九年級第一輪復習……數與式

第一部分《數學課程標準》的考查要求

一、實數

1.在具體環境中，理解實數及其運算的意義。

2.能用數軸上的點表示實數，會比較實數的大小。

3.借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求相反數與絕對值。

4.了解平方根，算術平方根，立方根，無理數和實數，近似數，有效數

字的概念。會求某些數（非負數）的平方根與某些數的立方根。

5.會估算一個無理數的范圍。

6.能運用實數及其運算法則解決簡單的實際問題。

二、代數式

1.會根據實際問題列代數式，理解代數式的含義，能理解一些簡單代數

式的實際背景或幾何意義，體會數學與現實世界的聯系。

2.理解合并同類項和去括號法則，并會進行運算。

3.會求代數式的值，能解釋值的實際意義，能根據代數式的值推斷代數

式反映的規律。

4.根據數量關系或圖形關系尋找規律，分析，歸納，總結兩變量間的關

系。

5.整式加減在運算時要注意同類項的識別和合并同類項的方法；在整式

的乘除運算中要注意理解和區分塞的運算性質，記住乘法公式，理解

其特點和應用范圍。

6.弄清因式分解與整式乘法的區別，并加強對基本類型的練習。會用提

公因式法，公式法進行因式分解。

7.會利用分式的基本性質進行約分和通分。會進行簡單的分式加，減，

乘，除運算。

省份題號題型分值考點相關的其它考點所占比例

第二部分考點分析

作者：劉瑞蓮嚴俊敏

1選擇題3乘方的意義

2選擇題3分式的定義

7填空題3相反數的概念

2007年河南

8填空題3整式的運算15%

12填空題3實數的意義

13填空題3數的規律探究題

1選擇題3絕對值的意義

2選擇題3科學記數法的概念

2008年河南

7填空題3實數14%

16解答題8分式的運算

1選擇題3相反數的概念

7填空題3平方根的意義

2009年河南

9填空題3代數式的運算14%

16解答題8分式的運算分式的定義

1選擇題4相反數的概念

2選擇題4科學記數法的概念

2009年北京7選擇題4因式分解

18%

13解答題5實數的運算

16解答題5整式的運算整體思想

1選擇題3實數的運算特殊三角函數值

3選擇題3絕對值的意義，二次根式

2009年天津乘方的意義，非負數

10%

11填空題3二次根式的運算

12填空題3分式的意義，分式的運算一元二次方程

1選擇題4相反數的概念

2選擇題4嘉的運算

2009年重慶11填空題4科學記數法的概念

19%

17解答題6實數的運算

21解答題10實數的運算

1選擇題2乘方的意義

2選擇題2乘方的意義

4選擇題2易的運算，整式的運算

2009年河北7選擇題2實數的意義及相關概念概率

18%

13填空題3實數的意義

16填空題3倒數的意義

19解答題8分式的運算

1選擇題3實數的運算

2009年山東2選擇題3嘉的運算

13填空題4科學記數法的概念14%

18解答題7分式的運算

數與式是初中數學的基礎，中考著重對基本概念和計算能力的考查，題型以選擇、填

空及簡單的解答題為主。題量一般在3個左右。分值在17分左右，所占比例為14%（指河

南省）。近幾年，出現更多貼近學生生活實際、探究規律的開放型問題、估算無理數的大致

范圍等熱點題目，強化了實數的應用和規律探索問題，并注意數形結合、分類討論思想的應

用和創新意識的培養。分式的化簡求值常常在河南中招試卷中以解答題的形式考查，以探索

規律，寫出公式是方式考查學生思維過程和數學思想方法的應用題目越來越成為熱點。

第三部分典型例題

作者：牛保中高玉平

第一節實數

典例1.把下列各數分別填入相應的集合里.

—I—3|，21.3,—1,1.234,——,0,sin60,—A/9,―?—，----,y/8,

117V82

（丁一娟）°,3-2,1.212112n12…中

無理數集合{}負分數集合{}

整數集合{}非負數集合{}

點撥：實數分類不能只看表面形式，應先化簡再根據結果去判斷。

變式1：把下列各數填入相應的集合內：

-7.5,屈,4,行，我，肛0.25,0.15

—3.14,—，sin45,*\/4。

3

有理數集{},無理數集{}正實數集{}

變式2.：在下面兩個集合中各有一些實數，請你分別從中選出2個有理數和2個無理數，再

用"十,一,X,小”中的3種符號將選出的4個數進行3次運算，使得運算結

果是一個正整數。

典例2：在2008年北京奧運會國家體育場的“鳥巢”鋼結構工程施工建設中，首次使用了

我國科研人員自主研制的強度為4.581億帕的鋼材4581億帕用科學記數法表示為

帕（保留兩個有效數字）.

點撥：對大數保留有效數字，可以先將這些數用科學記數法表示出來，再保留有效數字。

解：4.581億=458100000,用科學記數法表示為4.581X10',故填4.6義1（）8。

變式1：北京2008奧運的國家體育場“鳥巢”建筑面積達25.8萬平方米，用科學記數法表

示為（）

A.25.8xlO4m2B.25.8xl05m2C.2.58xl05m2D.2.58xl06m2

變式2：由四舍五入法得到的近似數3.10義104,它精確到位。這個近似值的有

效數字是O

典例3:已知X,y是實數，J3x+4+y2-6y+9=0,若叼-3盯=y,則實數a的值是

()

1177

A.-B.——C.-D.一一

4444

解：由5/3%+4+戶6y+9=0,得-3x+4+(y—3了=0.

4441

將％=一§,y=3^Aaxy-3y=y,得（一1）?3〃一3（一1）=3,從而a二"

答案：選A.

點撥：將已知的第一個等式變為：/包4+（丁-3）2=0,根據非負數的性質，得3*+4=0

及y-3=0,可求得x,y的值，代入已知的第二個等式，便可求出a的值.

變式1：已知AABC的三邊長分別為a,b,c,^.a,b,c,a2-6a+9+J/?-4+4-4|=0,

試判斷AABC的形狀.

變式2：若實數。和人滿足b=+J—a—5,則ab的值等于

典例4計算：（%一1）°+（-）-1+|5-727|一26

2

點撥：對實數運算的考查往往是一些基礎概念的理解和運用，解題時應注意運算順序。

解：（萬一1）°=1,（—）t=2,|5—yjriI—3\[3-5.

2

（1一1）°+（—）-1+I5—<27|—2^3

2

=1+2+36-5-2A/3

=-\/3—2.

變式1：計算：卜6|-(1—6)°+(-3)2

變式2：計算：++(n-2007)°-2sin45

典例5：將(-sin30尸，(-忘)°,(-V3)3,這三個實數按從小到大的順序排列，正確的

結果是()

203230

A(-sin300)"<(-V2)<(-V3)B(-sin300)"<(-73)<(-V2)

302032

C(-V3)<(-V2)<(-sin30°)"D(-V2)<(-73)<(-sin300)"

答案：C

點撥：比較實數的大小，有許多種方法可供選者，如求商畫數軸等，具

體方法根據題目特征而定。

變式1：已知0<x<l,那么在中，最大的數是

X

變式2：已知x<0,y>0,且用連結x,—x,—|y|,y0

典例6有一列數%,%，生，，久,從第二個數開始，每一個數都等于1與它前面那

個數的倒數的差，若q=2,則a?。。?為（）

A.2007B.2C.-D.-1

2

答案：C

點撥：解決數字規律問題，應從簡單的特例開始，分析存在的普遍規律

再利用規律解決問題。

典例7先觀察下列等式，然后用你發現的規律解答下列問題。

=1——,=———,----=----

1x2-----22x3--233x434

(1)計算,上+―上

1x22x33x44x55x6

（2）探究」一十1

（用含有〃的式子

1x22733x4n{n+1)

表示）

1的值為：17，求〃的值.

(3)若-----1-----------1-----------1------h

1x33x55x7(2〃一1)(2“+1)35

點撥:通過給出的三個特殊的式子,可以發現相鄰兩自然數積的倒數等于這兩個數的倒數

的差，解決數字規律問題時,應從簡單的特例開始，分析存在的普遍規律，再利用

規律解決問題。

1111111

解：(1)原式=1---1---++-+-

2233-44556

1

=1一一

6

=5

-6,

，11111,11

(2)原式=1-—+----+----+???+-----

22334nn+1

1

1----

n+1

n

n+1

/、一1”1、1/1、1」1、

(3)原式=—x(l——)dx(----)+—x(-----)H

23235257

lx(^-—-

+22n—l2n+l

=-(l-——)

22n+l

n

2〃+l

n17

解得"=17.

2n+l-35

經檢驗〃=17使原等式成立，所以〃=17.

變式2：根據下表中的規律，從左到右的空格中應依次填寫的數字是()

A.100,011B.011,100C,011,101D.101,110

第二節整式

2

典例1先化簡，再求值：(〃+/?)+(a-b)?(2a+b)—3。2,其中

a-—2-A/3,b—y/3-2.o

點撥：先運用乘法公式及多項式乘法化簡，再代入計算。

解：原式=a?+2ab+Z?2+2a之—(2b—Z?2—34

—cibo

當a=—2—百力=百—2.時，原式=(—2—百)(君—2)

=-(73+2)(73-2)

=—(3—4)

=lo

變式1：已知X?—4=0,求代數式x(x+l)2—式必+x)—x—7的值。

典例2圖（1）是一個邊長為（m+〃）的正方形，小穎將圖（1）中的陰影部分拼成圖（2）

的形狀，由圖（1）和圖（2）能驗證的式子是（）

圖（1）圖（2）

A.（m+n）2-（m-n）2=4nmB.（W+H）2-（m2+n2）=2mn

C.（m-n）2+2mn=m2+n~D.（m+n）（m—n）=m~~n2

點撥：根據兩個圖形中陰影部分的面積相同，得出兩種計算面積的代數式的值相等，來驗

證公式。

解：由題意得兩圖中陰影部分的面積相等，圖（1）中，由勾股定理得空白部分正方

形的邊長為,圖（1）中陰影部分面積為

（m+另）-7（m+%>=（m+ri）-圖（2）陰影部分面積為

4x---=2mn,所以（%+一（加？+/）=2m〃，故選B。

2mn

變式1：從邊長為〃的正方形內去掉一個邊長為人的小正方形（如圖1）,然后將剩余部分

剪拼成一個矩形（如圖2）,上述操作所能驗證的等式是（）

A.a1-b2=（a+b）（a-b）B.（6Z-/?）2=a2-lab+b1

C.(a+b)2=〃+2ab+Z22D./+帥=+b)

典例3有一列單項式：r,2%2,_3V,4%4,…，一19一,20/。.

⑴你能說出它們的規律是什么嗎？

⑵寫出第2008個單項式，

(3)寫出第〃個以及第("+1)個單項式。

點撥：代數式的規律探究題，需要經過觀察、分析、類比、歸納等過程，進而由特殊到一

般發現其規律。

解：(1)每個單項式的系數的絕對值與該單項式中x的指數相等，奇數項系數為負,

偶數項系數為正。

(2)2008X2008.

(3)當“為奇數時，第"個單項式為-以"，第5+1)個單項式為(〃+i)x"+i,

當〃為偶數時，第幾個單項式為以"，第("+D個單項式為-(〃+1)亡+1。

變式1：用同樣大小的正方形按下列規律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n

個圖案中正方形的個數是_o

<X>W<W一

n=lo=2n=3

變式2：將連續的自然數1至36按右圖的方式排成一個正方形陣列，用一個小正方形任意

圈出其中的9個數，設圈出的9個數的中心的數為a,用含有a的代數式表示這9?

個數的和為.

123456

789101112

131415161718

192021222324

252627282930

313233343536

4

典例4：代數式3/一4%+6的值為9,則必——x+6的值為)

3

A.7B.18C.12D.9

點撥：體現的思想方法是整體代入法。

變式1：當龍=1時，代數式力3+qx+i的值為2005,則當尤=-1時，代數式p/+/+1

的值為()

A.-2004B.-2005C.2005D.2004

變式2：設a—b=—2,求—a’的值。

2

典例5：把代數式依2—4℃+4a分解因式，下列結果中正確的是()

A.a(x-2)2B.a(x+2)2C.tz(x-4)2D.a(x+2)(x-2)

點撥：分解因式常用的方法是：“先提再套”，還應從多項式的角度考慮，直到各因式都不能

繼續分解為止。

變式1：分解因式：2/—18=

變式2:把代數式孫2一9x分解因式，結果正確的是()

A.x(y2-9)B,x(y+3)2

c.My+3)0-3)D.x(y+9)(y—9)

典例6：下列運算結果正確的是()

35213

①2d—%2=x②x*(x)=X③(一%)6+(-x)3=d

④(0.1)-2?10-1=10

A.①②B.②④C.②③D.②③④

變式1：下列計算中錯誤的是()

A.(-a3b)2?(-ab2)3=-a9b&B,(-a2b3)3^(-ab2)3=a3b3

C.(一。3)2?(_/)3=。吩D.[(-/)2.(_/)37=—

第三節分式

r2-4

典例1（1）當X為何值時，分式f-------無意義？

x-x-2

龍+[

（2）當x的何值時，分式。的值為零?

X2+2X-3

A

點撥：判斷分式有無意義，必須對原分式進行討論，在分式一中，若3=。，則分式無意

B

AA

義，若BwO,則分式一有意義，分式一的值為零的條件是A=0且兩者

BB

缺一不可。

2-4,

解：（1）要使分式二X-------無意義，貝懦％2_%_2=0。

x-x-2

Y2-4

即當％=2或x=—1時，分式f-------無意義。

x-x-2

Y1

（2）要使分式--------的值為零，則需無+1=0,且d+2xT妗，解得尤=一1

X2+2X-3

變式1：已知分式尸—5當#______時，分式有意義；當*=______時，分式的值為0.

X2-4X-5

若將分式與（。泊均為正數）中的字母。力的值分別擴大為原來的2倍，則分

變式2：

式的值為（）

A.擴大為原來的2倍B.縮小為原來的3C.不變D.縮小為原來的上

先化簡，再求值：（1—-匚）十匕幺，其中

典例2

a+1a+12

點撥：在分式的混合運算中，除法運算要先變為乘法運算，分子，分母能分解因式的可先

分解因式再約分。

解：原式=（i--匚）?孚L

a+1a—Q

=---a-->---a--+---1--

a+1〃（〃+1）

1

—O

6Z—1

當。=工時，原式=-2.

2

變式1：求值：（手匚——廠”一）十巴過淇中。滿足4+2。—1=0

a+2aci+4。+4a+2

、什111ba

變式2：右-----------，貝n!Jil—I——________o

baa-bab

典例3已知x—3y=0,求2,?（x—y）的值.

x-2xy+y

點撥：根據分式乘除的運算法則，先將分式化簡，再將x-3y=0轉化為％=3y代入求值。

解：原式=2x+y（）

（x-y）2

_2x+y

-o

%一y

當x=3y時，原式=叟上上

3y-y

2y

_7

~2

變式1：若+3xy-4y?=0,則*+2丫=_______。

2x-y

變式2：若工—工=3,貝I］分式2工+3個-2y=_

xyx—2xy—y

典例4A玉米試驗田是邊長為a米的正方形減去邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分;

B玉米試驗田是邊長為（。-1）米的正方形，兩塊試驗田都收獲了500千克玉米。

（1）哪個玉米試驗田的單位面積產量高？

（2）高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？

點撥：要解決第（1）小問，可先利用正方形的面積公式分別求出其面積，即可求出各自的

單位面積產量，進而利用作差法比較它們的大小，對于第（2）小問，可以利用作商

的辦法來解決。

解：（1）A玉米試驗田的面積是（1—1）米2,單位面積產量是±22_千克/米2；

ci—1

B玉米試驗田的面積是(a-1)20米n2,單位面積產量是45二00千克/米92;

因為。一—1—(a—1)~=2(。—1),而a—1>0,

所以0<(a—1.

所以上"(衛」，即B玉米試驗田的單位面積產量高。

a-1(a-1)?

500500500ci~—\(<7+l)(tz—1)tz+1

(2)因為------7——=---------7?--------=--------------;—=-------=

("1)2o2-l("1)2500("2)2a-1

所以高的單位面積產量是低的單位面積產量的3倍。

(7—1

第四部分跟蹤練習

作者：周培玲盧敏麗嚴俊敏

第一節實數

河南真題透視

1、一’的絕對值是.

7

2、計算(一1/的結果是.

3、下列各組數中，互為相反數的是().

A2與一B(—1)2與一1

2

C-1與一JD|-2|與2

4、為支援四川地震災區，中央電視臺于2008年5月18日舉辦了《愛的奉獻》賑災晚

會，晚會現場捐款達1514000000元。1514000000用科學記數法表示正確的是()

A1514X106B15.14X108

C1.514X109DO.1514X1O10

5、(3—6)的相反數是.

6、16的平方根是.

7、已知x為整數，且滿足一及WxWg,則工=.

全國真題精選

1、(-1)3等于()

A-1B1C-3D3

2、在實數一2,0,血，萬,石中,

無理數有（）

3

A1個B2個C3個D4個

3、二次根式J（—3）2的值是（）

A—3B3或一3C9D3

4、計算J1—g的結果是（

）

A--A/3B--372CA/3

33

5、按一定的規律排列的一列數依次為：一2,5,-10,17,—26,…按此規律排下去，這

列數中的第9個數是.

6、在數軸上與表示6的點的距離最近的整數點所表示的數是.

7、在一個不透明的袋中，裝有十個除數字外其他完全相同的小球，球面上分別寫有1,2,

3、4,5這5個數字（每個數字只標兩個球）。小芳從袋中任意摸出一個球，球面數字的平

方根是無理數的概率是.

8、比較大小：7____750.（填”或“<”）

9、化簡：3近一5屬的結果為.

10、符號表示一種運算，它對一些數的運算結果如下:

(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…

(2)f(-)=2,f(-)=3,f(-)=4,f(-)=5,…利用以上規律計算:

2345

f(^―)~f(2008)=

2008

11、計算：2?-5X-+|-2|.

5

12、計算：I—2|+(—)1X(萬一^2)°—邪+(—1)

3

1l,—

13、計算：（一片一（一2008）°+I1-V3|-V12（結果保留根號）.

2

14、閱讀下列材料：

我們知道Ix|的幾何意義是在數軸上數x對應的點與原點的距離，即|x|=|

x-0I,也就是說，IxI表示在數軸上數%與數0對應點之間的距離；這個結論可

以推廣為IX1—X2I表示在數軸上毛，％2對應點之間的距離。

例1解方程IXI=2,容易看出，在數軸上與原點距離為2的點的對應數為±2,即

該方程的解為x=±2.

例2解不等式Ix—1|>2,如圖(1)在數軸上找出

I錯誤!未找到引用源。TI>2的解，即至1的距離為2的點對應的數為一1、

3,貝！Hx—1I>2的解為x<—1或x>3.

圖⑴

例3解方程|x—1I+Ix+2|=5.由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數

軸上與1和一2的距離之和為5的點對應的x的值。在數軸上，1和一2的距

離為3,滿足方程的x對應點在1的右邊或一2的左邊，若x對應點在1的右

邊，由圖(2)可以看出x=2；同理，若x對應點在一2的左邊，可得x=-3,故

原方程的解是x=2或。x=-3.

4

<?4?-----------

?1?—

-3-2-10122

圖(2)

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程Ix+3|=4的解為0

(2)解不等式Ix—3|+|x+4|》9；

(3)若|x—3|—Ix+4]Wa對任意的x都成立，求a的取值范圍。

原創好題預測

1、(針對考點1)下列各組數中互為相反數的一組是()

A—2與亞年B—2與J(-2)2

C_2與__DI—2|與2

2

2、（針對考點1）實數a、人在數軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

Aa+b>a>b>a+bBa>a+b>b>a—b

Ca—b>a>b>a+bDa—b>a>a+b>b

3、（針對考點1）下列各數中，無理數有（）

0,-------，萬，-3.1416,—,邪,0.030030003-（以后每兩個3之間多一

10003

個0）,0.57143,I?。

IA2個B3個C4個D5個

4、（針對考點2）若a是有理數，則下列各式一定成立的有（）

（1）（—a）2—a2（2）—a2=（—a）~（3）（—a）'=a3

（4）I—a3I—a3

A1個B2個C3個D4個

5、（針對考點2）已知a>0,b<0,且|aI<I匕|,則a+匕是（）

A正數B負數C0D不確實

6、（針對考點4）設0=a,若用含a、b的式子表示血石，則下列表示

正確的是（）

A0.3abB3abC0.1a/D0.1a2b

7、（針對考點1）將0.0000195用科學記數法（保留兩個有效數字）表示為（）

A.2.0X10-5B.2X10'5C.1.95X10^5D.1.95X10-4

8、（針對考點4）（g,—J（-2）2=.

9、（針對考點4）觀察下列各式：.1-1—=2J-，J2T—=3.,J3T—=4J-,…

請你將發現的規律用含自然數〃（〃》1）的等式表示出來o

10、（針對考點1、2）已知：x是I—3|的相反數，y是一2的絕對值，求2k一y

的值。

第二節整式

河南真題透視

1、對代數式4a作一個合理解釋:

2、（）3=-27X6.

3、在手拉手活動中，小明為捐助某貧困山區的一名同學，現一存款300元，他計劃今

后每月存款10元，n個月后存款總數是元。

4、觀察下列單項式：0、3犬、8三、15x\24/，…按止匕規律寫出第13個單項式是.

5、分解因式：爐一町一2/一%一y=.

全國真題精選

1、化簡（―a）?（—a）2的結果是（）

A、u~B-.—aC-.a，D-.—a，

2、下列計算正確的是（）

A、a2+a3=a5B、a6a2-a3C、=a6D、2ax3a=6a

3、當x為任意實數時，二次三項式6%+c的值都不小于0,則常數c滿足的條件

是（）

A、c20B、c29C、c>0D、c>9

r4

4、已知代數式3d—4x+6的值為9,則必o——x+6的值為（）

3

A、18B、12C、9D、7

5、當％=2時，代數式2光—1的值是______.

6、若單項式2x2、""與-gx"：/是同類項，貝U機+”的值是.

7、請你寫一個能先提公因式，再運用公式來分解因式的三項式，并寫出分解因式的結果

8、若-4xay+x2/=-3x2y,貝Ua+b=.

9、如果x+y=—4,x—y=8,那么代數式爐―>2的值是.

10、分基因式：2丁—8x=.

11、將—分解因式的結果是.

4一

13>先化簡，再求值：（3+間（3-間+機（加一6）-7,其中加二）.

14、先化簡，再求值：一石）（a+石）一。（。一6）,其中〃=逐+（

112233

15、觀察下列等式：IX—=1——,2X—=2——,3X—=3---，…

223344

①猜想并寫出第〃個等式；

②證明你寫出的等式的正確性。

原創好題預測

1、下列運算正確的是()

2

A、(〃+/?)(—a—Z?)=Q?—/7B、(a+3)=+9

C、Q?+Q2=2/D、(―2〃2)=

2、某商品原價為。元，因需求量大，經營者連續兩次提價，每次提價10%,后因市場

物價調整，又一次性降價20%,降價后這種商品得價格是()

A、0.968。元B、0.88。元

C、1.08。元D、。元

3、下面是一名同學所做得5道練習題：