習題課隨機變量的均值與方差課標要求素養(yǎng)要求1.進一步理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題.通過進一步研究離散型隨機變量的均值與方差，提升數(shù)學運算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元，為保護設備，有如下三種方案：方案一：運走設備，搬運費為3800元；方案二：建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案三：不采取任何措施，希望不發(fā)生洪水．問題試比較哪種方案好？提示用X1，X2，X3分別表示三種方案的損失．易知E(X1)＝3800，E(X2)＝2000＋60000×0.01＝2600，E(X3)＝60000×0.01＋10000×0.25＝3100.所以方案二平均損失最小，所以選擇方案二．1．離散型隨機變量的均值與方差在進行決策時，一般先根據(jù)期望的大小來決定，當期望值相同或相差不大時，再利用方差進行決策若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝___________________________為隨機變量X的均值或__________，它反映了離散型隨機變量取值的__________．(2)方差x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學期望平均水平2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝________________． (2)D(aX＋b)＝______________

(a，b為常數(shù))．3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝______________． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝________________．a(chǎn)E(X)＋ba2D(X)p(1－p)np(1－p)拓展深化[微判斷]1．期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān)．

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提示由數(shù)學期望公式可知不正確．2．隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量．

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)3．均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事．

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提示均值即期望值刻畫了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事．×√×[微訓練]1．已知離散型隨機變量X的分布列為[微訓練]1．已知離散型隨機變量X的分布列為答案B[微思考]隨機變量的均值與樣本的平均值有何聯(lián)系與區(qū)別？提示

隨機變量的均值是常數(shù)，而樣本的均值，隨樣本的不同而變化，對于簡單的隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體均值.題型一放回與不放回問題的均值【例1】在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽樣時，抽取次品數(shù)X的均值； (2)放回抽樣時，抽取次品數(shù)Y的期望與方差．

解(1)法一由題知X的可能取值為0，1，2.∴隨機變量X的分布列為∴隨機變量X服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，∴隨機變量X服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，規(guī)律方法不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，求均值可利用公式代入計算．解(1)設甲袋中紅球的個數(shù)為x，所以X的分布列為題型二與排列、組合有關(guān)的分布列的均值【例2】如圖所示，從A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求均值E(V)．因此V的分布列為規(guī)律方法解此類題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機變量X取每個值時所對應的隨機事件，然后利用排列、組合知識求出X取每個值時的概率，利用均值的公式便可得到期望．即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.所以m的值為6.沒記住的數(shù)學公式有10－6＝4個，故Y的可能取值為0，1，2，3.所以Y的分布列為①E(X)>E(Y)，說明記住公式個數(shù)的均值大于沒記住公式個數(shù)的均值．②E(X)＋E(Y)＝3，說明記住和沒記住的均值之和等于隨機抽取公式的個數(shù)．解X的可能取值為0，1，2.設該學生第一次、第二次身體體能考核合格分別為事件A1，A2，第一次、第二次外語考核合格分別為事件B1，B2，所以X的分布列為規(guī)律方法若隨機變量取某一值的概率較為復雜或不好求時，可以利用分布列的性質(zhì)求其概率．【訓練3】某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為X12345P0.40.20.20.10.1若商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．(1)求事件A“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的均值E(Y)與方差D(Y)．P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.(2)Y的可能取值為200，250，300.P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此Y的分布列為Y200250300P0.40.40.2E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．D(Y)＝(200－240)2×0.4＋(250－240)2×0.4＋(300－240)2×0.2＝1400.

題型四均值與方差問題的實際應用【例4】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選哪個？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，且X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列為(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)．當n＝19時，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．當n＝20時，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．可知當n＝19時所需費用的均值小于當n＝20時所需費用的均值，故應選n＝19.規(guī)律方法隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．(2)法一設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2)．因為E(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大．法二設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：因為E(Y1)＞E(Y2)，所以二人都選擇方案甲抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學運算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．實際問題中的均值、方差問題

均值在實際中有著廣泛的應用，如體育比賽的安排和成績預測、消費預測、工程方案的預測、產(chǎn)品合格率的預測、投資收益的預測等，都可以通過隨機變量的均值來進行估計．3．概率模型的解答步驟 (1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些． (2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值． (3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論．二、素養(yǎng)訓練1．若隨機變量X的分布列如下表所示，則E(X)等于(

)X012345P2x3x7x2x3xx答案C2.某一供電網(wǎng)絡有n個用電單位，每個單位在一天中用電的機會都是p，則供電網(wǎng)絡中一天平均用電的單位個數(shù)是(

) A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p)解析用電單位的個數(shù)X～B(n，p)，∴E(X)＝np.答案B3．已知離散型隨機變量X的分布列為答案B4．已知小明投10次籃，每次投籃的命中率均為0.7，記10次投籃中命中的次數(shù)為X，則D(X)＝__________．

解析由題意，知X～B(10，0.7)，則D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1.

答案2.15．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定． (1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值．所以X的分布列為備用工具&資料5．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行