CT圖像重建運用一定的物理技術測定X線在人體內的吸收系數為基礎，采用一定的數學方法經計算機求解出吸收系數μ值在人體某剖面上的二維分布矩陣，再用電子技術把μ二維分布矩陣轉變為圖像面上的灰度分布，實現重建體層圖像目的。本質是吸收系數重建。一、CT圖像構成概念（一）體素和像素1．體素2．像素對像素進行空間位置編碼，在像平面上按像素的劃分順序編號，形成像素陣列。用每個體素對X線束的吸收系數μ代表圖像信息，并變換成各組織的CT值，構成平面圖像的像素。（二）圖像矩陣（二）圖像矩陣每個小單元體按照掃描過程中的順序進行排列和編號，形成一個有序的數組；這些有序的數組反映在圖像平面上形成圖像矩陣。CT圖像重建按照這些有序數組計算和重建圖像。N×N矩陣中的元素用μij

表示，代表組織的吸收系數或CT值。頭部CT采用256×256或320×320矩陣；全身CT圖像選320×320或512×512矩陣；顯示脊椎骨等結構的細節采用512×512或640×640矩陣。（三）投影投照受檢體后出射的X線束強度

I稱投影(projection，P)，投影值的分布稱為投影函數。1．近似單能X線束獲取使發射的X線束中主要是標識輻射的X線；線束再經濾過獲得約70keV、近于單能的X線束。CT機中使用110～140kV的管電壓，用4～5mm厚的鋁板等作附加濾過物。2．窄束X線的獲取配準直器。X線通過準直器孔后被準直成扁形的窄線束，束寬1～2mm，束高1～5mm。實用中的CT掃描多使用寬扇形X線束，怎樣理解窄束X線？1.不失真地反映人體被測層面的圖像信息；2.短時間內完成；3.理論和技術上可行。二、圖像重建要求三、圖像重建的數學基礎1．吸收系數（3-3）

（3-5）

設f(s)是沿著X線束路徑隨S連續變化的物體吸收系數。（3-5）式寫成對連續函數f(s)變化的積分形式：

（3-6）

P是X線束穿透物體的投影。

1．

吸

收

系

數1．吸收系數設斷層平面在直角坐標系X-Y中，斷層平面上每一點的吸收系數是坐標(x，y)的函數f(x，y)。X線束在平移和旋轉掃描中，X線的投影P總是與X線來路徑l

有關，用極坐標(R，θ）坐標系來描述X線束路徑l

的位置。1．吸收系數投影P是隨X線束掃描方向和路徑的不同而變化，經過坐標變換后，X線束穿過吸收系數f(x，y)的物體，在R-θ坐標平面上的投影的是坐標（R，θ）的函數P(R，θ)。當在某一θ角度時，將(3-6)式表示為平面坐標上的投影P(R，θ)：

(3-8)1．吸收系數分析：數據采集(掃描)得到X線束在各個方向上的投影Pθ(R，θ)；

CT圖像重建就是要從積分方程(3-8)式中解出吸收系數f（x，y）。如何根據投影Pθ(R，θ)求解出斷面上線性衰減系數f(x，y)分布，就是CT圖像重建的數學方法問題。2.δ-函數δ-函數（Direc函數）又稱單位脈沖函數定義：2.δ-函數性質：若f(t)為連續函數，有：意義：CT圖像重建中可用δ-函數來校正反投影法重建中產生的圖像模糊。2.δ-函數將一維δ函數推廣到二維，δ(x，y)有：3.卷積計算

v(x)為濾波函數，ω(x)表示投影函數Pθ（R，θ），意義：通過選擇不同的濾波函數

v(x)可對投影Pθ（R，θ）變換或濾波，獲取清晰的CT圖像。★(一)反投影法(backprojection)又稱總和法，是利用投影數值近似地復制出μ

值的二維分布。基本原理：是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投影后，在影像處進行疊加，推斷出原圖像。四、圖像重建方法★(一)

反

投

影

法★(一)反投影法例：對四個體素(μ1=2

，μ2=4

，μ3=6

，μ4=8)矩陣的圖像重建：對四體素矩作0°、45°、90°、135°投影(掃描)，再將投影值反投回原矩陣的對應位置上，即可將原矩陣中的四體素的特征參數值解出。★(一)反投影法★(一)反投影法缺點：影像邊緣處不清晰。如果在一均勻的組織密度內，存在吸收系數極不均勻的部分時，反投影圖像與原圖像會出現偽影(imageartifact)。如圓柱形單密度體，利用反投影法所重建圖像的結果呈現出星形偽影。反投影數量愈多，重建圖像愈接近于原圖像，但由于存在星形偽影，而使得重建圖像的邊緣部分模糊不清。★(一)反投影法★(一)反投影法★(一)反投影法重建圖像的邊緣模糊不清原因：重建的密度函數fb(x，y)與實際的密度函數f(x，y)不一樣。為獲得真實的密度函數，必須對fb(x，

y)進行修正。反投影吸收系數fb(x，y)與實際f(x，y)之間存在一個1/r，1/r稱為模糊因子。要點1.多層螺旋CT檢測器：均等分配、非均等分配探測器不同組合，可以得到不同層厚2.多層螺旋CT的優勢3.CT圖像重建概念：體素和像素、圖像矩陣、投影4.圖像重建的數學基礎：吸收系數、

δ-函數、卷積計算5.反投影法圖像重建第三節

CT圖像重建(2)復習第三節CT圖像重建一、CT圖像構成概念（一）體素和像素（二）圖像矩陣（三）投影二、圖像重建要求三、圖像重建的數學基礎1．吸收系數[μ→f(s)→f(x，y)]2.δ-函數3.卷積計算復習四、圖像重建方法★(一)反投影法是利用投影數值近似地復制出μ

值的二維分布。基本原理：是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投影后，在影像處進行疊加，推斷出原圖像。缺點：影像邊緣處不清晰。CT機裝置探測器：碘化鈉、鍺酸鉍—高壓氙氣電離室—稀土陶瓷探測器—平板探測器(非晶硅、非晶硒）（二）傅里葉變換法是基于使圖像矩陣的求解與圖像投影的傅里葉變換間建立確定的關系；或為修正反投影法中模糊因子，從頻域上校正圖像模糊部分的圖像重建方法。1．二維傅里葉變換法2．傅里葉變換反投影法1．二維傅里葉變換法二維傅里葉變換定義：1．二維傅里葉變換法進行二維傅里葉反變換后即可得到重建圖像。2．傅里葉變換反投影法

反投影重建圖像的吸收系數與實際圖像之間關系：用二維傅里葉變換寫成頻域的形式為：2．傅里葉變換反投影法

校正模糊失真：先將fb(x,y)作二維傅里葉變換，然后將變換結果用ρ加權，得真正圖像的二維傅里葉變式：在此基礎再行二維傅里葉反變換，獲原圖像吸收數分布面函數f(x,y)。(三)濾波反投影法采用先修正、再反投影的做法，得到原始的密度函數。基本做法：在某一投影角下取得投影函數（1D函數）后，對其作濾波處理，得到一個經過修正的投影函數。然后再將此修正后的投影函數作反投影運算，得出所需的密度函數。解決的主要問題：如何修正投影函數才能使之在作反投影后能重建原密度函數。將投影函數gθ(R)修正為g′θ(R)，然后再作反投影，就能得到不失真的原密度函數f(x,y)。(三)濾波反投影法(三)濾波反投影法(三)濾波反投影法濾波反投影法(filteredbackprojection)（四）卷積反投影法用卷積方法修正投影函數，然后再作反投影重建圖像的方法。在頻域中作濾波運算=在時域中卷積運算來完成。將投影函數gθ(R)與|ρ|的逆傅里葉變換式進行卷積，同樣可以得到所需要的修正過的反投影函數。（四）卷積反投影法本質上卷積反投影法與濾波反投影法是一樣的。濾波反投影法是將投影函數gθ(R)變換到頻域中，然后用濾波函數|ρ|對變換函數作濾波后，再反變換到空域中作為修正過的投影函數；卷積反投影法是將gθ(R)直接在空域中進行修正，即將gθ(R)與一個事先設計好的卷積函數|ρ|的逆FT函數進行卷積運算，然后將卷積后的結果作反投影。（四）卷積反投影法根據FT的卷積定理的傅里葉反變換在時域中可構成濾波函數h（t），通過選取不同的濾波函數，對進行有效地濾波，達到滿意的重建圖像效果。

卷積函數h（t）選取是卷積計算的關鍵，h（t）稱為卷積核(convo1utionkernet)。

（四）卷積反投影法與濾波反投影法相比，卷積反投影法避免了FT運算。（四）卷積反投影法

卷積的濾波作用（四）卷積反投影法

CT圖像重建運用一定的物理技術測定X線在人體內的吸收系數為基礎，采用一定的數學方法經計算機求解出吸收系數μ值在人體某剖面上的二維分布矩陣，再用電子技術把μ二維分布矩陣轉變為圖像面上的灰度分布，實現重建體層圖像目的。本質是吸收系數重建。一、CT圖像構成概念（一）體素和像素1．體素2．像素對像素進行空間位置編碼，在像平面上按像素的劃分順序編號，形成像素陣列。用每個體素對X線束的吸收系數μ代表圖像信息，并變換成各組織的CT值，構成平面圖像的像素。（二）圖像矩陣（二）圖像矩陣每個小單元體按照掃描過程中的順序進行排列和編號，形成一個有序的數組；這些有序的數組反映在圖像平面上形成圖像矩陣。CT圖像重建按照這些有序數組計算和重建圖像。N×N矩陣中的元素用μij

表示，代表組織的吸收系數或CT值。頭部CT采用256×256或320×320矩陣；全身CT圖像選320×320或512×512矩陣；顯示脊椎骨等結構的細節采用512×512或640×640矩陣。（三）投影投照受檢體后出射的X線束強度

I稱投影(projection，P)，投影值的分布稱為投影函數。1．近似單能X線束獲取使發射的X線束中主要是標識輻射的X線；線束再經濾過獲得約70keV、近于單能的X線束。CT機中使用110～140kV的管電壓，用4～5mm厚的鋁板等作附加濾過物。2．窄束X線的獲取配準直器。X線通過準直器孔后被準直成扁形的窄線束，束寬1～2mm，束高1～5mm。實用中的CT掃描多使用寬扇形X線束，怎樣理解窄束X線？1.不失真地反映人體被測層面的圖像信息；2.短時間內完成；3.理論和技術上可行。二、圖像重建要求三、圖像重建的數學基礎1．吸收系數（3-3）

（3-5）

設f(s)是沿著X線束路徑隨S連續變化的物體吸收系數。（3-5）式寫成對連續函數f(s)變化的積分形式：

（3-6）

P是X線束穿透物體的投影。

1．

吸

收

系

數1．吸收系數設斷層平面在直角坐標系X-Y中，斷層平面上每一點的吸收系數是坐標(x，y)的函數f(x，y)。X線束在平移和旋轉掃描中，X線的投影P總是與X線來路徑l

有關，用極坐標(R，θ）坐標系來描述X線束路徑l

的位置。1．吸收系數投影P是隨X線束掃描方向和路徑的不同而變化，經過坐標變換后，X線束穿過吸收系數f(x，y)的物體，在R-θ坐標平面上的投影的是坐標（R，θ）的函數P(R，θ)。當在某一θ角度時，將(3-6)式表示為平面坐標上的投影P(R，θ)：

(3-8)1．吸收系數分析：數據采集(掃描)得到X線束在各個方向上的投影Pθ(R，θ)；

CT圖像重建就是要從積分方程(3-8)式中解出吸收系數f（x，y）。如何根據投影Pθ(R，θ)求解出斷面上線性衰減系數f(x，y)分布，就是CT圖像重建的數學方法問題。2.卷積計算

v(x)為濾波函數，ω(x)表示投影函數Pθ（R，θ），意義：通過選擇不同的濾波函數

v(x)可對投影Pθ（R，θ）變換或濾波，獲取清晰的CT圖像。★(一)反投影法(backprojection)又稱總和法，是利用投影數值近似地復制出μ

值的二維分布。基本原理：是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投影后，在影像處進行疊加，推斷出原圖像。四、圖像重建方法★(一)

反

投

影

法★(一)反投影法例：對四個體素(μ1=2

，μ2=4

，μ3=6

，μ4=8)矩陣的圖像重建：對四體素矩作0°、45°、90°、135°投影(掃描)，再將投影值反投回原矩陣的對應位置上，即可將原矩陣中的四體素的特征參數值解出。★(一)反投影法★(一)反投影法缺點：影像邊緣處不清晰。如果在一均勻的組織密度內，存在吸收系數極不均勻的部分時，反投影圖像與原圖像會出現偽影(imageartifact)。如圓柱形單密度體，利用反投影法所重建圖像的結果呈現出星形偽影。反投影數量愈多，重建圖像愈接近于原圖像，但由于存在星形偽影，而使得重建圖像的邊緣部分模糊不清。★(一)反投影法★(一)反投影法★(一)反投影法重建圖像的邊緣模糊不清原因：重建的密度函數fb(x，y)與實際的密度函數f(x，y)不一樣。為獲得真實的密度函數，必須對fb(x，

y)進行修正。反投影吸收系數fb(x，y)與實際f(x，y)之間存在一個1/r，1/r稱為模糊因子。(三)濾波反投影法采用先修正、再反投影的做法，得到原始的密度函數。基本做法：在某一投影角下取得投影函數（1D函數）后，對其作濾波處理，得到一個經過修正的投影函數。然后再將