7.4二項分布與超幾何分布7．4.1二項分布

課標要求素養要求1.通過具體實例了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征.2.能用二項分布解決簡單的實際問題.通過學習二項分布的概念及研究其數字特征，提升數學抽象及數據分析素養.新知探究“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是在中國民間流傳很廣的一句諺語，這句諺語是非常有道理的，下面我們從概率的角度來探討一下這個問題：假如劉備手下有諸葛亮和9名謀士組成的智囊團，假定對某事進行決策時，每名謀士決策正確的概率為0.7，諸葛亮決策正確的概率為0.85，現在要為某事能否可行征求每位謀士的意見，并按照多數人的意見作出決策，試比較諸葛亮和智囊團決策正確概率的大?。畣栴}上述情境中的問題，假如讓你猜想的話，你能得到正確的答案嗎？提示智囊團決策正確的概率要大于諸葛亮決策正確的概率，具體怎么計算的通過學習本節課的內容即可解決．1．n重伯努利試驗的概念

只包含____個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗具有如下共同特征 (1)同一個伯努利試驗重復做n次； (2)各次試驗的結果相互獨立．兩3．二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為：P(X＝k)＝_________________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作__________________．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝________________．X～B(n，p)np(1－p)拓展深化[微判斷]1．在n重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．

(

)2．在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發生的概率可以不同．

(

)

提示在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發生的概率均相同．×√√[微訓練]2．連續擲一枚硬幣5次，

恰好有3次出現正面向上的概率是__________．2．連續擲一枚硬幣5次，

恰好有3次出現正面向上的概率是__________．3．某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經過3次射擊，

此人至少有兩次擊中目標的概率為__________．

解析設擊中目標的次數為X，則X～B(3，0.6)．[微思考]1．你能說明兩點分布與二項分布之間的關系嗎？

提示兩點分布是特殊的二項分布，即X～B(n，p)中，當n＝1時，二項分布便是兩點分布，也就是說二項分布是兩點分布的一般形式．2．在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互有影響嗎？

提示

在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互之間無影響．因為每次試驗是在相同條件下獨立進行的，所以第i＋1次試驗的結果不受前i次結果的影響(其中i＝1，2，…，n－1).

題型一n重伯努利試驗的判斷【例1】判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗： (1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上； (2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中； (3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．解(1)由于試驗的條件不同(質地不同)，因此不是n重伯努利試驗．(2)某人射擊且擊中的概率是穩定的，因此是n重伯努利試驗．(3)每次抽取時，球的個數不一樣多，且每種顏色出現的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗．規律方法

n重伯努利試驗的判斷依據(1)要看該試驗是不是在相同的條件下可以重復進行．(2)每次試驗的結果相互獨立，互不影響．【訓練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標．

其中是n重伯努利試驗的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重伯努利試驗．

答案D【訓練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標．

其中是n重伯努利試驗的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重伯努利試驗．

答案D題型二n重伯努利試驗概率的求法【例2】某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算：(結果保留到小數點后第2位) (1)“5次預報中恰有2次準確”的概率； (2)“5次預報中至少有2次準確”的概率．

解(1)記“預報一次準確”為事件A，則P(A)＝0.8. 5次預報相當于5次伯努利試驗． “恰有2次準確”的概率為(2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，其概率為所以所求概率為1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次預報中至少有2次準確”的概率約為0.99.規律方法n重伯努利試驗概率求解的關注點(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式．(2)運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結果只有兩種(即要么發生，要么不發生)，在任何一次試驗中某一事件發生的概率都相等，然后用相關公式求概率．解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標，是在確定的情況下擊中目標3次，也就是在第二、四次沒有擊中目標，所以只有一種情況，又因為各次射擊的結果互不影響，故所求概率為(2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標，符合n重伯努利試驗概率模型．故所求概率為X的分布列為(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(X≤3)，規律方法解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入相應的公式求解．若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【訓練3】

某廠一批產品的合格率是98%. (1)求從中抽取一件產品為正品的數量的方差； (2)求從中有放回地隨機抽取10件產品，計算抽出的10件產品中正品數的方差及

標準差．

解(1)用Y表示抽得的正品數，則Y＝0，1. Y服從兩點分布，且P(Y＝0)＝0.02，P(Y＝1)＝0.98，

所以D(Y)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196. (2)用X表示抽得的正品數，則X～B(10，0.98)，

所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，一、素養落地1．通過本節課的學習，進一步提升數學抽象及數據分析素養．2．n重伯努利試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；第二，各次試驗的結果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生．答案B答案C3．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣10次，設兩枚硬幣同時出現反面的次數為X，則D(X)等于(

)解析因為X～B(2，p)，所以X的分布列為備用工具&資料3．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣10次，設兩枚硬幣同時出現反面的次數為X，則D(X)等于(

)【訓練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標．

其中是n重伯努利試驗的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重伯努利試驗．

答案D[微思考]1．你能說明兩點分布與二項分布之間的關系嗎？

提示兩點分布是特殊的二項分布，即X～B(n，p)中，當n＝1時，二項分布便是兩點分布，也就是說二項分布是兩點分布的一般形式．2．在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互有影響嗎？

提示

在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互之間無影響．因為每次試驗是在相同條件下獨立進行的，所以第i＋1次試驗的結果不受前i次結果的影響(其中i＝1，2，…，n－1).

3．二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為：