第一章特殊平行四邊形1.3正方形的性質與判定第1課時正方形的性質

正方形的定義1.如圖，直線

l

過正方形

ABCD

的頂點

B

，點

A

，

C

到直線

l

的距離分別

是3和4，則正方形的邊長是(

A

)A.5B.3C.

D.

A12345678910

12345678910

正方形的性質2.【教材第21頁隨堂練習第2題改編】如圖，在正方形

ABCD

中，

∠

DAF

＝20°，

AF

交對角線

BD

于點

E

，交

CD

于點

F

，則∠

BEC

的度數為(

C

)A.80°B.70°C.65°D.60°第2題圖C12345678910【解析】∵四邊形

ABCD

是正方形，∴

AD

＝

CD

，∠

ADE

＝∠

CDE

＝45°.又∵

DE

＝

DE

，∴

AD

＝

CD

，∠

ADE

＝∠

CDE

，

DE

＝

DE

，∴△

AED

≌△

CED

(SAS).∴∠

ECD

＝∠

DAF

＝20°.又∵∠

CDE

＝45°，∴∠

BEC

＝∠

ECD

＋∠

CDE

＝20°＋45°＝65°.第2題圖12345678910

A.(－2，0)B.(2，0)C.(0，

)D.(0，2)第3題圖D12345678910【解析】如圖，連接

OB

.

∵將正方形

OABC

繞原點

O

順時針旋轉45°，∴點

B

的對應點

B1在

y

軸的正半軸上，且

OB1＝

OB

＝2.∴點

B1的坐標為(0，2).12345678910

以上結論正確的為(

C

)A.①B.①②C.①②③D.②③C12345678910【解析】∵四邊形

ABCD

、四邊形

OGMN

均是正方形，∴

OA

＝

OB

，∠

AOB

＝∠

GON

＝90°，∠

BAO

＝∠

CBO

＝45°.∴∠

AOE

＋∠

BOE

＝∠

BOF

＋∠

BOE

.

∴∠

AOE

＝∠

BOF

.

∴△

AOE

≌△

BOF

(ASA).∴

OE

＝

OF

，

AE

＝

BF

，故①正確；∴

S△

AOE

＝

S△

BOF

.

12345678910

123456789105.(2023·承德平泉市期末)如圖，正方形

ABCD

的邊長為4，

G

為

AB

的中

點，過頂點

A

作直線

AH

與

CD

邊交于點

H

(點

H

不與點

C

，

D

重合)，分

別過點

B

，

D

作直線

AH

的垂線

BE

，

DF

，垂足分別為

E

，

F

.

(1)

DG

＝

?；

12345678910(2)求證：△

ABE

≌△

DAF

；證明：∵四邊形

ABCD

為正方形，∴∠

BAD

＝90°，

AB

＝

DA

.

∵

BE

⊥

AH

，

DF

⊥

AH

，∴∠

AEB

＝∠

DFA

＝90°.∴∠

BAE

＋∠

DAF

＝∠

BAE

＋∠

ABE

＝90°.∴∠

DAF

＝∠

ABE

.

∴△

ABE

≌△

DAF

(AAS).12345678910(3)計算：

BE2＋

DF2＝

?.【解析】∵△

ABE

≌△

DAF

，∴

DF

＝

AE

.

在Rt△

ABE

中，由勾股定理，得

AE2＋

BE2＝

AB2＝42＝16，∴

BE2＋

DF2＝16.16

12345678910

A.1B.2

－2C.

－1D.

第6題圖C12345678910

第6題圖12345678910

第6題圖12345678910

A.48B.54C.81－18

D.108－36

第7題圖D12345678910【解析】如圖，設

CD

與

PQ

交于點

G

，連接

AG

.

∵四邊形

ABCD

和四邊形

APQR

均是正方形，∴

AB

＝

AP

＝

AD

，∠

BAD

＝∠

P

＝∠

D

＝90°.∵

BAP

＝30°，∴∠

PAD

＝60°.又∵

AG

＝

AG

，∴Rt△

APG

≌Rt△

ADG

(HL).∴∠

PAG

＝∠

DAG

＝30°.12345678910∴

AG

＝2

PG

.

∴

DG

＝6.

123456789108.如圖，在平面直角坐標系中，直線

l

：

y

＝

x

－1與

x

軸交于點

A1，

如圖所示，依次作正方形

A1

B1

C1

O

，正方形

A2

B2

C2

C1，…，正方形

AnBnCnCn－1，使得點

A1，

A2，

A3，…在直線

l

上，點

C1，

C2，

C3，…

在

y

軸的正半軸上，則點

B2024的坐標為(

C

)A.(22023，22024＋1)B.(22024，22024－1)C.(22023，22024－1)D.(22023，22023＋1)C12345678910【解析】當

y

＝0時，

x

－1＝0，解得

x

＝1，∴點

A1的坐標為(1，0).∵四邊形

A1

B1

C1

O

為正方形，∴點

B1的坐標為(1，1).同理可得

A2(2，1)，

A3(4，3)，

A4(8，7)，

A5(16，15)，…，∴

B2(2，3)，

B3(4，7)，

B4(8，15)，

B5(16，31)，….∴

Bn

(2

n－1，2

n

－1)(

n

為正整數).∴點

B2024的坐標為(22023，22024－1).第8題圖123456789109.(2023·保定涿州市校考期中)如圖，

E

是正方形

ABCD

內的一點，連

接

AE

，

BE

，

CE

，將△

ABE

繞點

B

順時針旋轉90°到△CBE'的位置.若

AE

＝1，

BE

＝2，

CE

＝3，則∠BE'C的度數為

?°.第9題圖135

12345678910【解析】如圖，連接EE'.∵將△

ABE

繞點

B

順時針旋轉90°到△CBE'的位置，

AE

＝1，

BE

＝2，

CE

＝3，∴∠EBE'＝90°，

BE

＝E'B＝2，

AE

＝E'C＝1.

∴E'E2＋E'C2＝8＋1＝9，

EC2＝9.∴E'E2＋E'C2＝

EC2.∴△EE'C是直角三角形，且∠EE'C＝90°.∴∠BE'C＝∠BE'E＋∠EE'C＝135°.12345678910

10.

定義：若四邊形有一組對角互補，有一組鄰邊相等，且相

等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形定義為“郡外四邊形”.(1)下列一定是“郡外四邊形”的是

(填序號)；①平行四邊形；

②矩形；

③菱形；

④正方形.④

12345678910(2)如圖，

P

是正方形

ABCD

對角線

AC

上一點，

O

是線段

AC

的中點，

E

是射線

BC

上一點，且

PE

＝

PB

，連接

PD

.

12345678910①如圖1，當點

P

在線段

AO

上時，求證：四邊形

PECD

為“郡外四邊形”；證明：∵四邊形

ABCD

是正方形，

AC

是對角線，∴

BC

＝

DC

，∠

BCP

＝∠

DCP

＝45°.又∵

PC

＝

PC

，∴△

BCP

≌△

DCP

(SAS).∴

PB

＝

PD

，∠

PBC

＝∠

PDC

.

∵

PE

＝

PB

，∴

PD

＝

PE

，∠

PBC

＝∠

PEB

.

∴∠

PEB

＝∠

PDC

.

∴∠

PEC

＋∠

PDC

＝180°.∵四邊形

PECD

的內角和為360°，∴∠

DPE

＋∠

DCE

＝180°.∵∠

DCE

＝90°，∴∠

DPE

＝90°.又∵

PE

＝

PD

，∴四邊形

PECD

為“郡外四邊形”.12345678910②如圖2，當點

P

在線段

CO

上時，試用等式來表示

PB

，

BC

，

CE

之間

的數量關系，并證明.②解：

BC2＋

CE2＝2

PB2.證明：∵四邊形

ABCD

是正方形，

AC

是對角線，∴

BA

＝

DA

，∠

BAP

＝∠

DAP

＝45°.∵

PA

＝

PA

，∴△

BAP

≌△

DAP

(SAS).∴

PB

＝

PD

.

∵

PE

＝

PB

，∴

PD

＝

PE

.

(ⅰ)當點

E

與點

C

重合時，點

P

恰好在

AC

中點處，此時，

PD

⊥

PE

，

CE

＝0，易得2

PB2＝

BC2；123456789