特訓04一元一次不等式（組）壓軸題一、解答題1．若三個代數式滿足：只要其中有兩個代數式之和大于另外一個代數式的解集為大于1的實數，則稱這三個代數式構成“雅禮不等式”．例如：三個代數式有：當時的解集為，則稱構成“雅禮不等式”．(1)可以構成“雅禮不等式”嗎？請說明理由；(2)若構成“雅禮不等式”，求a的值或取值范圍；(3)若構成“雅禮不等式”，求關于x的不等式組的解集．2．若不等式（組）只有個正整數解（為自然數），則稱這個不等式（組）為階不等式（組）．我們規定：當時，這個不等式（組）為0階不等式（組）．例如：不等式只有4個正整數解，因此稱其為4階不等式．不等式組只有3個正整數解，因此稱其為3階不等式組．請根據定義完成下列問題：(1)是階不等式；是階不等式組；(2)若關于的不等式組是4階不等式組，求的取值范圍；(3)關于的不等式組的正整數解有，，，，…，其中…．如果是階不等式組，且關于的方程的解是的正整數解，直接寫出的值以及的取值范圍．3．對于任意一個四位數N，如果N滿足各個數位上的數字互不相同，且個位數字不為0，N的百位數字與十位數字之差是千位數字與個位數字之差的2倍，則稱這個四位數N為“雙減數”，對于一個“雙減數”，將它的千位和百位構成的兩位數為，個位和十位構成的兩位數為，規定：．例如：N=7028，因為，所以7028是一個“雙減數”，則(1)判斷3401，5713是否是“雙減數”，并說明理由；如果是，求出的值；(2)若“雙減數”M的各個數位上的數字之和能被11整除，且是3的倍數，求M的值．4．新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相依方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發現在的范圍內，所以方程是不等式組的“相依方程”．(1)在方程①；②；③中，不等式組的“相依方程”是________；（填序號）(2)若關于x的方程是不等式組的“相依方程”，求k的取值范圍；(3)若關于x的方程是關于x的不等式組的“相依方程”，且此時不等式組有5個整數解，試求m的取值范圍．5．【提出問題】已知，且，，試確定的取值范圍．【分析問題】先根據已知條件用去表示，然后根據題中已知的取值范圍，構建的不等式，從而確定的取值范圍，同理再確定的取值范圍，最后利用不等式的性質即可解決問題．【解決問題】解：，．，，．，，同理，得．由，得，的取值范圍是．【嘗試應用】（1）已知，且，，求的取值范圍；（2）已知，，若成立，求的取值范圍結果用含的式子表示．6．新定義：對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為，即：當為非負整數時，如果，則；反之，當為非負整數時，如果，則．例如：試解決下列問題：(1)填空：①_________（為圓周率）；②如果，則實數x的取值范圍為_________；(2)若關于的不等式組的整數解恰有3個，求a的取值范圍；(3)求滿足的所有非負實數x的值．7．如圖，點A和點B在數軸上分別對應數a和b，其中a和b滿足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原點記作O．（1）求a和b；（2）數軸有一對動點A1和B1分別從點A和B出發沿數軸正方向運動，速度分別為1個單位長度/秒和2個單位長度/秒．①經過多少秒后滿足AB1＝3A1B？②另有一動點O1從原點O以某一速度出發沿數軸正方向運動，始終保持在與之間，且滿足，運動過程中對于確定的m值有且只有一個時刻t滿足等式：AO1+BO1＝m，請直接寫出符合條件m的取值范圍．8．閱讀理解：定義：，，為數軸上三點，若點到點的距離是它到點的時距離的（為大于1的常數）倍，則稱點是的倍點，且當是的倍點或的倍點時，我們也稱是和兩點的倍點．例如，在圖1中，點是的2倍點，但點不是的2倍點．（1）特值嘗試．①若，圖1中，點______是的2倍點．（填或）②若，如圖2，，為數軸上兩個點，點表示的數是，點表示的數是4，數______表示的點是的3倍點．（2）周密思考：圖2中，一動點從出發，以每秒2個單位的速度沿數軸向左運動秒，若恰好是和兩點的倍點，求所有符合條件的的值．（用含的式子表示）（3）拓展應用數軸上兩點間的距離不超過30個單位長度時，稱這兩點處于“可視距離”．若（2）中滿足條件的和兩點的所有倍點均處于點的“可視距離”內，請直接寫出的取值范圍．（不必寫出解答過程）9．閱讀材料：如果x是一個有理數，我們把不超過x的最大整數記作．例如，，，，那么，，其中．例如，，，．請你解決下列問題：（1）__________，__________；（2）如果，那么x的取值范圍是__________；（3）如果，那么x的值是__________；（4）如果，其中，且，求x的值．10．若關于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足﹣1≤x﹣y≤1，則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因為﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0與方程y﹣1＝0是“友好方程”．（1）請通過計算判斷方程2x﹣9＝5x﹣2與方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若關于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0與關于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，請你求出k的最大值和最小值．11．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關聯方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因為，所以稱方程為不等式組的關聯方程．（1）在方程①；②；③中，不等式組的關聯方程是___________．（填序號）（2）若不等式組的一個關聯方程的解是整數，則這個關聯方程可以是___________．（寫出一個即可）（3）若方程都是關于的不等式組的關聯方程，求的取值范圍．12．閱讀理解：例1．解方程|x|＝2，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為±2，所以方程|x|＝2的解為x＝±2．例2．解不等式|x﹣1|＞2，在數軸上找出|x﹣1|＝2的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解為x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集為x＜﹣1或x＞3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x﹣2|＝3的解為；（2）解不等式：|x﹣2|≤1．（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．（4）對于任意數x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范圍．13．對于三個數，，，表示，，這三個數的平均數，表示，，這三個數中最小的數，如：，；，．解決下列問題：（1）填空：______；（2）若，求的取值范圍；（3）①若，那么______；②根據①，你發現結論“若，那么______”（填，，大小關系）；③運用②解決問題：若，求的值．14．我們把關于x的一個一元一次方程和一個一元一次不等式組合成一種特殊組合，且當一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“有緣組合”；當一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“無緣組合”．（1）請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由；①；②．（2）若關于x的組合是“有緣組合”，求a的取值范圍；（3）若關于x的組合是“無緣組合”；求a的取值范圍．15．若一個不等式（組）A有解且解集為，則稱為A的解集中點，若A的解集中點是不等式（組）B的解，則稱不等式（組）B對于不等式（組）A中點包含．（1）已知關于x的不等式組A：，以及不等式B：，那么不等式B對于不等式組A________（填“是”或“否”）中點包含；（2）已知關于x的不等式組Q：，以及不等式P：，若P對于不等式組Q中點包含，則a的取值范圍是______．（3）關于x的不等式組S：，以及不等式組T：，若不等式組T對于不等式組S中點包含，求m需要滿足何種條件？16．對x，y定義一種新運算T，規定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）=a?0+2b?1﹣1=2b﹣1．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．①求a，b的值；②若關于m的不等式組恰好有2個整數解，求實數p的取值范圍；（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應滿足怎樣的關系式？17．若任意一個代數式，在給定的范圍內求得的最大值和最小值恰好也在該范圍內，則稱這個代數式是這個范圍的“湘一代數式”．例如：關于x的代數式，當1x1時，代數式在x1時有最大值，最大值為1；在x0時有最小值，最小值為0，此時最值1，0均在1x1這個范圍內，則稱代數式是1x1的“湘一代數式”．（1）若關于的代數式，當時，取得的最大值為，最小值為，所以代數式（填“是”或“不是”）的“湘一代數式”．（2）若關于的代數式是的“湘一代數式”，求a的最大值與最小值．（3）若關于的代數式是的“湘一代數式”，求m的取值范圍．18．我們定義，關于同一個未知數的不等式和，若的解都是的解，則稱與存在“雅含”關系，且不等式稱為不等式的“子式”．如，，滿足的解都是的解，所以與存在“雅含”關系，是的“子式”．（1）若關于的不等式，，請問與是否存在“雅含”關系，若存在，請說明誰是誰的“子式”；（2）已知關于的不等式，，若與存在“雅含”關系，且是的“子式”，求的取值范圍；（3）已知，，，，且為整數，關于的不等式，，請分析是否存在，使得與存在“雅含”關系，且是的“子式”，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．19．對非負實數x“四舍五入”到個位的值記作<x>，即：當n為非負整數時，若n－≤x＜n＋，則<x>=n．如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，….（1）填空：①<π>=_____；②如果<2x－1>=3，則實數x的取值范圍為_______；（2）舉例說明<x＋y>＝<x>＋<y>不恒成立；（3）求滿足<x>=x的所有非負實數x的值．20．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：同學們，我們把學習新的數學知識的時候，經常利用“化歸“的數學思想方法解決問題，比如，我們在學習二元一次方程組的解法時，是通過“消元”的方法將二元方程化歸成我們所熟悉的一元方程，從而正確求解．下面我們就利用“化歸”的數學方法解決新的問題．首先，我們把像這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的不等式，稱為一元二次不等式．通過以前的學習，我們已經認識了一無一次不等式、一元一次不等式組并掌握了它們的解法．同學們，你們能類比一元一次不等式（組）的解法求出一元二次不等式的解集嗎？例題：解一元二次不等式分析：為了解決這個問題，我們需要將一元二次不等式“化歸”到一元一次不等式（組），通過平方差公式的逆用，我們可以把寫成的形式，從面將轉化為，然后再利用兩數相乘的符號性質將一元二次不等式轉化成一元一次不等式（組），從而解決問題．解：可化為由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得①②解不等式組①，解不等式組②，即一元二次不等式的解集為拓展應用：求一元二次不等式的解集．求分式不等式的解集．求一元二次不等式的解集．21．已知，為有理數，且，不為0，則定義有理數對的“求真值”為，如有理數數對的“求真值”為，有理數對的“求真值”為．（1）求有理數對的“求真值”；（2）求證：有理數對與的“求真值”相等；（3）若的“求真值”的絕對值為，若，求的值．22．四個數分別是，滿足，(且為正整數，)．若.①當時，求的值；②對于給定的有理數，滿足，請用含的代數式表示；若，，且，試求的最大值．23．自學下面材料后，解答問題分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式，如：；等那么如何求出它們的解集呢？根據我們學過的有理數除法法則可知：兩數相除，同號得正，異號得負其字母表達式為：若，，則；若，，則若，，則；若，，則反之：若，則或若，則______或______．根據上述規律求不等式的解集．直接寫出一個解集為或的最簡分式不等式．24．全民健身和醫療保健是社會普遍關注的問題，2019年，某社區共投入60萬元用于購買健身器材和藥品．（1）若2019年社區購買健身器材的費用不超過總投入的，問2019年最低投入多少萬元購買藥品？（2）2020年，該社區購買健身器材的費用比上一年增加50%，購買藥品的費用比上一年減少，但社區在這兩方面的總投入仍與2019年相同．①求2019年社區購買藥品的總費用；②據統計，2019年該社區積極健身的家庭達到200戶，社區用于這些家庭的藥品費用明顯減少，只占當年購買藥品總費用的，與2019年相比，如果2020年社區內健身家庭戶數增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費用降低的百分比相同，那么，2020年該社區用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的，求2020年該社區健身家庭的戶數．25．我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年風力日平均風速不小于的時間共約160天，其中日平均風速不小于時間約占60，為了充分利用風能這種綠色資源，該地擬建一個小型風力發電廠，決定選用A、B兩種型號的風力發電機。根據產品說明，這兩種風力發電機在各種風速下的日發電量（即一天的發電量）如下表：日平均風速v（m/s）日發電量A型0B型0根據上面的數據回答：（1）若這個發電廠購買x臺A型風力發電機，則預計這些A型風力發電機一年的發電總量至少為_______；（2）已知A型風力發電機每臺0.3萬元，B型風力發電機每臺0.2萬元，該發電廠擬購買風力發電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發電機廠每年的發電量不少于，請你提供符合條件的購機方案。26．上周“雙十二”瑞安某書店開展優惠購書活動：各類課外書活動時每本銷售價格為y元，活動前每本銷售價格為x（）元，且y是x的一次函數，其中A類課外書與B類課外書活動前與活動時的價格如下表：圖書類別活動前的每本銷售價格x（單位：元）活動時的每本銷售價格y（單位：元）A類2821B類2118（1）求y關于x的一次函數表達式.（2）當天小明購買了一本課外書，花費了24元，該課外書活動前的每本銷售價格是多少元？（3）在“雙十二”優惠活動中，某學校花費不超過1900元，購買A、B兩類課外書共100本，且B類課外書不超過70本，則可能有哪幾種購書方案？特訓04一元一次不等式（組）壓軸題一、解答題1．若三個代數式滿足：只要其中有兩個代數式之和大于另外一個代數式的解集為大于1的實數，則稱這三個代數式構成“雅禮不等式”．例如：三個代數式有：當時的解集為，則稱構成“雅禮不等式”．(1)可以構成“雅禮不等式”嗎？請說明理由；(2)若構成“雅禮不等式”，求a的值或取值范圍；(3)若構成“雅禮不等式”，求關于x的不等式組的解集．【答案】(1)可以，理由見解析(2)(3)或【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集為x＞1即可得出答案；（2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三種情況分別求解即可；（3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三種情況，依據新定義得出m、n之間的數量關系及m、n的正負情況，再代入方程組消掉m或n，進一步求解即可．(1)x-2，1，x+1可以構成“雅禮不等式”，∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集為x＞1，∴x-2，1，x+1可以構成“雅禮不等式”．(2)①當時此時要求且無解②當時此時要求則③當時此時要求且無解綜上所述：(3)①當時則因為構成“雅禮不等式”∴解得代入求得②當時則因為構成“雅禮不等式”∴解得代入求得③當時則因為構成“雅禮不等式”∴解得代入求得綜上所述：或【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是根據“雅禮不等式”的定義列出對應的不等式，從中得出m、n之間的數量關系及其符號．2．若不等式（組）只有個正整數解（為自然數），則稱這個不等式（組）為階不等式（組）．我們規定：當時，這個不等式（組）為0階不等式（組）．例如：不等式只有4個正整數解，因此稱其為4階不等式．不等式組只有3個正整數解，因此稱其為3階不等式組．請根據定義完成下列問題：(1)是階不等式；是階不等式組；(2)若關于的不等式組是4階不等式組，求的取值范圍；(3)關于的不等式組的正整數解有，，，，…，其中…．如果是階不等式組，且關于的方程的解是的正整數解，直接寫出的值以及的取值范圍．【答案】(1)0、1(2)(3)；【分析】（1）求出題中的不等式（組）的解集，再根據已知所給定義即可得到解答；（2）首先根據已知求出原不等式組的正整數解并用數軸表示出來，然后可得a的取值范圍；（3）根據已知可得關于m的方程，求出m后可以用數軸表示出不等式組的正整數解，根據數軸即可得到的取值范圍．（1）∵沒有正整數解，∴是0階不等式，解可得1<x<3，∴有一個正整數解2，∴是1階不等式組，故答案為0，1；（2）如圖，由題意可得有4個正整數解：1、2、3、4；∴的取值范圍是；（3）∵，∴x=，a3=，∴m為偶數，且am-3=m-1，∴+m-6=m-1，∴m=10，∴可得圖如下所示：∴的取值范圍是．【點睛】本題考查新定義有理數運算的綜合應用，熟練掌握不等式（組）的求解及用數軸表示解集是解題關鍵．3．對于任意一個四位數N，如果N滿足各個數位上的數字互不相同，且個位數字不為0，N的百位數字與十位數字之差是千位數字與個位數字之差的2倍，則稱這個四位數N為“雙減數”，對于一個“雙減數”，將它的千位和百位構成的兩位數為，個位和十位構成的兩位數為，規定：．例如：N=7028，因為，所以7028是一個“雙減數”，則(1)判斷3401，5713是否是“雙減數”，并說明理由；如果是，求出的值；(2)若“雙減數”M的各個數位上的數字之和能被11整除，且是3的倍數，求M的值．【答案】(1)3401是“雙減數；F（3401）=2；5713不是“雙減數”．(2)M=4601或1064．【分析】（1）根據“雙減數”的定義判斷并求值即可；（2）設M=1000a+100b+10c+d，根據“雙減數”的性質可推導得：a=d+3，b=c+6，再分兩種情況討論即可：①當a+b+c+d=11時，②當a+b+c+d=22時．【解析】（1）解：∵4-0=4=2×（3-1），7-1=6≠2×（5-3），且滿足各個位上的數字互不相等，且個位數字不為0，∴3401是“雙減數，5713不是“雙減數”．∴F（3401）==2．∵7-1=6，5-3=2，不滿足“雙減數”的定義，∴5713不是“雙減數”．（2）設M=1000a+100b+10c+d，由題意可知：F（M）是3的倍數，且M各個數位上的數字之和能被11整除，且百位數與十位數之差是千位數與個位數之差的兩倍．∴=3k（k均為整數）①，a+b+c+d=11n（n為正整數）②，b-c=2（a-d）③．∵-10＜b-c＜10，∴-5＜a-d＜5，由①知，10a+d-（10d+c）=36k，∴10（a-d）+（b-c）=36k，∴12（a-d）=36k，∴a-d=3k，∴k=-1或k=1，即a-d=-3或a-d=3．當a-d=-3時，b-c=-6，∴a=d-3，b=c-6，代入②得，d-3+c-6+c+d=11n，當a-d=3時，b-c=6，∴a=d+3，b=c+6，代入②得，d+3+c+6+c+d=11n，根據“雙減數”的性質可得：a+b+c+d的最大值為30，最小值為6，∴6≤a+b+c+d≤30，∴a+b+c+d只能取11或22．當a+b+c+d=11時，可得d+c=1或d+c=10；當d+c=1時，d與c的值可能為，（舍去），∴，∴a=1+3=4，b=0+6=6，∴M=4601；當d+c=10時，a+b=1，則或（舍去），∴，此時，c=6，d=4．∴M=1064；當a+b+c+d=26時，可得d+c=（舍）或d+c=（舍）．∴M=4601或1064．【點睛】此題考查了新定義下的實數運算問題，解題的關鍵是根據新定義的運算規則求解．4．新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相依方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發現在的范圍內，所以方程是不等式組的“相依方程”．(1)在方程①；②；③中，不等式組的“相依方程”是________；（填序號）(2)若關于x的方程是不等式組的“相依方程”，求k的取值范圍；(3)若關于x的方程是關于x的不等式組的“相依方程”，且此時不等式組有5個整數解，試求m的取值范圍．【答案】(1)①(2)(3)【分析】（1）分別解三個一元一次方程與不等式組，再根據新定義作判斷即可；（2）分別解不等式組與方程，再根據新定義列不等式組解不等式組可得答案；（3）先解不等式組可得再根據此時不等式組有5個整數解，令整數的值為：再求解而為整數，則可得再解方程可得可得解得從而可得答案．【解析】（1）解：①，整理得：解得：②，解得：③，解得：解不等式可得：解不等式可得：所以不等式組的解集為：根據新定義可得：方程①是不等式組的“相依方程”．故答案為：①（2）解：由①得：由②得：所以不等式組的解集為：，根據“相依方程”的含義可得：解得：（3）解：由①得：由②得：∴不等式組的解集為：此時不等式組有5個整數解，令整數的值為：∴則解得：而為整數，則因為，解得：根據“相依方程”的含義可得：解可得：而恒成立，所以不等式組的解集為：綜上：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“相依方程”是解題的關鍵．5．【提出問題】已知，且，，試確定的取值范圍．【分析問題】先根據已知條件用去表示，然后根據題中已知的取值范圍，構建的不等式，從而確定的取值范圍，同理再確定的取值范圍，最后利用不等式的性質即可解決問題．【解決問題】解：，．，，．，，同理，得．由，得，的取值范圍是．【嘗試應用】（1）已知，且，，求的取值范圍；（2）已知，，若成立，求的取值范圍結果用含的式子表示．【答案】（1）；（2）當時，【分析】（1）仿照例子，運算求解即可；（2）仿照例子，注意確定不等式有解集時a的取值范圍即當時，關于x、y的不等式存在解集，然后運算求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，①同理，得，②由①+②，得，∴的取值范圍是．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴當時，，①同理，得，②由①+②，得，∴的取值范圍是．【點睛】本題考查了不等式的性質，解一元一次不等式．能夠仿照例子結合不等式的基本性質作答是解題的關鍵．6．新定義：對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為，即：當為非負整數時，如果，則；反之，當為非負整數時，如果，則．例如：試解決下列問題：(1)填空：①_________（為圓周率）；②如果，則實數x的取值范圍為_________；(2)若關于的不等式組的整數解恰有3個，求a的取值范圍；(3)求滿足的所有非負實數x的值．【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；(2)1.5≤a＜2.5；(3)0，，．【分析】（1）①利用對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出＜π＞的值；②利用對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出x的取值范圍；（2）首先將＜a＞看作一個字母，解不等式組進而根據整數解的個數得出a的取值范圍；（3）利用＜x＞設，k為整數，得出關于k的不等關系求出即可．【解析】（1）①由題意可得：＜π＞=3；故答案為：3，②∵＜x-1＞=3，∴2.5≤x-1＜3.5∴3.5≤x＜4.5；故答案為：3.5≤x＜4.5；（2）解不等式組得：-1≤x＜＜a＞，由不等式組整數解恰有3個得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5；（3）∵x≥0，為整數，設=k，k為整數，則x=k，∴＜k＞=k，∴k-≤k＜k+，k≥0，∴0≤k≤2，∴k=0，1，2，則x=0，，．【點睛】此題主要考查了新定義以及一元一次不等式的應用，根據題意正確理解＜x＞的意義是解題關鍵．7．如圖，點A和點B在數軸上分別對應數a和b，其中a和b滿足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原點記作O．（1）求a和b；（2）數軸有一對動點A1和B1分別從點A和B出發沿數軸正方向運動，速度分別為1個單位長度/秒和2個單位長度/秒．①經過多少秒后滿足AB1＝3A1B？②另有一動點O1從原點O以某一速度出發沿數軸正方向運動，始終保持在與之間，且滿足，運動過程中對于確定的m值有且只有一個時刻t滿足等式：AO1+BO1＝m，請直接寫出符合條件m的取值范圍．【答案】（1）；（2）①或；②【分析】（1）先把條件化為：再利用非負數的性質可得：；（2）①先表示對應的數分別為：再求解再結合已知AB1＝3A1B，列方程，再解方程即可；②設的速度為每秒個單位，則對應的數為再表示代入可得：再表示再結合已知可得答案.【解析】解：（1）解得：（2）①由（1）得：對應的數分別為動點A1和B1分別從點A和B出發沿數軸正方向運動，速度分別為1個單位長度/秒和2個單位長度/秒，對應的數分別為：如圖，AB1＝3A1B，或解得：或②設的速度為每秒個單位，則對應的數為解得：經檢驗：符合題意；當時，即時，當時，即時，運動過程中對于確定的m值有且只有一個時刻t滿足等式：AO1+BO1＝m，此時即符合條件的m的取值范圍為：【點睛】本題考查的是非負數的性質，數軸上的動點問題，數軸上兩點之間的距離，絕對值方程的應用，一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，熟練的應用以上知識解題是關鍵.8．閱讀理解：定義：，，為數軸上三點，若點到點的距離是它到點的時距離的（為大于1的常數）倍，則稱點是的倍點，且當是的倍點或的倍點時，我們也稱是和兩點的倍點．例如，在圖1中，點是的2倍點，但點不是的2倍點．（1）特值嘗試．①若，圖1中，點______是的2倍點．（填或）②若，如圖2，，為數軸上兩個點，點表示的數是，點表示的數是4，數______表示的點是的3倍點．（2）周密思考：圖2中，一動點從出發，以每秒2個單位的速度沿數軸向左運動秒，若恰好是和兩點的倍點，求所有符合條件的的值．（用含的式子表示）（3）拓展應用數軸上兩點間的距離不超過30個單位長度時，稱這兩點處于“可視距離”．若（2）中滿足條件的和兩點的所有倍點均處于點的“可視距離”內，請直接寫出的取值范圍．（不必寫出解答過程）【答案】（1）①B；②7或；（2）或或；（3）n≥．【分析】（1）①直接根據新定義的概念即可求出答案；②根據新定義的概念列出絕對值方程即可求解；（2）設P點所表示的數為4-2t，再根據新定義的概念列出方程即可求解；（3）分，，三種情況分別表示出PN的值，再根據PN的范圍列出不等式組即可求解．【解析】（1）①由數軸可知，點A表示的數為-1，點B表示的數為2，點C表示的數為1，點D表示的數為0，∴AD=1，AC=2∴AD=AC∴點A不是的2倍點∴BD=2，BC=1∴BD=2BC∴點B是的2倍點故答案為：B；②若點C是點的3倍點∴CM=3CN設點C表示的數為x∴CM=，CN=∴

=3即或解得x=7或x=∴數7或表示的點是的3倍點．故答案為：7或；（2）設點P表示的數為4-2t，∴PM=，PN=2t∵若恰好是和兩點的倍點，∴當點P是的n倍點∴PM=nPN∴=n×2t即6-2t=2nt或6-2t=-2nt解得或∵n＞1∴∴當點P是的n倍點∴PN=nPM∴2t=n×即2t=n×或-2t=n×解得或∴符合條件的t值有或或；（3）∵PN=2t∴當時，PN=當時，PN=，當時，PN=∵點P均在點N的可視距離之內∴PN≤30∴解得n≥∴n的取值范圍為n≥．【點睛】此題主要考查主要方程與不等式組的應用，解題的關鍵是根據新定義概念列出方程或不等式求解．9．閱讀材料：如果x是一個有理數，我們把不超過x的最大整數記作．例如，，，，那么，，其中．例如，，，．請你解決下列問題：（1）__________，__________；（2）如果，那么x的取值范圍是__________；（3）如果，那么x的值是__________；（4）如果，其中，且，求x的值．【答案】（1）4，-7；（2）；（3）；（4）或或或【分析】（1）根據表示不超過x的最大整數的定義及例子直接求解即可；（2）根據表示不超過x的最大整數的定義及例子直接求解即可；（3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根據3x+1為整數，即可計算出具體的值；（4）由材料中的條件可得，由，可求得的范圍，根據為整數，分情況討論即可求得x的值．【解析】（1），．故答案為：4，-7．（2）如果．

那么x的取值范圍是．

故答案為：．（3）如果，那么．解得：∵是整數．

∴．

故答案為：．（4）∵，其中，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，0，1，2．當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；∴或或或．【點睛】本題考查了新定義下的不等式的應用，關鍵是理解題中的意義，列出不等式求解；最后一問要注意不要漏了情況．10．若關于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足﹣1≤x﹣y≤1，則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因為﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0與方程y﹣1＝0是“友好方程”．（1）請通過計算判斷方程2x﹣9＝5x﹣2與方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若關于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0與關于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，請你求出k的最大值和最小值．【答案】（1）是；（2）k的最小值為﹣，最大值為【分析】（1）分別解出兩個方程，得到x﹣y的值，即可確定兩個方程是“友好方程”；（2）分別解兩個方程為x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范圍為即可求解．【解析】解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝，由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，∴x﹣y＝，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴方程2x﹣9＝5x﹣2與方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；（2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，由，解得，∵兩個方程是“友好方程”，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴﹣1≤≤1，∴∴k的最小值為﹣，最大值為．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式組，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.11．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關聯方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因為，所以稱方程為不等式組的關聯方程．（1）在方程①；②；③中，不等式組的關聯方程是___________．（填序號）（2）若不等式組的一個關聯方程的解是整數，則這個關聯方程可以是___________．（寫出一個即可）（3）若方程都是關于的不等式組的關聯方程，求的取值范圍．【答案】（1）①；（2）；（3）【分析】（1）分別解不等式組和各一元一次方程，再根據“關聯方程”的定義即可判斷；（2）解不等式組得出其整數解，再寫出以此整數解為解得一元一次方程即可得；（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式組得出：，根據不等式組整數解的確定可得答案．【解析】解：（1）解不等式組得，解①得：，，故①是不等式組的關聯方程；解②得：，不在內，故②不是不等式組的關聯方程；解③得：，不在內，故③不是不等式組的關聯方程；故答案為：①；（2）解不等式組得：因此不等式組的整數解可以為，則該不等式的關聯方程為．故答案為：．（3）解方程得，，解方程得，，不等式組，得：，由題意，和是不等式組的解，，解得，的取值范圍為．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解題的關鍵是理解并掌握“關聯方程”的定義和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．12．閱讀理解：例1．解方程|x|＝2，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為±2，所以方程|x|＝2的解為x＝±2．例2．解不等式|x﹣1|＞2，在數軸上找出|x﹣1|＝2的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解為x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集為x＜﹣1或x＞3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x﹣2|＝3的解為；（2）解不等式：|x﹣2|≤1．（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．（4）對于任意數x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a<6【分析】（1）利用在數軸上到2對應的點的距離等于3的點對應的數求解即可；（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；（3）先在數軸上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；（4）原問題轉化為：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，進行分類討論，即可解答．【解析】解：（1）∵在數軸上到2對應的點的距離等于3的點對應的數為-1或5，∴方程|x-2|=3的解為x=-1或x=5；（2）在數軸上找出|x-2|=1的解．∵在數軸上到2對應的點的距離等于1的點對應的數為1或3，∴方程|x-2|=1的解為x=1或x=3，∴不等式|x-2|≤1的解集為1≤x≤3．（3）在數軸上找出|x-4|+|x+2|=8的解．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到4和-2對應的點的距離之和等于8的點對應的x的值．∵在數軸上4和-2對應的點的距離為6，∴滿足方程的x對應的點在4的右邊或-2的左邊．若x對應的點在4的右邊，可得x=5；若x對應的點在-2的左邊，可得x=-3，∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集為x＞5或x＜-3．（4）原問題轉化為：a小于|x+2|+|x-4|最大值．當x≥4時，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，當-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，當x≤-2時，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，即|x+2|+|x-4|的最小值為6．故a<6．【點睛】本題主要考查了絕對值，方程及不等式的知識，是一道材料分析題，通過閱讀材料，同學們應當深刻理解絕對值得幾何意義，結合數軸，通過數形結合對材料進行分析來解答題目．13．對于三個數，，，表示，，這三個數的平均數，表示，，這三個數中最小的數，如：，；，．解決下列問題：（1）填空：______；（2）若，求的取值范圍；（3）①若，那么______；②根據①，你發現結論“若，那么______”（填，，大小關系）；③運用②解決問題：若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）①1，②，③【分析】（1）先求出這些數的值，再根據運算規則即可得出答案；（2）先根據運算規則列出不等式組，再進行求解即可得出答案；（3）根據題中規定的表示，，這三個數的平均數，表示，，這三個數中最小的數，列出方程組即可求解．【解析】（1），，故答案為：-4；（2）由題意得：，解得：，則x的取值范圍是：；（3），，，；若，則；根據得：，解得：，則，故答案為：1，．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，解題關鍵是讀懂題意，根據題意結合方程和不等式去求解，考查綜合應用能力．14．我們把關于x的一個一元一次方程和一個一元一次不等式組合成一種特殊組合，且當一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“有緣組合”；當一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“無緣組合”．（1）請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由；①；②．（2）若關于x的組合是“有緣組合”，求a的取值范圍；（3）若關于x的組合是“無緣組合”；求a的取值范圍．【答案】（1）①組合是“無緣組合”，②組合是“有緣組合”；（2）a＜-3；（3）a<【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根據“有緣組合”和“無緣組合“的定義，判斷即可；（2）先解方程和不等式，然后根據“有緣組合”的定義求a的取值范圍；（3）先解方程和不等式，然后根據“無緣組合”的定義求a的取值范圍．【解析】解：（1）①∵2x-4＝0，∴x=2，∵5x-2＜3，∴x＜1，∵2不在x＜1范圍內，∴①組合是“無緣組合”；②，去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），去括號，得：2x-10＝12-9+3x，移項，合并同類項，得：x＝-13．解不等式，去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，去括號，得：2x+6-4＜3-x，移項，合并同類項，得：3x＜1，化系數為1，得：x＜．∵-13在x＜范圍內，∴②組合是“有緣組合”；（2）解方程5x+15＝0得，x＝-3，解不等式，得：x＞a，∵關于x的組合是“有緣組合”，∴-3在x＞a范圍內，∴a＜-3；（3）解方程，去分母，得5a-x-6＝4x-6a，移項，合并同類項，得：5x＝11a-6，化系數為1得：x＝，解不等式+1≤x+a，去分母，得：x-a+2≤2x+2a，移項，合并同類項，得：x≥-3a+2，∵關于x的組合是“無緣組合，∴<-3a+2，解得：a<．【點睛】本題考查一元一次不等式組和新定義，關鍵是對“有緣組合”與“無緣組合”的理解．15．若一個不等式（組）A有解且解集為，則稱為A的解集中點，若A的解集中點是不等式（組）B的解，則稱不等式（組）B對于不等式（組）A中點包含．（1）已知關于x的不等式組A：，以及不等式B：，那么不等式B對于不等式組A________（填“是”或“否”）中點包含；（2）已知關于x的不等式組Q：，以及不等式P：，若P對于不等式組Q中點包含，則a的取值范圍是______．（3）關于x的不等式組S：，以及不等式組T：，若不等式組T對于不等式組S中點包含，求m需要滿足何種條件？【答案】（1）是；（2）a≥-2.5；（3）-6＜m＜【分析】（1）求得不等式組的解集中點，根據新定義判斷即可；（2）求得不等式組的解集中點，代入不等式計算即可求出值；（3）求得不等式組的解集中點，代入不等式組，計算求出的取值即可．【解析】解：（1）由解得，，解集中點為，不等式，不等式對于不等式組是中點包含，故答案為：是；（2）不等式組的解集為，解集中點為，對于不等式組中點包含，代入得，解得，故答案為；（3）不等式組的解集為：且，且，解集中點為，不等式組對于不等式組中點包含，，解得．【點睛】本題考查了新定義，解一元一次不等式組，能求出不等式組的解集是解此題的關鍵．16．對x，y定義一種新運算T，規定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）=a?0+2b?1﹣1=2b﹣1．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．①求a，b的值；②若關于m的不等式組恰好有2個整數解，求實數p的取值范圍；（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應滿足怎樣的關系式？【答案】（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b．【分析】（1）①按題意的運算可得方程組，即可求得a、b的值；②按題意的運算可得不等式組，即可求得p的取值范圍；（2）由題意可得ax+2by-1=ay+2bx-1，從而可得a="2b"；【解析】（1）①由題意可得，解得；②由題意得，解得，因為原不等式組有2個整數解，所以，所以；（2）T（x，y）="ax+2by-1,"T（y，x）="ay+2bx-1"，所以ax+2by-1=ay+2bx-1,所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0,所以a=2b17．若任意一個代數式，在給定的范圍內求得的最大值和最小值恰好也在該范圍內，則稱這個代數式是這個范圍的“湘一代數式”．例如：關于x的代數式，當1x1時，代數式在x1時有最大值，最大值為1；在x0時有最小值，最小值為0，此時最值1，0均在1x1這個范圍內，則稱代數式是1x1的“湘一代數式”．（1）若關于的代數式，當時，取得的最大值為，最小值為，所以代數式（填“是”或“不是”）的“湘一代數式”．（2）若關于的代數式是的“湘一代數式”，求a的最大值與最小值．（3）若關于的代數式是的“湘一代數式”，求m的取值范圍．【答案】（1）是．（2）a的最大值為，最小值為；（3）【分析】（1）先求解當時，的最大值與最小值，再根據定義判斷即可；（2）當時，得分＜，分別求解在內時的最大值與最小值，再列不等式組即可得到答案；（3）當時，分，兩種情況分別求解的最大值與最小值，再列不等式（組）求解即可．【解析】解：（1）當時，取最大值，當時，取最小值所以代數式是的“湘一代數式”．故答案為：是．（2）∵，∴0≤|x|≤2，∴①當a≥0時，x=0時，有最大值為，x=2或-2時，有最小值為所以可得不等式組，由①得：由②得：所以：②a＜0時，x=0時，有最小值為，x=2或-2時，的有大值為所以可得不等式組，由①得：由②得：所以：＜，綜上①②可得，所以a的最大值為，最小值為．（3）是的“湘一代數式”，當時，的最大值是最小值是當時，當時，取最小值當時，取最大值，解得：綜上：的取值范圍是：【點睛】本題考查的是新定義情境下的不等式或不等式組的應用，理解定義列不等式（組）是解題的關鍵．18．我們定義，關于同一個未知數的不等式和，若的解都是的解，則稱與存在“雅含”關系，且不等式稱為不等式的“子式”．如，，滿足的解都是的解，所以與存在“雅含”關系，是的“子式”．（1）若關于的不等式，，請問與是否存在“雅含”關系，若存在，請說明誰是誰的“子式”；（2）已知關于的不等式，，若與存在“雅含”關系，且是的“子式”，求的取值范圍；（3）已知，，，，且為整數，關于的不等式，，請分析是否存在，使得與存在“雅含”關系，且是的“子式”，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）A與B存在“雅含”關系，B是A的“子式”；（2）；（3）存在，．【分析】（1）根據“雅含”關系的定義即可判斷；（2）先求出解集，根據“雅含”關系的定義得出，解不等式即可；（3）首先解關于的方程組即可求得的值，然后根據，，且為整數即可得到一個關于的范圍，從而求得的整數值．【解析】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集為，∵∴A與B存在“雅含”關系，B是A的“子式”；（2）不等式，解得：，不等式：，解得：，∵與存在“雅含”關系，且是的“子式”，∴，解得：，（3）存在；由解得：，∵，，即：，解得：，∵為整數，∴的值為，解不等式得：，解不等式得：，∵與存在“雅含”關系，且是的“子式”，∴不等式的解集為：，∴，且，解得：，∴．【點睛】本題考查了不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，大小小大中間找，大大小小無解．19．對非負實數x“四舍五入”到個位的值記作<x>，即：當n為非負整數時，若n－≤x＜n＋，則<x>=n．如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，….（1）填空：①<π>=_____；②如果<2x－1>=3，則實數x的取值范圍為_______；（2）舉例說明<x＋y>＝<x>＋<y>不恒成立；（3）求滿足<x>=x的所有非負實數x的值．【答案】（1）3；；（2）見解析；（3）0、、．【分析】（1）①π的十分位為1，應該舍去，所以精確到個位是3；②如果精確數是3，那么這個數應在2.5和3.5之間，包括2.5，不包括3.5，讓2.5≤2x-1＜3.5，解不等式即可；（2）舉出反例說明即可，譬如稍微超過0.5的兩個數相加；（3）x為整數，設這個整數為k，易得這個整數應在應在k-和k+之間，包括k-，不包括k+，求得整數k的值即可求得x的非負實數的值；【解析】解：（1）①∵π≈3.14，∴<π>=3；②由題意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：≤x＜；（2）舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；（3）∵x≥0，x為整數，設x=k，k為整數，則x＝k，∴＜k＞＝k，∴k?≤k＜k+，k≥0，∵0≤k≤2，∴k=0，1，2，∴x=0，，．【點睛】考查了一元一次不等式組的應用，解決本題的關鍵是理解：對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當n為非負整數時，如果n-≤x＜n+，則＜x＞=n．20．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：同學們，我們把學習新的數學知識的時候，經常利用“化歸“的數學思想方法解決問題，比如，我們在學習二元一次方程組的解法時，是通過“消元”的方法將二元方程化歸成我們所熟悉的一元方程，從而正確求解．下面我們就利用“化歸”的數學方法解決新的問題．首先，我們把像這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的不等式，稱為一元二次不等式．通過以前的學習，我們已經認識了一無一次不等式、一元一次不等式組并掌握了它們的解法．同學們，你們能類比一元一次不等式（組）的解法求出一元二次不等式的解集嗎？例題：解一元二次不等式分析：為了解決這個問題，我們需要將一元二次不等式“化歸”到一元一次不等式（組），通過平方差公式的逆用，我們可以把寫成的形式，從面將轉化為，然后再利用兩數相乘的符號性質將一元二次不等式轉化成一元一次不等式（組），從而解決問題．解：可化為由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得①②解不等式組①，解不等式組②，即一元二次不等式的解集為拓展應用：求一元二次不等式的解集．求分式不等式的解集．求一元二次不等式的解集．【答案】（1）x＞4或x＜-4；（2）；（3）0＜x＜．【分析】（1）由題意將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可；（2）根據分式不等式大于零可以得到其分子、分母同號，從而轉化為兩個一元一次不等式組求解即可；（3）根據題意將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可.【解析】解：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4）∴x2-16＞0可化為（x+4）（x-4）＞0由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得①②，解不等式組①，得x＞4，解不等式組②，得x＜-4，∴（x+4）（x-4）＞0的解集為x＞4或x＜-4，即一元二次不等式x2-16＞0的解集為x＞4或x＜-4．（2）∵∴或解得：.（3）∵2x2-3x=x（2x-3）∴2x2-3x＜0可化為x（2x-3）＜0由有理數的乘法法則“兩數相乘，異號得負”，得或，解不等式組①，得0＜x＜，解不等式組②，無解，∴不等式2x2-3x＜0的解集為0＜x＜．【點睛】本題考查一元一次不等式組及方程的應用的知識，解題的關鍵是根據已知信息經過加工得到解決此類問題的方法．21．已知，為有理數，且，不為0，則定義有理數對的“求真值”為，如有理數數對的“求真值”為，有理數對的“求真值”為．（1）求有理數對的“求真值”；（2）求證：有理數對與的“求真值”相等；（3）若的“求真值”的絕對值為，若，求的值．【答案】（1）；；（2）見解析；（3）或．【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）利用已知的新定義化簡，比較即可；（3）已知等式利用題中的新定義化簡，求出a的值即可．【解析】解：（1）；；（2）設，則，，∴；（3）當時，若時，則，解得：（舍去）或；若時，則，解得：；當，若時，則，解得：（舍去）或；若時，則，解得：（舍去）；綜上所述，的值為：或．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，以及乘方的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．22．四個數分別是，滿足，(且為正整數，)．若.①當時，求的值；②對于給定的有理數，滿足，請用含的代數式表示；若，，且，試求的最大值．【答案】（1）①；②；（2）的最大值為.【分析】方法一:①根據和絕對值的性質去掉絕對值符號，再利用它們之間的關系即可得出答案；②同樣先去掉絕對值符號，通過等量代換和第（1）問中的結論得出，則答案可得；同樣先將e,f去掉絕對值符號，然后表示出，然后利用建立一個關于n的不等式，解不等式即可找到答案.方法二:①將四個數表示在數軸上，然后轉化已知條件為，然后利用兩點間的距離即可得出答案；②用點表示數在數軸上表述出來,得出進而得出則答案可得；直接將e,f代入得出，再利用得出，則答案可得.【解析】方法一:①，，，，.②，，即，，，且為正整數，的最大值為.方法二:①把四個數在數軸上分別用點表示出來，如下圖所示，，又.②用點表示數在數軸上表述出來，點在線段上，又，即，，且，即，且為正整數，的最大值為.【點睛】本題主要考查絕對值的性質，代數式的運算，不等式，掌握絕對值的性質是解題的關鍵.23．自學下面材料后，解答問題分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式，如：；等那么如何求出它們的解集呢？根據我們學過的有理數除法法則可知：兩數相除，同號得正，異號得負其字母表達式為：若，，則；若，，則若，，則；若，，則反之：若，則或若，則______或______．根據上述規律求不等式的解集．直接寫出一個解集為或的最簡分式不等式．【答案】（2），；（1）；（2）不唯一．【分析】根據有理數除法法則：兩數相除，同號得正，異號得負，解決問題．【解析】（2）∵兩數相除，同號得正，異號得負，＜0，∴或

，故答案為．（1）由題意得：或

，第一個不等式組無解，第二個的解集為﹣1＜x＜2，則原分式不等式的解集為﹣1＜x＜2．（2）∵解集為x＞3或x＜1，∴＞0（不唯一）．【點睛】本題主要考查了利用理數除法法則解決分母中含有未知數的不等式．24．全民健身和醫療保健是社會普遍關注的問題，2019年，某社區共投入60萬元用于購買健身器材和藥品．（1）若2019年社區購買健身器材的費用不超過總投入的，問2019年最低投入多少萬元購買藥品？（2）2020年，該社區購買健身器材的費用比上一年增加50%，購買藥品的費用比上一年減少，但社區在這兩方面的總投入仍與2019年相同．①求2019年社區購買藥品的總費用；②據統計，2019年該社區積極健身的家庭達到200戶，社區用于這些家庭的藥品費用明顯減少，只占當年購買藥品總費用的，與2019年相比，如果2020年社區內健身家庭戶數增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費用降低的百分比相同，那么，2020年該社區用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的，求2020年該社區健身家庭的戶數．【答案】（1）2019年最低投入20萬元購買商品；（2）①2019年購買藥品的總費用為32萬元；②2020年該社區健身家庭的戶數為300戶【分析】（1）設2019年購買藥品的費用為x萬元，根據2019年社區購買健身器材的費用不超過總投入的，列出不等式，求出不等式的解集即可得到結果；（2）①設2019年社區購買藥品的費用為y萬元，則購買健身器材的費用為（60﹣y）萬元，2020年購買健身器材的費用為（1+50%）（60﹣y）萬元，購買藥品的費用為（1﹣）y萬元，根據題意列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到結果；②設這個相同的百分數為m，則2020年健身家庭數為200（1+m）戶，根據2020年該社區用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的，列式求解即可．【解析】解：（1）