Page20Page20一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合中的不等式，然后依據集合的交集運算可得答案.【詳解】因為，，所以.故選：A2.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據反例可推斷AC，依據不等式的性質，結合函數的單調性即可推斷BD.【詳解】對于A，若，明顯滿意，但不能得到，故A錯誤，對于B，由于，所以，又為單調遞增函數，所以，故B錯誤，對于C，若，明顯滿意，，故C錯誤，對于D，若，則，函數在上單調遞增，所以，當，則，函數在上單調遞增，所以，當，則，綜上可知D正確，故選：D3.設正項等比數列的前n項和為，若，則公比（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】依據等比數列基本量的計算即可求解公比.【詳解】由，有，即．由等比數列的通項公式得，即，解得或，由數列為正項等比數列，∴．故選：A4.如圖所示，在中，點是線段上靠近A的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運算的幾何意義即可計算【詳解】.故選：B5.納皮爾是蘇格蘭數學家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻是對數的獨創，著有《奇異的對數定律說明書》，并且獨創了對數表，可以利用對數表查詢出隨意對數值.現將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出；現有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當水溫下降到10℃時，經過的時間約為（）參考數據：，.A.3.048分鐘 B.4.048分鐘 C.5.048分鐘 D.6.048分鐘【答案】C【解析】【分析】先將已知數據代入公式，再用對數運算性質得到，用換底公式將為底的對數換成為底的對數，代入已知對數值計算即可.【詳解】依題意，，，，代入公式得：（分鐘），故選：C.6.已知命題p：函數在上單調遞減；命題，都有．若為真命題，為假，則實數a的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據題意求出為真命題時的范圍，進而依據中一真一假分兩類狀況探討即可求解.【詳解】若命題p為真，則，若為真，則，由于為真命題，為假，則中一真一假若真假，則滿意：；若真假，則滿意：，此時無解，綜上故選：A7.函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】從圖像利用解除法進行求解：先分析奇偶性，解除B；計算解除C；依據時，；解除D.即可得到答案.【詳解】對于，定義域為關于原點對稱.因為，所以是偶函數，解除B.當時，，解除C；當時，，，；解除D.故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式化簡可得的值，再利用弦化切可求得所求代數式的值.【詳解】解：由誘導公式可得，所以，.因此，.故選：D.9.已知，函數在上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得,，，，．故A正確．考點：三角函數單調性．10.若曲線的一條切線為，其中，為正實數，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據已知求出，，再利用基本不等式求解.【詳解】設切點為，則有，∵，∴，，（當且僅當時取等）故選：A【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.11.定義在上的奇函數滿意，且當時，，則方程在上全部根的和為（）A.32 B.48 C.64 D.80【答案】C【解析】【分析】依據奇函數性質推斷出函數的周期，利用函數的對稱性、數形結合思想進行求解即可.【詳解】因為是奇函數，所以由，因此函數的周期為，當時，，所以當時，，當時，由，所以，所以當時，，于當時，，該函數關于點對稱，而函數也關于該點對稱，在同始終角坐標系內圖象如下圖所示：由數形結合思想可知：這兩個函數圖象有8個交點，即共有四對關于對稱的點，所以方程在上全部根的和為，故選：C【點睛】關鍵點睛：方程根的問題轉化為兩個函數圖象交點問題是解題的關鍵.12.若正實數是函數的一個零點，是函數的一個大于的零點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意得，，則，即是，從而同構函數，，利用的單調性得到，代入求解即可.【詳解】依題意得，，即，，，即，，，，又，同構函數：，，則，又，，，，又，，單調遞增，，.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：（1）函數零點即為函數的取值；（2）對的兩個方程合理的變形，達到形式同一，進而同構函數，，其中應留意定義域；（3）運用導數探討函數的單調性，進而確定；（4）求解的值時，將替換后應留意分子的取值.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分13.已知x，y滿意約束條件，則目標函數的最小值為______．【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解．【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），作目標函數對應的直線：，在直線中，縱截距為，向下平移直線時，減小，由，得，即，因此向下平移直線，當過點時，為最小值．故答案為：．14.已知向量，且，則___________.【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標運算即可求出結果.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得，所以，故.故答案為：.15.已知定義在上的函數的導函數為，若，且，則不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】構造函數，由導數確定其單調性，題設不等式化為，再利用單調性變形求解．【詳解】令，則，∴在上是減函數，，不等式化為，即，也即為，所以，.故答案為：，16.已知函數的部分圖像如圖所示，則滿意條件的最小正整數x為________．【答案】2【解析】【分析】先依據圖象求出函數解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數或驗證數值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數應當滿意，即，解得，令，可得，可得的最小正整數為2.方法二：結合圖形可知，最小正整數應當滿意，又，符合題意，可得的最小正整數為2.故答案為：2.【點睛】關鍵點睛：依據圖象求解函數的解析式是本題求解的關鍵，依據周期求解，依據特別點求解.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答.（一）必考題：共60分.17.設函數．（1）求函數的單調遞增區間及對稱中心；（2）當時，，求的值．【答案】（1）單調遞增區間是；，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，誘導公式化簡函數式，然后利用正弦函數的單調性與對稱中心求解；（2）由兩角差的余弦公式計算．【小問1詳解】由題意得：，由，可得；所以的單調遞增區間是；令，，解得：，，此時函數值為，所以對稱中心為，．【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．18.在各項均為正數的等比數列中，，，，成等差數列．等差數列滿意，．（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前n項和為．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依據等差數列的通項公式和等比數列的通項公式進行求解即可;（2）用裂項相消法進行求解即可【小問1詳解】設各項均為正數的等比數列的公比為，等差數列的公差為d，因為，，成等差數列，所以即，因為，，所以，解得或（舍去），所以，，由可得，解得，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以19.在中，角的對邊分別為，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再依據求出的取值范圍，即可得解；【小問1詳解】解：因為，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因為，所以；【小問2詳解】解：因為、，由余弦定理，即，即當且僅當時取等號，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周長的取值范圍為20.已知函數，其中a是正數．（1）探討的單調性；（2）若函數在閉區間上的最大值為，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導后，利用導數分類探討確定單調性；（2）由（1）的結論分類探討確定最大值點，從而得參數范圍．【小問1詳解】因為，所以．①當時，，在上嚴格遞增；②當時，由得或，由得，所以在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增；③當時，由得或，由得，所以單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增；【小問2詳解】由（1）可知①當時，，在上嚴格遞增，此時在上的最大值為；②當時，在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增；在上的最大值只有可能是或，因為在上的最大值為，所以，解得，此時；③當時，在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增；在上的最大值可能是或，因為在上的最大值為，所以，解得，此時，由①②③得，，∴滿意條件的a的取值范圍是．21.已知函數（為自然對數的底數），.（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）有兩個零點，通過參變分立，轉換成兩個函數圖像的交點問題.（2）先利用參數放縮轉變成恒成立，再通過參變分別轉化成最小值問題.【小問1詳解】有兩個零點，關于的方程有兩個相異實根，，有兩個零點即有兩個相異實根.令，則，得，得在單調遞增，在單調遞減，，又當時，，當時，，當時，有兩個零點時，實數的取值范圍為；【小問2詳解】，所以原命題等價于對一切恒成立，對一切恒成立，令，令，則在上單增，又，使，即①，當時，，即在遞減當時，，即在遞增，由①知，，函數在單調遞增，即實數的取值范圍為.【點睛】(1)零點問題常用方法為干脆探討法和參變分別兩種方法.(2)恒成立問題一般有三種方法：干脆探討法，參變分別法，端點效應.（二）選考題：共10分.考生在第22、23兩題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框.22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程是．（1）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，點，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數可得C的一般方程，依據極坐標與直角坐標轉化公式可求直線直角坐標方程；（2）將直線的參數方程代入橢圓一般方程，消元后依據參數的幾何意義求解.【小問1詳解】由（為參數），得，故曲線C的一般方程為．由，得，故直線l的直角坐標方程為．【小問2詳解】由題意可知直線l的參數方程為（t為參數）．將直線l的參數方