此利用概率公式列出關于（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【詳解】（1）解：∵通過多次摸白棋子試驗后發現，摸到黑棋子的頻率穩定在13∴估計摸到黑棋子的概率為13設白棋子有x個，根據題意，得：11+x解得x=2，經檢驗x=2是分式方程的解，∴估計箱子里白棋子的個數為2；（2）畫樹狀圖為：

共有9種等可能的結果數，其中摸出的兩枚棋子顏色不同的結果數為5，則摸出的兩枚棋子顏色不同的概率為59【點撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．【變式9-3】（2021·廣東清遠·一模）為慶祝黨的二十大勝利召開，陽光中學舉行作文比賽，題目有“科技托起強國夢”“家鄉的新變化““時代賦予我們的使命”．比賽時，將這三個作文題目寫在三張無差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，然后參賽學生依次抽取：樂樂先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再由貝貝從中隨機抽取一張卡片，……，每人所抽取到的卡片題目均為自己此次參賽作文的題目．

(1)貝貝抽中題目“家鄉的新變化“的概率是．(2)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出樂樂和貝貝兩人抽取的所有可能的結果，并求出他倆抽中不同題目的概率．（三個作文題目分別用字母A，B，C表示）【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據概率的計算公式求解即可．（2）先畫出樹狀圖，列出所有可能結果，再從中找出他倆抽中不同題目的所有結果，再根據概率的計算公式計算即可．【詳解】（1）（1）貝貝抽中題目“家鄉的新變化”的概率是13故答案為：13（2）樹狀圖如圖所示：

共有9種等可能的情況數，其中他倆抽中不同題目的有6種，所以他倆抽中不同題目的概率為69【點撥】本題主要考查了概率的計算．如果一個實驗由n中等可能的結果，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為：P(A)=m題型10不放回實驗概率計算方法【例10】（2023·江蘇鹽城·校考二模）鹽城地處黃海之濱，市域內海洋灘涂資源豐富，灘涂面積占江蘇省灘涂總面積近70%，被譽為“東方濕地之都”．黃海濕地文化是鹽城身份認同、文化自信的重要載體，丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸“濕地吉祥三寶”更是世界聞名．為保護與宣傳這“三寶”，某校生物興趣小組設計了3張環保宣傳卡片，正面分別繪有丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸圖案，除此之外卡片完全相同．

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為_____；(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）利用概率公式可直接得出答案；（2）利用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數，利用概率公式求解．【詳解】（1）解：由題意知，恰好是“麋鹿”的概率為13故答案為：13（2）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有6種等可能的情況，其中恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的情況有2種，26因此抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的概率是13【點撥】本題考查列表或畫樹狀圖法求概率，解題的關鍵是通過列表或畫樹狀圖表示出所有等可能的情況，做到不重復、不遺漏．【變式10-1】（2023·陜西榆林·統考模擬預測）中國一中亞峰會于5月18日至19日在陜西省西安市舉行，讓千年古都再次聚焦世界的目光．也讓每一個西安人、陜西人感到驕傲．在一個不透明的口袋里，裝有分別標著漢字“喜”、“迎”、“中”、“亞”、“峰”、“會”的六個小球(1)若從袋中任取一個小球，則取到的小球上的漢字恰好是“亞”的概率為；(2)從袋中任取一個小球，不放回．攪勻后再從剩下的五個小球中任取一個，請用畫樹狀圖或列表法（漢字不分先后順序）求出取到的兩個小球上的漢字恰能組成“喜迎”或“中亞”或“峰會”的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據概率計算公式即可求解；（2）運用畫樹狀圖或列表法把所有等可能結果表示出來，再根據概率的計算公式即可求解．【詳解】（1）解：∵“喜”、“迎”、“中”、“亞”、“峰”、“會”的六個小球，任取一球，∴取到的小球上的漢字恰好是“亞”的概率為16故答案為：16（2）解：畫樹狀圖如下：所有等可能的情況有30種，其中取到的兩個小球上的漢字恰能組成“喜迎”或“中亞”或“峰會”的情況有6種，∴取到的兩個小球上的漢字恰能組成“喜迎”或“中亞”或“峰會”的概率為630【點撥】本題主要考查概率的計算，運用畫樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式10-2】（2022·廣東湛江·校聯考二模）在一個不透明的布袋中，有紅，白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中白球1個，現從中任意摸出一個紅球的概率為23(1)求袋中紅球的個數為___________．(2)攪勻后先從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的球中任意摸出1個球．請用樹狀圖或表格求兩次都摸到紅球的概率．【答案】(1)2(2)1【分析】（1）設有x個紅球，根據摸出紅球的概率列式計算即可；（2）運用樹狀圖或表格法把所有等可能結果表示出來，再根據概率的計算方法計算即可．【詳解】（1）解：設有x個紅球，∴x1+x=2∴袋中紅球的個數為2個，故答案為：2．（2）解：畫樹狀圖為（兩個紅球分別表示為紅1，紅2）：共有6種等可能的結果數，其中兩次都摸到紅球的結果數為2，

∴兩次都摸到紅球的概率為26【點撥】本題主要考查概率的計算方法，運用樹狀圖或表格法求隨機事件的概率，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式10-3】（2023·吉林白山·校聯考二模）從一副撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數字分別為1.2.2.3，將這四張撲克牌背面，朝上洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的三張牌中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數字之和為偶數的概率．【答案】1【分析】先畫樹狀圖可知共有12種等可能的結果，其中抽取的這兩張牌的牌面數字之和為偶數的結果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示

共有12種可能的結果，其中抽取的這兩張牌的版面數字之和為偶數的有4種，所以抽取的這兩張牌的版面數字之和為偶數的概率為412【點撥】本題考查的是樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．【變式10-4】（2023·江蘇連云港·統考一模）將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個盒子中，盒子的形狀、大小、質地都相同，再將這3個盒子裝入一只不透明的袋子中．

(1)攪勻后從中摸出1個盒子，則摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率；(2)攪勻后先從中摸出1個盒子(不放回)，再從余下的兩個盒子中摸出一個盒子，用列表法或畫樹狀圖法求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的概率(不重疊無縫隙拼接)．【答案】(1)1(2)見解析，2【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；（2）畫樹狀圖得出所有等可能結果，從中找打2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的結果數，利用概率公式計算可得．【詳解】（1）解：攪勻后從中摸出1個盒子有3種等可能結果，所以摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率為13（2）解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知共有6種等可能結果，其中2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的有4種結果，所以2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的概率為46【點撥】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．對于“放回”和“不放回”的題目，易錯點在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判斷正確，然后結合樹狀圖等方法就能迎刃而解：如，過紅綠燈、選擇直行、左、右轉彎等，就屬于放回這類問題，他們有共同特征就是每一次都有同樣多的選擇；從幾個人里選兩個人參加活動、一次性選擇兩個物品等，屬于對于“放回”和“不放回”的題目，易錯點在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判斷正確，然后結合樹狀圖等方法就能迎刃而解：如，過紅綠燈、選擇直行、左、右轉彎等，就屬于放回這類問題，他們有共同特征就是每一次都有同樣多的選擇；從幾個人里選兩個人參加活動、一次性選擇兩個物品等，屬于不放回問題，他們的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一種情況，特別注意同時抽取，也是表示抽出