第一節數與式的運算

1.1.1.絕對值及零點分段法

一、知識點

1.絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零.即

。〉0,

\ci\=<0,67=0,

-a,a<0.

2.絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.

3.兩個數的差的絕對值的幾何意義：卜-q表示在數軸上，數。和數。之間的距離.

二、例題

例1:在下列條件下去掉絕對值

(1)|x-l|-|x-2|(x>2);(2)|x-l|-|x-3|(l<x<3)；(3)|x-l|+|x-3|

例2:解絕對值不等式

(1);(2)|2x-l|<2;(3)gx+l>3;(4)|5x+7|>0;

(5)|2x+l|<0;(6)|2x+l|<0;

練習：①W<5;②國>1();③|3乂<12;@|3X3+5X2|+1>0;

(?)|3x~?5|+1<0;⑥]3x-5區0

例3:解不等式

(1)|x-l|+|x-3|>4;(2)|x-l|+|2x-4|<5

例4:(1)求函數)，=&—2x+i+VX2-4X+4的最小值

(2)求函數y=&-2x+l-VX2-4X+4的最大值

例5:作出下列函數圖像

(l)y=N；(2)y=|x-l|；(3)y=|x-l|+|x-2|;

(4)y=\x-l\(x+2);⑸y=,2_2x—3|；(6)y=x2-2\^-3

例6:(1)方程苗—2%-3|=加有4個解，求加的取值圍；

(2)不等式卜一1|+上一3|2加+1的解為一切實數，求加的圍。

氏小1

練習：不等式組?無解，求a的圍。

|x-3|<a

1.1.2.乘法公式

一、知識點

我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b”;

(2)完全平方公式(a+b)2=a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(Q+-ah+h~)="+S；

(2)立方差公式(a-b)(a2-\-ab-\-b1)=a3-b3);

(3)三數和平方公式(Q+b+3=3+b+c-2(ab+bc\-;

(。+〃)3=/+3。2〃+3加+/；

(4)兩數和立方公式

(5)兩數差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明.

二、例題

例1id-M：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+l).

例2已知a+6+c=4,"+Z?c+ac=4,求￡+匕2+/的值.

練習

1.填空：

1,1,11

(1)-a2——b2=(-b+-a)();

9423

(2)(4根+)2=16m2+4/n+();

(3)(a+2b-c)2=/+破+。2+().

2.選擇題：

(1)若f+Lnr+A是一個完全平方式，則攵等于()

2

(A)nr(B)-m2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不論。，。為何實數，/+〃一2。—42+8的值()

(A)總是正數(B)總是負數

(C)可以是零(D)可以是正數也可以是負數

例3(1)已知》+、=3,孫=2，求/+y3與/+y2的值；

(2)已知：x+y+z=6.xy+xz+yz=1l,xyz=6,求『+y2+z?與(x_])(y_l)(z—l)的值；

（3）已知：a=6-0由=0四,求/+/與的值;

]1V6J-1

(4)已知：x2+3x+l=0,求值：@x2+—；@x4+—；?^-^―

XXX'

練習：

1,已知：a+b=2，求/+6ab+Z?3的值；

2.已知：x—，=3,求——二的值；

XX

3,若3y=%+2z，求x?—9j2+4z2+4xz的值；

4.設。（。-1）一（〃一切=一2,求.一+'一帥的值;

2

5.計算：(1)(x+y)2(Y一孫+y2)=；

(2)(2y-z)[2y(z+2y)+z2]=；

(3)(x2-；)(丁-gx++；)=；

(4)(x-y)[(x+y)2-孫賬x+"(x-y)2+xy^=；

,311

(5)(9X2--X+—)(3X+-)=；

4164

(6)[(?2-2)(/+2a2+4)f=；

6.已知：x+y=6,x2+4y2<4xy,求Y+的值。

7.若y=7,13-y3=56，求冗2+盯+y2的值；

8.已知：X、y、2是正實數，且不一丁=一2,丁3-23-丁2-*-22=。，求工一2的值；

1.13.二次根式

一、知識點

一般地，形如GmNO)的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例

如3a+yla2+b+2b,耳+附等是無理式，而也、+孝彳+1,x2+y/2xy+y2,后等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概

念.兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例

如血與夜，3G與石,G+#與百一#,2G-30與26+3&,等等.一般地，。6與4,

ajx+hy/ya4x-byfy,+b與a6-/?互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母

和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式

=嵐(a>0,^>0);而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；

二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式"的意義

77=1”卜/。，

11[-a,a<0.

二、例題

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1);(2)V^(aN0);(3)，4巧(><0).

例2計算：6+(3-石).

例3試比較下列各組數的大小：

(1)屈一而和VH—屈；(2)-j=2—和2&一#.

V6+4

例4化簡例G+痣嚴?(6-V2)2005.

例5化簡：(1)79-475;(2)^X2+--2(0<X<1)

A/3—5/2V3+V2

例6已知x=求3x2-59+3y之的值.

A/3—5/2

練習：

1.填空：

(2)若J(5-x)(x-3)2=(x—3)乒^,則x的取值圍是_

(3)4724-6754+3796-2^/i50=;

/4、號V5.x/x+l—V-V—1,x/x+1+V-V-l

(4)右'X=/人」一IIHiI

2\/xyjx—1。尤+1—yjx—1

2.選擇題：

等式'巨=成立的條件是

VX-2yjx-2

(A)x。2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

1.1.4.分式

1.分式的意義

AA

形如一的式子，若8中含有字母，且8,則稱一為分式.當M=0時，分式具有下列

BB

ffig：

A_AxM_A_M

~B_BxM'~B—B+M-

上述性質被稱為分式的基本性質.

2.繁分式

a

像上，這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

,,5x+4AB

例1若-------=一+----，求常數A,3的值.

x(x+2)xx+2

(1)試證：一-［-=~-一］(其中"是正整數);

例2

“(〃+1)n〃+1

111

(2)計算：---+---------FH-----------

1x22x39x10

(3)證明：對任意大于1的正級,有人+」

nH--------------<一

2x33x4〃(〃+1)2

拓展練習：

1.解不等式卜+3|+k一［＜7

22

、八11“Mi、x+xy+y-0立

2.\^.x=—f=—,y=—f=—，求代數式的值.

V3-2V3+2x+y

.2?2

3.當3。2+4/7—2〃=03工0力70），求⑷―2一幺匕的值.

baab

75-1

4.設工=，求*4+/+21的值.

2

5.化簡或計算：

)?白

⑴(V18-4.11

2+V2-V3

⑵2檢

6.(1)已知Q+/?+C=O,

求+―)+b(—+—)+c(一+的值.

bccaab

（2）若-4,

求1-1++1

1+yjX—11-y/X—1

8.若—b—2y二\j-b-,貝[|()

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)h<a<0

9.計算4口等于（）

Va

(A)口(B)&(C)-\[-a(D)-4a

10.解方程2(x?H—r)—3(xH—)—1:=0.

XX

I】?計算：±+￡+白+i

+9xll

12.試證：對任意的正整數n,有一］--+―1—+11

+-----------<T

1x2x32x3x4n(n+1)(〃+2)4

第二節分解因式

1.公式法

常用的乘法公式：

口]平方差公式：;

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：.

[4](a+b+c)2=

[5]a3+b3=(立方和公式)

[6]a3-b3=(立方差公式)

由于因式分解與整式乘好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式

可以進行因式分解.

2.分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式.而對于

四項以上的多項式，如〃也+/泌+w+nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，

可以先將多項式分組處理.這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的

關鍵在于如何分組.

常見題型：(1)分組后能提取公因式(2)分組后能直接運用公式

3.十字相乘法

(1)x2+(p+q)x+pq型的因式分解

這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：①二次項系數是1；②常數項是兩個數之

積；③一次項系數是常數項的兩個因數之和.

:x1+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+〃)+g(x+p)=(x+/?)(%+<y),

.'.X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

運用這個公式，可以把某些二次項系數為1的二次三項式分解因式.

(2)一般二次三項式ox?+-+。型的因式分解

2

由ci}a2x+(4G+?2ct)x+c\c2=(a,x+q)(a2x+c2)我們發現，二次項系數a分解成

a}a2,常數項c分解成c&,把4M2，q，G寫成:義：；，這里按斜線交叉相乘，再相加，就

得到aj+a2cl加果它正好等于+bx+c的一次項系數b,那么ax2+bx+c就可以分

解成(4兀+9)(。2彳+。2)，其中4,q位于上一行，%,c?位于下一行.這種借助畫十字交叉

線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確

定一個二次三項式能否用十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添項法

例1(公式法)分解因式：(1)3a7—81/；(2)a'-ab6

例2(分組分解法)分解因式:(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd

(2)2x2+4xy+2y2-8z2

例3(十字相乘法)把下列各式因式分解：

⑴JC+5x—24(2)x2—2x—15

(3)x2+xy-6y2(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：⑴12/一5%一2;⑵5x2+6xy-8y2

例5（拆項法）分解因式/—+4

【鞏固練習】

把下列各式分解因式：

(1)ab(c2-d2)+cd(a2-b~)(2)x2-4mx+Smn-4/72

(3)X4+64(4)d-4孫2-2/y+8y

柘展練習：

1分解因式（1）m4-3w2-4(2)4/_3742b2+9/

(3)X-a1+2ab-b2(4)4x2+4xy+y2-10%―5y+6

(5)X3-3X+2

第三節不等式解法

1.一元二次不等式解的各種情形

ax2+bx+c>0或內？+/?x+c<0(a>Q)圖象解法：

判別式一元二次方程的二次函數圖象不等式的解

解

A=/?2—4acax2+hx+c=0y=ax1+bx+cax2+hx+c>0ax2+bx+c<0

A>0

修、乙是兩根且X<X]或X>工2X]<x<x2

陽<x2

A=0bxw—2兩條射

x,=x=-----無解0

22a2a

線

A<00

無解全體實數R

注：。<0的情形由學生行討論

例1：解下列不等式：(1)2X2-3X-2>0;(2)-3%2+6x>2;

(3)4%2-4X+1>0;(4)—+2,x—3>0;

練習：(1)3X2-7X+12<0;(2)—6廠—x+2<0;

(3)4X2+4X+1<0;(4)x2-3x+5>0;

2.分式不等式

Y—32x-\

例2:解不等式：（1）--<0(2)>0

x+7x+4

練習：解下列不等式：

(l)|3x+2|<W；⑵三f>。；...X-\[...1,

⑶一-<1；(4)--<1；

x+2%+2

30(7)2x+Vx>3;

⑸Q1；：,。；⑹爐一兇―6<。；

(8)2X4-3X2-5>0;(9)2X4-7%2+5<0

例3:(1)不等式這2+笈+2>0的解為一,<%<，，求/+/的值；

23

(2)函數y=62+41_+4(1)x+3的圖像在x軸上方，求&的值;

5)X2

(3)函數y=7(m2-l)x2+(/n+l)x+3的自變量x取值圍是全體實數R,求加的

圍；

⑷不等式（根—1）尤2+如+320恒成立，求〃?的圍；

3.解高次不等式：

例1解下列不等式Q)(x+2)(Y-X—12)>0;(2)(x-l)(x+5)(x-6)>0;

(3)(x-l)(x+5)2(x-6)3>0;

2

r-3r-102尤2一3X-5

例2:解下列不等式：(1)"；"”<0.(2)—；~~->1

X-131-13x+4

(3)(x+1)(/-2X-3)(X2-X+2)>0

4.解含參數的不等式:

22

(l)56x-ax-a<0;(2)/面+0?+儲>0；

2,21

(3)ax-(Q+l)x+1<0;(4)x-(tz+-)x+l<0;

a

拓展練習：

1.解下列不等式:

(1)2%2+%<0(2)%2-3X-18<0

(3)—%2+xN3x+1(4)x(x+9)>3(x-3)

2.解下列不等式：

Y4-]3x4-12

(1)—>0(2)^-<2(3)->-1(4)

x—12x—1x

2x?—X4-1

------------->0

2x+l

3.解下列不等式：

(1)x2—2x>2J24-2(2)—%2—x+—20

235

4.解關于1的不等式（加一2）x>l—加.

5.已知關于x的不等式蛆2_犬+機<0的解是一切實數,求”的取值圍.

v?ovq

6.若不等式號>1+營的解是x>3,求k的值.

kK

7.a取何值時，代數式（。+1）2+2（即2）-2的值不小于0?

8.已知函數y=x2-2ax+\（a為常數）在-2<%<1上的最小值為n,試將,用a表示出

來.

9.解關于〉的不等式*+2〉+1-于40（3為常數）.

10.不等式以2++c<0(〃w0)的解是x<2,或x>3求不等式bx2+ax+c>0的解.

第四節一元二次方程及韋達定理

一、知識點

1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程a*+bx+c=0(a/0),用配方法可以將其變形為

因為axO,所以，4接>0.于是

(1)當勿-4ac>0時，方程①的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根

-b±y/b2-4ac

Xi,2=------------------；

2a

(2)當〃-4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根

b

X1=X2=-----；

2a

b,

(3)當〃-4ac<0時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左邊(x+丁)一一定大于

2a

或等于零，因此，原方程沒有實數根.

由此可知，一元二次方程aK+bx+c=0(arO)的根的情況可以由*-4ac來判定，我們

把5-4ac叫做一元二次方程a/+6x+c=(X弗0的根的判別式，通常用符號來表示.

綜上所述，對于一元二次方程aA2+6x+c=0(a#0),有

(1)當△>0時，方程有兩個不相等的實數根

一?±“2-4ac

M,2=------------------；

2a

(2)當△=0時，方程有兩個相等的實數根

h

xi=x=--;

22a

(3)當A<0時，方程沒有實數根.

注：(1)使用判別式△時要保證二次項系數4Ho；

(2)一元二次方程有實數根=△20;

(3)二次三項式ax2+bx+c為完全平方式oA=0;

(4)二次三項式ax2+"+c恒正6">°財"="=°；

LA<0^-c>0

2.根與系數的關系(韋達定理)

若一元二次方程aK+bx+c=0(arO)有兩個實數根

一b+db1-4ac-b->Jb2-4ac

X=^7，X]~—，

2a2a

則有

-b+\lb2-4ac-b-ylb2-4ac-2bb

X,+=-------------------1---------------------------=--------=—i

2a2a2aa

_一人+\[b2-4ac-b-\jb2-4ac_b2-(b2-4ac)_4ac_c

122a2a4/4a2a

所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：

bc

如果a*+bx+c=0(awO)的兩根分別是Xi,x,那么xi+x=——,xx=一.這

22ar2a

一關系也被稱為韋達定理.

特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程/+N+夕=0,若M,總是其兩根，由韋達

定理可知

Xl+X2=-P,X1?X2=q,

即p=-（Ai+至），q-XYX2,

所以，方程〃+px+q=0可化為必-（的+就x+xrx2=0,由于Ai,X2是一元二次方程

*+px+g=0的兩根，所以，所，及也是一元二次方程乂-（用+及）x+XyX2=0.因此有

以兩介數X、,及為根的一元二次方程（二次項系數為1）是

-（X1+X2）x+X1*X2=0.

二、例題講解

例1判定下列關于X的方程的根的情況（其中a為常數）

(1)x2-%+1=0(2)-5x2-6x+2

(3)2x2-5x-3=O(4)4-2x+a-0.

練習：L當上為何值時，直線y=與拋物線y=--6x+5,

①有兩個交點；②有一個交點；③無交點；

2.若關于x的一元二次方程0c2-2x+l=0有兩個不相等實數根，求的圍；

3.m取何值時，多項式x2-(2m+2)x+m2+5是一個完全平方式；

2

例2.若方程2%+4x+1=0兩根分別為為與x2,求下列各式的值：

3

⑴石+x；;(2)---1---；(3)lx]—x2|；(4)%1+%2；

x}x2

例3.二次函數y=x2+(a-2)x-2a(a21)與x軸交于A、B兩點，求|的最小值；

練習：求二次函數y=x2+(a-2)x-2a與直線y=x+1截得弦長的最小值；

27

例4:已知：實數a、b、c滿足a+6+c=0,Mc=—，求c的圍；

4

例5:設m是不小于-1的實數，使得關于x的方程/+2(機-2)x+機？-3加+3=0有兩

個不相等的實根毛、與，

(1)若x；+x；=6，求”的值；⑵求旦+粵的最大值；

1一玉l-x2

,5

例6:關于的一元二次方程x2-ax+a+-=O,

4

(1)兩根同號，求。的圍；(2)兩根異號，求a的圍；

例7:是否存在常數k,使關于x的方程9--（4左-7）x-6&2=0的兩個實根和/滿

足土=』，如果存在，試求出所有滿足條件的左值，如果不存在，請說明理由。

x22

柘展練習：

?>11

1?若/X,是方程2》2—6x+3=o的兩個根，則—+一的值為()

X]x2

19

A.2B.-2C.-D.-

22

2.若才是一元二次方程數2+區+。=0的根，則判別式A=/_4ac和完全平方式

加=(2"+。)2的關系是()

A.A=MB.\>MC.\<MD.大小關系不能確定

3.若關于x的方程mW+(2/77+l)x+/n=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值圍是

()

A.m<—B.m>-—

44

D.m>-L且m/0

C.m<—,且

44

4.設玉,%是方程Y+px+q=0的兩實根，+1是關于x的方程V+/+〃=0的兩實

根，則〃=,q=.

5.已知實數a,dc滿足。=6-方儲=時-9,則a=,h=

6.已知關于x的方程f+3x-〃?=0的兩個實數根的平方和等于11,求證：關于x的方程

(k-3)x2+kiwc-m~+6m-4=0有實數根.

7.若外,々是關于x的方程￥-(2Z+l)x+^+i=o的兩個實數根，且與馬都大于1.

(1)數攵的取值圍；

⑵若;3,求女的值?

第五節一元二次方程實根分布問題

一元二次方程實根的分布情況有很多，常見的有6種，見下表。表中的圖像是

/(占)?/(&)<()或△=()

1m----e(勺,22)或

A>02a

,b,7(^)>0了g)=0

4<一五<”

充要條件?/伏2)<。V,bK+及,或

k.<----<」_N

M)>o,/(^3)>0「2“2

[/伏2)>°

7a2)=o

Vb,

———-<—

[2la-

例1:已知二次方程x2+(2m-3)無+4=0有且只有一根在(0,1)，且x=0,x=1都不

是方程的解數〃?的取值圍；

例2:已知方程2x2-2(2根-l)x+(m+2)=0兩根在(—1,1)之間，求m的取值圍；

例3:已知二次方程x2+2(m-1)x-(5m+2)=0的一根小于，另一根大于1,求〃?的

取值圍；

例4:已知：方程x2-(3m+2)x+2(m+l)=0的兩實根都大于1,求”的取值圍；

練習：

1.已知方程X2-2mx+(m-i)=0有且僅有一個根屬于(1,2),且x=1,x=2都不

是方程的解，求，"的圍；

2.已知：方程x2+(3m-2)x+2/M-2+0有一個大于一2的負根，一個小于2的正

根，求〃?的圍；

3.已知方程x2+(3m+4)x+3(m+1)=0兩個根都屬于(-2,2),求m的圍;

4.已知方程2，+（3加+1）%+（相+4）=0兩根都大于—1,求加的圍；

5.已知方程2/+(3m+l)x+(加+4)=0一根小于1,一根大于1,求m的圍；

第六節二次函數在閉區間上的最值

知識要點：

1?次函數在自變量X取任意實數時的最值情況(當a>0時，函數在x=-2處取得最小值

2a

4ac—-b4-ac—b~

——，無最大值；當。<0時，函數在》=-2處取得最大值*—，無最小值.

4a2a4a

2.介紹區間；

3.值域；

例1:在以下條件下，求函數/(%)=犬-2x-3的值域：

Q)xeR;(2)XG[-3,-2];(3)xe[2,3]；(4)xe[o,4]；⑸XW[0,M);

例2:求函數/(x)=/+2以在xe[-1,1]時的最大值和最小值；

例3:求函數y=/一?-5在［0,司上的最大值和最小值；

練習：

1.求函數y=2/-3x+5在［—2,2］上的最大值;

,13

2.求函數y=-4/-10在-53上的最小值；

3.函數y=2—J—+5x—2的最大值是_____________最小值是

4.求二次函數y=-4x+1在［0,1］上的最值；

5.求函數y=x2-2bx+3在區間［-1,1］上的最大值和最小值；

6.求函數y=Y-2x+3在區間［0,4上的最值；

22

7.求函數y=(2x-x)+3(21-%)-l的最大值或最小值;

8.求函數y=/+2/+6X2+5X-7的最小值；

9.求函數y=2x-J1Z的值域；

柘展練習：

1.拋物線y=f-（機-4）x+2根-3，當“=時，圖象的頂點在y軸上；當加=

時，圖象的頂點在X軸上；當，〃=時，圖象過原點.

2.用一長度為/米的鐵絲圍成一個矩形，則其所圍成的最大面積為一

3.設。＞0，當一IWXWI時，函數y=-V-ax+6+l的最小值是-4，最大值是0，求

的值.

4.已知函數曠=/+2辦+1在-1WXW2上的最大值為4,求a的值.

5.求函數y=3—，5x-3x2—2的最大值和最小值.

6.已知關于x的函數y=/+（2f+l）x+/一1,當/取何值時，y的最小值為0?

第七節集合

7.1集合的含義和表示

-?什么是集合

在數學語言里，把一些對象放在一起考慮時，就說這些事物組成了一個集合（set）,給這

些對象的總的名稱，就是這個集合的的名稱，就是這個集合的名字，這些對象中的每一個,

都叫作這個集合的一個元素（element）.

約定（1課合用大寫字母表示，元素用小寫字母表示。如:集合A,B,M,N,元素民…

（2）同一集合中的元素互不相同的也與順序無關

二.集合與元素的關系

只有屬于和不屬于兩種關系。

設S是集合，a是元素。若a是S的一個元素，則a屬于（belongto）S,記作aeS。

若。不是S的一個元素，則不a屬于S，記作a史S。

三.常見集合

1.全體整數組成的集合叫整數集（setofinteger），記作Z

2.全體有理數組成的集合叫有理數集（set。尸rationalnumber）記KQ

3.全體實數組成的集合叫實數集（set。，rea/number）,記作R

4.全體自然數數組成的集合叫自然數數集（set。尸natural,記作

N,OeN

用R+,R.分別表示正實數和負實數，類似地有Q,,Q.,N,,N_…

有時也可臨時取一個,如一副撲克牌有54,組成一個集合，這個集合不妨叫PK

12種生肖屬相，組成一個集合，這個集合不妨叫SX

四.集合的分類

1.有限集：元素個數有限。2無限集：元素個數無限多個。

2.全集（empty54）：沒有元素的集合,記作。，如一元二次方程/+%+1=0的

解組成的集合

五.集合的表示方法

1.列舉法：把集合中的元素一個一個地列舉出來，元素之間用逗號隔開，寫在大括號

表示集合的方法叫列舉法。如：小于10的正偶數組成的集合｛2,4,6,8｝或｛8,2,4,6｝

無窮集一般不能用列舉表示.特殊的可以如自然數集z={0,1,2,3,…}

2.描述法：把集合中元素共有的，也只有該集合才有的屬性描述出來，寫在大括號表

示集合的方法。

基本格式為{p|/(p)}P:代表元素；/(P)：公共屬性。或卜eA/(x)}

如(1)一元二次方程_2x-3=()的解組成的集合向/_2%_3=0}={-1,3}

(2)一元二次不等式X2-2%-3>0的解組成的集合向％2_2%_320}=[-1,3]

(3)一元二次函數y=/-2x-3的圖象上所有的點組成的集合

{(%，#=%2-2x-3)

運用舉例：

例1.用e或任填空

(1)0N;V3Z；-1N;V3+2Q;-Q;nR

--------------------3——

(2)A={'y=爐+1,%eN};B-{(x,y^y-x2-2x+?]

0_A;3_A;3.5_A10_A(1,2)A

(0,0)B;(1,1)_B;2_B

例2.用列舉法表示下列集合.

(1)不大于10的非負偶數集；

(2)自然數中不大于10的質數集；

(3)《f小,=山？Ml卜

ab

例3.用描述法表示下列集合

(1)使y=—―有意義的實數x的集合；

(2)坐標平面上第一，三象限上的點；

(3)函數y=a/+bx+c(a豐0)的圖象上所有的點的集合;

2

(4)方程x+(m+2)x+m+l=0(，〃GZ)的解集.

例4.用列舉法表示下列集合

(1)P=(2)\-^—eNxeN-

[1+xJ[1+x

例5.設5為滿足下列兩個條件的實數所構成的集合：①S不含1;②若aeS,則一匚eS

i-a

(1)若2€S很！IS中必有其他兩個數，求出這兩個數。

(2)求證：若aeS,則1—^eS;

a

(3)集合5中元素的個數能否只有一個？請說B月理由。

練習:1ahc為非零實數，則"=@+@+邑+田的所有值組成的集合為

abcabc

2.已知集合A=｛xjizx2-3X-4=O,XG7?｝

(1)若A中有兩個元素，數a的取值圍；

(2)若A中至多有一個元素，數a的取值圍；

3.是否存在實數q和d,使集合｛a,a+d,a+2d｝與｛。，的,。/｝的元素完全相同。

4.由正整數組成的集合A滿足：(1)若xeA,則6-xeA；(2)A中有三個元素.試用列舉

法表示集合A.

7.2集合與集合的關系

-.集合的子集和真子集

子集真子集相等

=

B^ABuA

符w

號

文如果集合B的每個元素都是集如果B是A的子集，若集合A是集合B的子集，

字合A的元素，就說B包含于但A不是B的子集，且B也是A的子集則稱A

語A,或者說A包含B,記作就說B是A的真子集，與B相等

言87A（或A衛8,符號1讀作記作BuA

"包含于"，符號?讀作"包

含,，

符若由xeA，貝（J若AqB且AwB,

BeA

號則8uA

工

語

言

圖