第二章

函數第二節函數的單調性與最值·考試要求·1.借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值．2．理解函數的單調性與最值的作用和實際意義．

必備知識落實“四基”×××

√√√4．設定義在[－1，7]上的函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的單調遞增區間為_________________．5．已知函數f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上單調，則實數k的取值范圍是__________．(－∞，5]∪[20，＋∞)

解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的圖象的對稱軸為直線x＝k，由題意可得k≤5或k≥20.故實數k的取值范圍是(－∞，5]∪[20，＋∞)．[－1，1]和[5，7]1．增函數與減函數注意點：單調遞增(減)函數定義中的x1，x2的三個特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同屬于一個單調區間，三者缺一不可．f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)單調遞增單調遞減2．單調區間的定義如果函數y＝f(x)在區間I上____________________，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間I叫做y＝f(x)的單調區間．注意點：(1)單調區間只能用區間表示，不能用不等式表示．(2)求函數單調區間或討論函數的單調性時，必須先求函數的定義域．(3)一個函數的同一種單調區間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)“函數的單調區間是M”與“函數在區間N上單調”是兩個不同的概念，顯然N?M.單調遞增或單調遞減知識點二函數的最值1．下列函數在區間[1，4]上最大值為3的是(

)A.y＝x2 B．y＝3x－2C．y＝x2－13 D．y＝1－xC

解析：選項A，B，C在區間[1，4]上均單調遞增，選項D在區間[1，4]上單調遞減，代入端點值，即可求得最大值為3的是y＝x2－13.√

√

函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足條件?x∈D，都有__________；?x0∈D，使得___________?x∈D，都有__________；?x0∈D，使得___________結論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M注意點：(1)閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值，當函數在閉區間上單調時，最值一定在端點處取得．(2)開區間上的“單峰”函數一定存在最小值或最大值．

√√

√

核心考點提升“四能”√

反思感悟確定函數單調性的常用方法定義法先確定定義域，再根據取值、作差、變形、定號的順序得結論圖象法若函數是以圖象形式給出的，或者函數的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調性性質法對于由基本初等函數的和、差構成的函數，根據各基本初等函數的增減性及“增＋增＝增，增－減＝增，減＋減＝減，減－增＝減”進行判斷導數法先求導，再確定導數的正負，由導數的正負得函數的單調性復合法對于復合函數，先將函數f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后討論(判斷)這兩個函數的單調性，再根據復合函數“同增異減”的規則進行判斷

－2

√反思感悟利用函數的單調性比較大小的方法比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區間內，要利用其函數性質，轉化到同一個單調區間上進行比較．對于選擇題、填空題通常選用數形結合的思想方法進行求解．考向2解函數不等式【例3】(1)已知函數f(x)在R上單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(

)A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]D

解析：因為函數f(x)為奇函數，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又函數f(x)在R上單調遞減，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.故選D.√

反思感悟在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數的定義域．

√D

解析：作出函數y＝f(x)的圖象如圖所示．由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.(2)已知函數f(x)＝e|x－a|(a為常數)，若f(x)在區間[1，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是__________．(－∞，1]

解析：令t＝|x－a|，所以y＝et.t＝|x－a|在(－∞，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增．又y＝et為增函數，所以f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增．因為函數f(x)在區間[1，＋∞)上單調遞增，所以a≤1.反思感悟利用函數的單調性求參數的策略(1)視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數．(2)需注意若函數在區間[a，b]上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的．(3)分段函數的單調性需要分段研究，既要保證每一段函數的單調性，還要注意每段端點值是否可以取到．

√2．已知函數f(x)＝ln2－x－x3，則不等式f(3－x2)>f(2x－5)的解集為(

)A．(－4，2)B．(－∞，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D

解析：由題意知f(x)＝－xln2－x3，易知函數f(x)在R上單調遞減，而f(3－x2)>f(2x－5)，所以3－x2<2x－5，即(x－2)(x＋4)>0，解得x＞2或x＜－4，所以x∈(－∞，－4)∪(2，＋∞)．故選D.√3．設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，函數f(x)單調遞增，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(

)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)A

解析：因為函數f(x)是偶函數，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．因為當x∈[0，＋∞)時，f(x)單調遞增，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2)．故選A.√

一題N解

拓展思維[四字程序]讀想1．圖象法．2．單調性法算1．一次函數、對數函數的圖象．2．一