第09講6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例課程標準學習目標①.能用向量方法解決簡單的幾何問題。②.能用向量方法解決簡單的幾何應用類問題和其他實際問題。③體會向量在解決幾何在生活中的實際問題中的作用，培養學生的運算、分析和解決實際問題的能力。1.在系統學習向量知識的基礎上，能用向量方法解決簡單的幾何問題；2.提升學生實際問題中的知識抽象，能用向量方法解決簡單的幾何應用類問題和其他實際問題；3.體會向量在解決幾何問題在生活中的實際問題中的作用，培養學生的運算、分析和解決實際問題的能力，提升數學核心素養.；知識點01：平面幾何中的向量方法（1）向量在平面幾何中的應用①平面兩個向量的數量積：；②向量平行的判定:；③向量平行與垂直的判定:；④平面內兩點間的距離公式：（其中，）⑤求模：；；⑥對于題目中遇到的有些平面圖形(如長方形、正方形、直角三角形等)的計算求解問題,可通過建立平面直角坐標系,用坐標把向量表示出來,通過代數運算來解決(“形”轉“數”).（2）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系.【即學即練1】（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實驗高中?？计谥校┮阎娜齻€頂點分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B知識點02：向量在物理中的應用舉例向量的定義有著豐富的物理背景,物理學中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的數量積的物理背景,因此,向量可以解決一些物理問題歸納.（1）力學問題的向量處理方法①解決此類問題必須用向量知識將力學問題轉化為數學問題,即將力學各量之間的關系抽象成數學模型,再利用建立的數學模型解析或回答相關物理現象；②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向線段可以有共同的起點,也可以沒有共同的起點.力是既有大小,又有方向的量.用向量知識解決共點力的問題,往往需要把向量平移到同一作用點上.（2）速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解,實質就是向量的加減運算,而運動的疊加也用到了向量的合成.①向量在速度、加速度上的應用,實質是通過向量的線性運算解決物理問題,最后獲得物理結果.②用向量解決速度、加速度和位移等問題,用的知識主要是向量的加法、減法以及數乘,有時也可借助坐標來求解.（3）功、動量問題的向量處理方法物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質是力與位移的數量積,即(為與的夾角).功是一個標量,它可正,也可負.動量實際上是數乘向量.在解決問題時要注意數形結合（4）利用向量法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學中的相關問題，一般來說分為四個步驟：①問題轉化，即把物理問題轉化為數學問題.②建立模型，即建立以向量為載體的數學模型.③求解參數，即求向量的模、夾角、數量積等.④回答問題，即把所得的數學結論回歸到物理問題.【即學即練2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數據，）．【答案】答案見解析【詳解】物體受三個力，重力，斜面對物體的支持力，摩擦力，且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角，則重力對物體做的功，支持力與位移方向垂直，做功為，摩擦力與位移方向相反，對物體做功．

題型01利用向量解決平面幾何中的平行（共線）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在四邊形中，若，且，則四邊形是（

）A．矩形 B．等腰梯形C．正方形 D．菱形【答案】D【詳解】因為，可得，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，又由，可得四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形為菱形.故選：D.【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點.求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

【答案】證明見解析【詳解】因為點E，F，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點，所以所以，又因為與不共線，所以，且，所以四邊形EFGH為平行四邊形.【變式1】（2023上·山東泰安·高二?？奸_學考試）在四邊形中，，則四邊形的形狀是.【答案】矩形【詳解】由可知,進而，由可得且，所以四邊形為矩形，故答案為：矩形題型02利用向量解決垂直問題【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點M為邊BC的中點，求證：．【答案】證明過程見解析【詳解】由題意得，，

故，因為，所以，故.【典例2】（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學?？茧A段練習）如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．

(1)求的余弦值．(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在．【詳解】（1）如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系．則．由于就是的夾角．

的余弦值為．（2）設．．由題得．①當點在上時，設，；②當點在上時，設，，舍去．綜上，存在．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，AC為的一條直徑，為圓周角.求證：.

【答案】證明見解析【詳解】證明：如圖，

設，，則，，，，∴，∴，∴.【變式2】（2023下·陜西西安·高一統考期末）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.

(1)請用、表示向量；(2)設和的夾角為，若，且，求證：.【答案】(1).(2)證明見解析.【詳解】（1）.（2），，.題型03利用向量求線段長度【典例1】（2023下·湖南永州·高一統考期末）一個人騎自行車由A地出發向東騎行了到達B地，由B地向南東方向騎行了到達C地，從C地向北偏東騎行了到達D地，則A，D兩地的距離是．【答案】【詳解】以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖，

則，，即，，即，所以，故.所以A，D兩地距離為.故答案為：.【典例2】（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習）如圖，在中，.(1)求的長；(2)求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）；，，故，.（2），.【變式1】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第四中學?？茧A段練習）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長為.【答案】【詳解】設D為的中點，則，所以，所以，所以.故答案為：【變式2】（2023下·江西上饒·高一校聯考階段練習）在菱形ABCD中，O為菱形ABCD內一點.(1)用，，，表示；(2)若，，求，.【答案】(1)(2)；【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，則，所以.（2）因為，，所以，則，.題型04向量在物理中的應用【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【答案】B【詳解】

如圖，，，，，.在中，有，所以，的大小為5N.故選：B.【典例2】（2022上·江西·高二南昌縣蓮塘第一中學校考期中）在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細繩均勻地固定在橫梁上．在其中一個秤盤中放入重量為的物品，在另一個秤盤中放入重量的砝碼，天平平衡．根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力分別為，，，若3根細繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤和細繩本身的質量，則的大小為．【答案】【詳解】依題意，且，所以，即，解得．故答案為：．【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數據，）．【答案】答案見解析【詳解】物體受三個力，重力，斜面對物體的支持力，摩擦力，且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角，則重力對物體做的功，支持力與位移方向垂直，做功為，摩擦力與位移方向相反，對物體做功．

【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習）飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行km到達C地，再從C地向南偏東60°飛行km到達D地，求飛機從D地飛回A地的位移．【答案】大小為，方向為南偏西【詳解】

如圖，飛機從運動到的過程，由已知可得，，，且，所以，，.過點作，因為，所以，，所以，.由勾股定理可得，，，所以.所以，飛機從D地飛回A地的位移大小為，方向為南偏西.【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大?。?/p>

【答案】【詳解】

設細繩作用力為，則，如圖，對力進行分解，可得.根據力的平衡可知，物重G的大小為.【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，一艘船從長江南岸點A出發，以km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【答案】(1)答案見解析(2)船實際航行速度的大小為，方向與江水速度間的夾角為【詳解】（1）如圖所示，表示船速，表示水速，以為鄰邊作平行四邊形，則表示該船實際航行的速度；

（2）由題意，在中，，則，，所以，所以船實際航行速度的大小為，方向與江水速度間的夾角為.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023·高一課時練習）在四邊形中，若，則四邊形為（

）A．平行四邊形 B．梯形 C．菱形 D．矩形【答案】B【詳解】四邊形ABCD中，若，則，且，所以四邊形是梯形.故選：B2．（2023下·貴州貴陽·高一?？茧A段練習）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【詳解】依題意，如圖，連接AC，由，得．因為C為半圓上的點，所以，所以．故選：A．3．（2022上·湖南岳陽·高二校聯考期中）中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，而，又由已知可得，所以.故選：D4．（2020下·高一課時練習）已知三個力，，同時作用于某物體上一點，為使該物體保持平衡，需再加上一個力，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由物理知識，知物體平衡，則所受合力為，所以，故.故選：D5．（2022上·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學?？计谥校┰O向量與的夾角為θ，定義，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，得，，，.故選：B6．（2023下·云南曲靖·高三校聯考階段練習）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運動的節目深受觀眾們的喜愛，當小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態時，每只胳膊的拉力大小為，此時兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數據：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【詳解】設兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．小猴子的體重約為．故選：C．7．（2022下·山東臨沂·高一校考階段練習）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學生的體重（單位：）約為（參考數據：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【詳解】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學生體重為（kg）.故選：D．8．（2020上·安徽黃山·高一統考期末）某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸，假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和的夾角為，北岸的點B在A的正北方向，游船正好到達B處時，（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設船的實際速度為，則，北岸的點在的正北方向，游船正好到達處，則，所以，即，解得，故選：D．

二、多選題9．（2023下·廣東江門·高一統考期末）下列說法正確的是（

）A．中，D為BC的中點，則B．向量，可以作為平面向量的一組基底C．若非零向量與滿足，則為等腰三角形D．已知點，，點P是線段AB的三等分點，則點P的坐標可以為【答案】AC【詳解】對于A，在中，因為D為BC的中點，所以，所以，故選項A正確；對于B，因為向量，，所以，可知與共線，不能作為平面向量的一組基底，故選項B錯誤；對于C，因為和分別表示與向量和同向的單位向量，所以以和為鄰邊的平行四邊形是菱形，根據平行四邊形法則可知在的平分線上，又因為，所以的平分線垂直于，所以，即為等腰三角形，故選項C正確；對于D，若點P是線段AB的三等分點，則或，因為，，所以，所以或，即點P的坐標可以為或，故選項D錯誤.故選：AC.10．（2022·高一課時練習）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結論中正確的是（

）A．越大越費力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當時， D．當時，【答案】AD【詳解】對于A，根據題意，得，所以，解得，因為時，單調遞減，所以越大越費力，越小越省力，故A正確；對于B，由題意知的取值范圍是，故B錯誤；對于C，因為，所以當時，，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以當時，，所以，故D正確.故選：AD.三、填空題11．（2022下·上海虹口·高一華東師范大學第一附屬中學?？计谀└咭粚W生將質量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力與大小的比值為.【答案】【詳解】設N，N，則，可得.故答案為：12．（2022上·河南·高三校聯考階段練習）在中，，，，則的周長為.【答案】6【詳解】設，則有均為單位向量，且與同向，與同向，所以與的角平分線共線，又因為，所以的角平分線與垂直，即的角平分線與高線合一,所以為等腰三角形，且,又由，得，所以是等邊三角形，則的周長為.故答案為:6.四、解答題13．（2023·全國·高一課堂例題）如圖所示，把一個物體放在傾角為的斜面上，物體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知N，求，的大?。?/p>

【答案】50，．【詳解】以平行于斜坡方向為x軸，垂直于斜坡方向為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，．

又由已知可得，且，所以，從而可知50，．14．（2021下·福建·高一校聯考期中）如圖，設Ox、Oy是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系xOy中的坐標，設.(1)計算的大??；(2)甲在Ox上距O點3千米的點A處，乙在Oy上距O點1千米的點B處，現在甲沿的方向，乙沿的方向同時以4千米/小時的速度行走；①若過半小時后甲到達C點，乙到達D點，請用與來表示；②若t時刻，甲到達G點，乙到達H點，求的最小值.【答案】(1)(2)①；②2【詳解】（1）因為，所以.（2）①因為，所以，所以；②兩人在t時刻相距，所以當時，即小時后，他們兩人相距最短．B能力提升1．（2023上·四川·高三校聯考階段練習）如圖，在中，D為的中點，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，又，且，所以．設與的夾角為，則．因為，所以．故選：C．2．（2017·陜西寶雞·高三統考階段練習）在等腰直