河南省駐馬店市上蔡縣2025屆數學九上期末統考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知是關于的一個完全平方式，則的值是（）．A．6 B． C．12 D．2．如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，高線AH長8cm，底邊BC長10cm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形DEFG的一邊EF在BC上，其余兩個頂點D，G分別在AB，AC上，則四邊形DEFG的最大面積為()A．40cm2 B．20cm2C．25cm2 D．10cm23．剪紙是中國特有的民間藝術.以下四個剪紙圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根 D．只有一個實數根5．10件產品中有2件次品，從中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）A． B． C． D．6．把拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，即得到拋物線（）A．y=-(x+2)2+3 B．y=-(x-2)2+3 C．y=-(x+2)2-3 D．y=-(x-2)2-37．若拋物線的對稱軸是直線，則方程的解是（）A．， B．， C．， D．，8．如圖所示，在直角坐標系中，A點坐標為（-3，-2），⊙A的半徑為1，P為x軸上一動點，PQ切⊙A于點Q，則當PQ最小時，P點的坐標為（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）9．一元二次方程x2－8x－1=0配方后為()A．(x－4)2=17 B．(x＋4)2=15C．(x＋4)2=17 D．(x－4)2=17或(x＋4)2=1710．在一幅長60cm、寬40cm的長方形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅長方形掛圖，如圖.如果要使整個掛圖的面積是2816cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()A．(60＋2x)(40＋2x)＝2816B．(60＋x)(40＋x)＝2816C．(60＋2x)(40＋x)＝2816D．(60＋x)(40＋2x)＝2816二、填空題(每小題3分,共24分)11．關于的方程=0的兩根分別是和，且=__________．12．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉的到△ADE，點C和點E是對應點，若∠CAE=90°，AB=1，則BD=_________．13．若二次函數y＝mx2+2x+1的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是_____．14．如圖所示的拋物線形拱橋中，當拱頂離水面2m時，水面寬4m．如果以拱頂為原點建立直角坐標系，且橫軸平行于水面，那么拱橋線的解析式為_____．15．方程x（x﹣5）＝0的根是_____．16．如圖，在中，，，，則的長為_____．17．在平面直角坐標系中，與位似，位似中心為原點，點與點是對應頂點，且點A，點的坐標分別是，，那么與的相似比為__________．18．從1，2，﹣3三個數中，隨機抽取兩個數相乘，積是偶數的概率是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）銳角中，，為邊上的高線，，兩動點分別在邊上滑動，且，以為邊向下作正方形（如圖1），設其邊長為．（1）當恰好落在邊上（如圖2）時，求；（2）正方形與公共部分的面積為時，求的值．20．（6分）已知：如圖，AE∥CF，AB=CD，點B、E、F、D在同一直線上，∠A=∠C．求證：（1）AB∥CD；（2）BF=DE．21．（6分）如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．（1）求證：BE＝CE；（2）若BC＝8，AD＝10，求四邊形BFCD的面積．22．（8分）在平面直角坐標系中，已知，.（1）如圖1，求的值.（2）把繞著點順時針旋轉，點、旋轉后對應的點分別為、.①當恰好落在的延長線上時，如圖2，求出點、的坐標.②若點是的中點，點是線段上的動點，如圖3，在旋轉過程中，請直接寫出線段長的取值范圍.23．（8分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，且當x＝﹣1和x＝3時，y值相等．直線y＝與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．(1)求這條拋物線的表達式．(2)動點P從原點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設運動時間為t秒．①求t的取值范圍．②若使△BPQ為直角三角形，請求出符合條件的t值；③t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？直接寫出答案．24．（8分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常數），（Ⅰ）若該拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），求a的值及該拋物線與x軸另一交點坐標；（Ⅱ）不論a取何實數，該拋物線都經過定點H．①求點H的坐標；②證明點H是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點．25．（10分）解方程：（1）(x+1)2﹣9＝0（2）x2﹣4x﹣45＝026．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，將一個圖形繞原點順時針方向旋轉稱為一次“直角旋轉，已知的三個頂點的坐標分別為，，，完成下列任務：（1）畫出經過一次直角旋轉后得到的；（2）若點是內部的任意一點，將連續做次“直角旋轉”（為正整數），點的對應點的坐標為，則的最小值為；此時，與的位置關系為．(3)求出點旋轉到點所經過的路徑長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】這里首末兩項是x和3這兩個數的平方，那么中間一項為加上或減去x和3積的2倍，故m=±1．【詳解】∵（x±3）2=x2±1x+32，∴是關于的一個完全平方式，則m=±1．故選：B．【點睛】本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．2、B【解析】設矩形DEFG的寬DE=x，根據相似三角形對應高的比等于相似比列式求出DG，再根據矩形的面積列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答即可．【詳解】如圖所示：設矩形DEFG的寬DE=x，則AM=AH-HM=8-x，

∵矩形的對邊DG∥EF，

∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得DG=（8-x），

四邊形DEFG的面積=（8-x）x=-（x1-8x+16）+10=-（x-4）1+10，

所以，當x=4，即DE=4時，四邊形DEFG最大面積為10cm1．

故選B．【點睛】考查了相似三角形的應用，二次函數的最值問題，根據相似三角形的對應高的比等于相似比用矩形DEFG的寬表示出長是解題的關鍵．3、B【解析】根據軸對稱圖形的定義以及中心對稱圖形的定義分別判斷即可得出答案．【詳解】解：A、此圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、此圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、此圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤.故選：B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義，熟練掌握其定義是解決問題的關鍵．4、B【分析】直接利用判別式△判斷即可．【詳解】∵△=∴一元二次方程有兩個不等的實根故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況，注意在求解判別式△時，正負號不要弄錯了．5、D【分析】由于10件產品中有2件次品，所以從10件產品中任意抽取1件，抽中次品的概率是．【詳解】解：．故選：D．【點睛】本題考查的知識點是用概率公式求事件的概率，根據題目找出全部情況的總數以及符合條件的情況數目是解此題的關鍵．6、D【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行解答即可.【詳解】拋物線向右平移個單位，得：，再向下平移個單位，得：.故選：.【點睛】本題主要考查的是函數圖象的平移，用平移規律“左加右減，上加下減”直接代入函數解析式求得平移后的函數解析式.7、C【分析】利用對稱軸公式求出b的值，然后解方程.【詳解】解：由題意：解得：b=-4∴解得：，故選：C【點睛】本題考查拋物線對稱軸公式及解一元二次方程，熟記公式正確計算是本題的解題關鍵.8、A【解析】此題根據切線的性質以及勾股定理，把要求PQ的最小值轉化為求AP的最小值，再根據垂線段最短的性質進行分析求解．【詳解】連接AQ，AP．根據切線的性質定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，則根據垂線段最短，則作AP⊥x軸于P，即為所求作的點P；此時P點的坐標是（-3，0）．故選A．【點睛】此題應先將問題進行轉化，再根據垂線段最短的性質進行分析．9、A【解析】x2－8x－1=0，移項，得x2－8x=1，配方，得x2－8x+42=1+42，即（x－4）2=17.故選A.點睛：配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.10、A【解析】根據題意可知，掛畫的長和寬分別為（60+2x）cm和(40＋2x)cm，據此可列出方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816【詳解】若設金色紙邊的寬為xcm，則掛畫的長和寬分別為（60+2x）cm和(40＋2x)cm，可列方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816故答案為A.【點睛】本題考查一元二次方程的應用，找出題中的等量關系是解題關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、2【分析】根據一元二次方程根與系數的關系即可解答.【詳解】∵方程=0的兩根分別是和，∴，，∴=，故答案為：2.【點睛】此題考查根與系數的關系，熟記兩個關系式并運用解題是關鍵.12、．【解析】∵將△ABC繞點A逆時針旋轉的到△ADE，點C和點E是對應點，∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===.故答案為:.13、m≤1且m≠1．【分析】由拋物線與x軸有公共點可知△≥1，再由二次項系數不等于1，建立不等式即可求出m的取值范圍.【詳解】解：y＝mx2+2x+1是二次函數，∴m≠1，由題意可知：△≥1，∴4﹣4m≥1，∴m≤1∴m≤1且m≠1故答案為m≤1且m≠1．【點睛】本題考查二次函數圖像與x軸的交點問題，熟練掌握交點個數與△的關系是解題的關鍵.14、y＝x1【解析】根據題意以拱頂為原點建立直角坐標系，即可求出解析式．【詳解】如圖：以拱頂為原點建立直角坐標系，由題意得A（1，?1），C（0，?1），設拋物線的解析式為：y＝ax1把A（1，?1）代入，得4a＝?1，解得a＝?，所以拋物線解析式為y＝?x1．故答案為：y＝?x1．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是根據題意建立平面直角坐標系．15、x1＝0，x2＝1【分析】根據x（x-1）=0，推出x=0，x-1=0，求出方程的解即可．【詳解】解：x（x﹣1）＝0，∴x＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1，故答案為x1＝0，x2＝1．【點睛】本題考查了解一元一次方程和解一元二次方程，關鍵是能把解一元二次方程轉化成解一元一次方程．16、【解析】過A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數定義求出AD的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數定義求出CD的長，再利用勾股定理求出AC的長即可．【詳解】解：過作，在中，，，∴，在中，，∴，即，根據勾股定理得：，故答案為【點睛】此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數定義，以及勾股定理，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．17、2【分析】分別求出OA和OA1的長度即可得出答案.【詳解】根據題意可得，，，所以相似比=，故答案為2.【點睛】本題考查的是位似，屬于基礎圖形，位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.18、【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與隨機抽取兩個數相乘，積是偶數的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，隨機抽取兩個數相乘，積是偶數的有4種情況，∴隨機抽取兩個數相乘，積是偶數的概率是；故答案為：．【點睛】此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數與總情況數之比．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）或1．【解析】（1）根據已知條件，求出AD的值，再由△AMN∽△ABC，確定比例關系求出x的值即可；（2）當正方形與公共部分的面積為時，可分兩種情況，一是當在△ABC的內部，二是當在△ABC的外部，當當在△ABC的外部時，根據相似，表達出重疊部分面積，再列出方程，解出x的值即可．【詳解】解：（1）∵，為邊上的高線，，∴∴AD=1，設AD交MN于點H，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得，∴當恰好落在邊上時，（2）①當在△ABC的內部時，正方形與公共部分的面積即為正方形的面積，∴，解得②當在△ABC的外部時，如下圖所示，PM交BC于點E，QN交BC于點F，AD交MN于點H，設HD=a，則AH=1-a，由得，解得∴矩形MEFN的面積為即解得（舍去），綜上：正方形與公共部分的面積為時，或1．【點睛】本題主要考查了相似三角形的對應高的比等于對應邊的比的性質，正方形的四邊相等的性質以及方程思想，列出比例式是解題的關鍵．20、（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）由△ABE≌△CDF可得∠B=∠D，就可得到AB∥CD；（2）要證BF=DE，只需證到△ABE≌△CDF即可．【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠D．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴∠B=∠D，∴AB∥CD；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF．∴BE+EF=DF+EF，∴BF=DE．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質，解題關鍵在于掌握判定定理.21、（1）見解析；（2）四邊形BFCD的面積為1．【分析】（1）由AB＝AC可得，然后根據垂徑定理的推論即可證得結論；（2）先根據ASA證得△BED≌△CEF，從而可得CF＝BD，于是可推得四邊形BFCD是平行四邊形，進一步即得四邊形BFCD是菱形；易證△AEC∽△CED，設DE＝x，根據相似三角形的性質可得關于x的方程，解方程即可求出x的值，再根據菱形面積公式計算即可.【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴，∵AE過圓心O，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BED=∠CEF=90°，∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE，∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵AD⊥BC，∴平行四邊形BFCD是菱形；∴BD=CD，∴，∴∠CAE＝∠ECD，∵∠AEC＝∠CED=90°，∴△AEC∽△CED，∴，∴CE2＝DE?AE，設DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴CE=4，AE=10－x，∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去），∴DF＝2DE＝4，∴四邊形BFCD的面積＝×4×8＝1．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理的推論、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及一元二次方程的解法等知識，綜合性強，具有一定的難度，熟練掌握上述基礎知識是解題的關鍵.22、（1）;（2）①，②;（3）【解析】（1）作AH⊥OB，根據正弦的定義即可求解；（2）作MC⊥OB，先求出直線AB解析式，根據等腰三角形的性質及三角函數的定義求出M點坐標，根據MN∥OB，求出N點坐標；（3）由于點C是定點，點P隨△ABO旋轉時的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓，故根據點和圓的位置關系可知，當點P在線段OB上時，CP=BP-BC最短；當點P在線段OB延長線上時，CP=BP+BC最長．又因為BP的長因點D運動而改變，可先求BP長度的范圍．由垂線段最短可知，當BP垂直MN時，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以點P與M重合時，BP=BM最長，代入CP=BP+BC求CP的最大值．【詳解】（1）作AH⊥OB，∵，.∴H（3,5）∴AH=3,AH=∴==（2）由（1）得A（3,4），又求得直線AB的解析式為：y=∵旋轉，∴MB=OB=6,作MC⊥OB，∵AO=BO，∴∠AOB=∠ABO∴MC=MBsin∠ABO=6×=即M點的縱坐標為，代入直線AB得x=∴，∵∠NMB=∠AOB=∠ABO∴MN∥OB，又MN=AB=5，則+5=∴（3）連接BP∵點D為線段OA上的動點，OA的對應邊為MN∴點P為線段MN上的動點∴點P的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓∵C在OB上,且CB=OB=3∴當點P在線段OB上時,CP=BP?BC最短;當點P在線段OB延長線上時,CP=BP+BC最長如圖3，當BP⊥MN時，BP最短∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5∴MN?BP=OB?yA∴BP===∴CP最小值=?3=當點P與M重合時，BP最大，BP=BM=OB=6∴CP最大值=6+3=9∴線段CP長的取值范圍為.【點睛】此題主要考查一次函數與幾何綜合，解題的關鍵是熟知待定系數法的運用、旋轉的性質、三角函數的應用.23、（1）；（2）①，②t的值為或，③當t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．【分析】（1）求出對稱軸，再求出y=與拋物線的兩個交點坐標，將其代入拋物線的頂點式即可；（2）①先求出A、B、C的坐標，寫出OB、OC的長度，再求出BC的長度，由運動速度即可求出t的取值范圍；②當△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況，分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；③如圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，證△BHQ∽△BOC，求出HQ的長，由公式S四邊形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積，通過二次函數的圖象及性質可寫出結論．【詳解】解：（1）∵在拋物線中，當x＝﹣1和x＝3時，y值相等，∴對稱軸為x＝1，∵y＝與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M，∴頂點M（1，），另一交點為（6，6），∴可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2，將點（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，得6＝a（6﹣1）2，∴a＝，∴拋物線的解析式為（2）①在中，當y＝0時，x1＝﹣2，x2＝4；當x＝0時，y＝﹣3，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝5，∴，∵＜4，∴②當△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°兩種情況，當∠BPQ＝90°時，∠BPQ＝∠BOC＝90°，∴PQ∥OC，∴△BPQ∽△BOC，∴，即，∴t＝；當∠PQB＝90°時，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，∴△BPQ∽△BCO，∴，即，∴t＝，綜上所述，t的值為或；③如右圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，則∠BHQ＝∠BOC＝90°，∴HQ∥OC，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ＝，∴S四邊形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ＝×6×3﹣（4﹣t）×t＝（t﹣2）2+，∵＞0，∴當t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，相似三角形的判定及性質，二次函數的圖象及性質等，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵．24、（Ⅰ）a＝﹣，拋物線與x軸另一交點坐標是（0，0）；（Ⅱ）①點H的坐標為（2，6）；②證明見解