2.3.3點到直線的距離公式

2.3.4兩條平行直線間的距離

課堂檢測?固雙基

1.點（1,2）到直線y=2r+l的距離為（）

A.當(dāng)B,平

C.小D.2小

2.已知兩點A（3,2）和8（—1,4）到直線,nr+y+3=0的距離相等，則相為（）

A.0或一2B.$或一6

C.-g或1D.0或3

3.平行直線/i：3x—y=0與'3x—y+?lb=0的距離等于（）

A.1B.0

C.V10D.3

4.已知直線/過點（2,小），傾斜角為120。，求點（1,一小）到直線/的距離.

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.已知點M（l,4）到直線/：爾+），-1=0的距離等于1,則實數(shù)相等于（）

33

--

A.4B.-4

2.兩平行直線x+y+2=0與x+y—3=0的距離等于（）

A.平B.坐

C.5&D.a

3.已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2,6）、8（—4,3）、C（2,一3）,則點A到BC邊

的距離為（）

A.|B.印

C.D.45

4.(2020.益陽高一檢測)直線2x+3y+\=0與4x+,町，+7=0平行，則它們之間的距離

為()

A.4B.喈

。26620

5.若點4(一3,—4)、8(6,3)到直線/：ov+y+1=0的距離相等，則實數(shù)a的值為()

71

--

A.9B.-3

二、填空題

6.已知直線/i：(%—3m+(4—%))，+1=0與直線/2：2(A~3>x-2y+3=0平行，則(與

/2間的距離為一.

7.過點A(—3,1)的所有直線中，與原點距離最遠(yuǎn)的直線方程是—.

8.若A(l,4)、8(—3,1),過點B的直線/與點A的距離為".

(l)d的取值范圍為；

(2)當(dāng)4取最大值時，直線/的方程為一；

(3)當(dāng)d=4時，直線/的方程為.

三、解答題

9.已知三條直線/i：4x+y—4=0,h：mx+y=0,h：2x—3/n>—4=0.求，"的值，使

它分別滿足以下條件：

(1)/1，，2，，3交于同一點；

(2)/1，11,/3不能圍成三角形.

10.兩互相平行的直線分別過46,2)、B(—3,-1),并且各自繞著A、8旋轉(zhuǎn)，如果兩

條平行線間的距離為土

(1)求"的變化范圍；

(2)求當(dāng)”取得最大值時的兩條直線方程.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知點4(1,3)、8(3,1)、C(-l,0),則△ABC的面積等于()

A.3B.4

C.5D.6

2.（多選題）（2020?濰坊高一檢測）與直線/：3x~4y~\=0平行且到直線/的距離為2的

直線方程是（）

A.3x—4y—ll=0B.3x—4）'+9=0

C.3x~4y+11=0D.3彳-4丫-9=0

3.到兩條直線63x—4），+5=0與/2：5x—12），+13=0的距離相等的點尸（x,y）必定滿

足方程（）

A.%—4>'+4=0

B.7x+4y=0

C.x—4y+4=0或4x—8y+9=0

D.7x+4y=0或32r-56y+65=0

4.（2020?定州中學(xué)高一期末）兩直線3》+），-3=0與6x+my+1=0平行，則它們之間的

距離為（）

A.4B.當(dāng)

嫗出

。2620

二、填空題

5.（2020?遼寧省鞍山市高一期末）已知直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點尸（1,3）到直

線/的距離為山，則直線/的方程為一.

6.（2020?江西省贛州市高一期末）過點4（1,2）且與點尸（3,2）距離最大的直線方程是—.

7.（2020?湖南省長沙市岳麓區(qū)高三模擬）已知a+h=3,則.次+廿+10〃-4/29的最

小值為?

三、解答題

8.（2020?定州中學(xué)高一期末）已知aABC三邊所在直線方程：IAB：3x—2y+6=0,lAc：

2x+3y~22=0,IBC-3x+4），-wt=0（，"GR,mH30）.

（1）判斷△ABC的形狀；

（2）當(dāng)BC邊上的高為1時，求加的值.

9.已知直線/經(jīng)過點A（2,4）,且被平行直線小x—y+l=0與8x—y—1=0所截得

的線段的中點M在直線x+y—3=0上.求直線/的方程.

2.3.3點到直線的距離公式

2.3.4兩條平行直線間的距離

課堂檢測?固雙基

1.點（1,2）到直線y=2r+l的距離為（A）

2小

A.

當(dāng)5

C.小D.2小

|2-2+1|_^5

［解析］點（1,2）到直線y=2x+l的距離為4=

74+1'

2.已知兩點A（3,2）和8（—1,4）到直線蛆+y+3=0的距離相等，則根為（B）

A.0或一5B.彳或一6

D.0或3

C.

［解析］由題知直線爾+>+3=0與AB平行或過AB的中點，則有一,〃=_］_3或

義2+一—+3=0,.?.相=2或m=-6.

3.平行直線/i：3x—y=0與方3x—y+回=0的距離等于(A)

A.1B.0

C.VTbD.3

lo-VToi

［解析］d=

《2+(—1)2—

4.己知直線/過點（2,小），傾斜角為120。，求點（1,一小）到直線/的距離.

［解析］:直線/過點（2,小），傾斜角為120°,故直線的斜率為tan120。=一小，故直

線/的方程為y———2）,即小x+y—3A/3=0.則點（1,一"4）到直線I的距離為

I小一小一3小3V§

■\/3+12

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.已知點M（l,4）到直線/：〃優(yōu)+>-1=0的距離等于1,則實數(shù)相等于（C）

33

--

A.4B.-4

44

C.D.

33

I解析】由題意得端解得片一*

2.兩平行直線x+y+2=0與x+y—3=0的距離等于（A）

A.平B.當(dāng)

C.5y［2D.也

［解析］直線x+y+2=0與x軸的交點是P（—2,0）,點尸到直線x+y—3=0的距離4

=匕■u=平，即這兩條平行線間的距離為平.

3.已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為4（2,6）、8（—4,3）、C（2,一3）,則點A到8C邊

的距離為（B）

R幽

D?2

2小

C.D.4小

5

［解析】BC邊所在直線的方程為富，即x+y+l=0；則d/Xl+^l+U

—3—32十4

=隨

—2?

4.（2020?益陽高一檢測）直線2x+3y+l=0與4x+〃q+7=0平行，則它們之間的距離

為（C)

2灰

A.4B.

13

5g75

C.D.

2620

［解析］由題意，得2〃L3X4=0,???機=6?

7

口一習(xí)5布

故兩直線2x+3y+1=0與4x+6y+7=0的距離4=木耳手=■

5.若點4一3,—4）、仇6,3）到直線/：ox+y+1=0的距離相等，則實數(shù)a的值為（C）

A29B..q

C.一￡或一；D.看或;

［解析］由題意及點到直線的距離公式得匕好手=華誓，解得。=一;或一看

yja^+i7"+1。>

二、填空題

6.已知直線/i：(攵-3)x+(4—A)y+l=O與直線6：2(左一3)——2y+3=0平行,則6與

，2間的距離為或2k.

［解析］??1〃/2,

.j(k-3)X(-2)-2(k-3)(4-k)=0

?［(_2)X］_(4T)X3#0

解得k=3或k=5.

35

當(dāng)2=3時，Zi：y=-1,h：y—y此時/i與b間的距離為,

13—21

當(dāng)％=5時，62x-y+l=0,/：4x—2y+3=0,此時人與，2間的距離為了=

2?^/42+(-2)2

亞

10-

7.過點A(—3,1)的所有直線中，與原點距離最遠(yuǎn)的直線方程是3x—y+原=0.

［解析］當(dāng)原點與點A的連線與過點A的直線垂直時，距離最大.：垢4=一；，...所求

直線的方程為y—l=3(x+3),即3x—y+10—0.

8.若A(l,4)、過點3的直線/與點A的距離為d.

(1)J的取值范圍為10,51:

(2)當(dāng)d取最大值時，直線I的方程為4x+3y+9=。；

(3)當(dāng)4=4時，直線/的方程為7x+24y-3=0或x=-3.

I解析］(1)用數(shù)形結(jié)合法容易得到，當(dāng)直線/LAB時，d取最大值，當(dāng)/經(jīng)過A、8時,

1取最小值，

...0W4W5.

］4—13

(2)當(dāng)d=5時，ki=-7-，kAB="［/

KAB1一(—3)4

4

?二直線/的方程y—1=—§(冗+3),即：4x+3y+9=0.

(3)設(shè)/：>一1=&。+3),即:kx-y+3k+\=0,

由A(l,4)到/距離為4知

近岸-4...k—24,

當(dāng)斜率攵不存在時，工=一3也滿足題意.

故所求直線方程為：7x+24y—3=0或1=—3.

三、解答題

9.已知三條直線八：4x+y—4=0,fc：nr+y=0,h：2x—3my—4=0.求團的值，使

它分別滿足以下條件：

(1)/Hh,，b交于同一點；

(2)/1,/2,b不能圍成三角形.

［解析］⑴由4x+y—4=0得y=-4x+4代入h,b的方程中分別得汨=〃?_4'X2=

6/〃+2

I+6〃2’

由——4；=丁6m丁+27,解得加=-1或2右經(jīng)檢驗都符合題意?

相一46根十I3

2

(2)首先由(1)知，當(dāng)機=-1或1時，不能圍成三角形；

2

又kl\=-4,kh=—tn,kh=^~,

則

若h〃b,則m=4；若/]〃3

由于助與的異號,顯然/2與/3不平行.

、12、

綜上知，/n=-l9一不§或4.

10.兩互相平行的直線分別過A(6,2)、5(—3,-1),并且各自繞著A、B旋轉(zhuǎn),如果兩

條平行線間的距離為〃

(1)求d的變化范圍；

(2)求當(dāng)d取得最大值時的兩條直線方程.

［解析］解法一：(1)設(shè)兩條直線方程分別為

y=kx+b\和y=kx-\-bi,

\2=6k+b]bx=2-6k

則?即＜

I-1=-3k+b?b2=3k-l

也一歷|J9A—3|

而d=,兩邊平方整理得

qi+0一Ni+必

即（81一心）產(chǎn)-54A+9一法=0,

由于kGR,所以/=542—4（81—法）（9一/）》0,整理得4d2（心一90）W0,.?.0VdW3E.

,—54

（2）因d=3也時，&=（8][90）X2=-3,

故兩直線方程分別為3x+y-20=0和3%+y+10=0.

解法二：（1）由圖形可知，當(dāng)兩平行線均與線段A8垂直時，距離4=|48|=3也最大,

當(dāng)兩直線都過A、B點時距離4=0最小，但平行線不能重合.

.?.OVK?.

（2）兩直線方程分別是：3%+y—20=0和3x+y+10=0.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知點41,3）、仇3,1）、C（-l,0）,則△ABC的面積等于（C）

A.3B.4

C.5D.6

［解析］設(shè)AB邊上的高為〃，則SAABc=^\AB\h.|AB|=d（3—l）2+（l—3尸2啦,AB

邊上的高/?就是點C到直線4B的距離.AB邊所在的直線方程為匕==，即x+y—4

1—33一1

=0.點C到直線x+y—4=0的距離為^—節(jié)^——=^,因此，SZMBC=；X2&X左=5.

2.（多選題）（2020?濰坊高一檢測）與直線/：3x—4y—1=0平行且到直線/的距離為2的

直線方程是（AB）

A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0

C.3x-4y+ll=0D.3x-4y-9=0

I解析］設(shè)所求直線方程為3x-4y+m=0,由題意得^

解得m=9或一IL

3.到兩條直線小3工-4），+5=0與/2：5xT2y+13=0的距離相等的點P（x,y）必定滿

足方程（D）

A.x—4y+4=0

B.7x+4y=0

C.x-4y+4=0或4x—8y+9=0

D.7x+4y=0或32x-56y+65=0

I解析］結(jié)合圖形可知，這樣的直線應(yīng)該有兩條，恰好是兩條相交直線所成角的平分

|3x-4y+5||5x~12y+13|CTrT3x—4y+55x-12y+13

線.由公式可得?^32+；-4)2即5=±13)

^/52+(-12)2

化簡得7x+4y=0或32x-56y+65=0.

4.（2020?定州中學(xué)高一期末）兩直線3x+y-3=0與6x+沖+1=0平行，則它們之間的

距離為（D）

A.4B.智

巡D巡

。26J20

［解析］二?直線3x+y—3=0與6x+my-\-1=0平行，

??.9=與"一］，解得機=2.

31—3

因此，兩條直線分別為3x+y—3=0與6x+2y+1=0,

即6x+2y-6=0與6x+2y+l=0.

...兩條直線之間的距離為"=屁，^=焉==祟?

二、填空題

5.(2020?遼寧省鞍山市高一期末)已知直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點尸(1,3)到直

線/的距離為則直線I的方程為x—y=0或7x+y=0或x+y—2=0或x+y—6=0_.

I解析］由題意知，若截距為0,

則設(shè)所求直線/的方程為y=fcx(&W0).

由題意知￡2=巾,解得左=1或一7,此時直線/的方程為工一y=0或7x+y=0.

7片+F1

若截距不為0,則設(shè)所求直線/的方程為x+y-a=0(a^0).

由題意知世滑=也，解得。=2或。=6,此時直線/的方程為x+y—2=0或x+y

—6=0.

綜上，所求直線/的方程為x—y=0或7x+y=0或x+y~2=0或x+y—6=0.

6.(2020.江西省贛州市高一期末)過點A(l,2)且與點P(3,2)距離最大的直線方程是丁=

1.

［解析］如圖，當(dāng)過點A的直線恰好與直線4尸垂直時，所求直線與點P的距離最大，

故所求直線方程為x=l.

7.(2020?湖南省長沙市岳麓區(qū)高三模擬)已知a+b=3,

小值為」啦

I解析I由題意易得點P(a,①在直線x+y—3=0上,

而、ca+^+iOa—46+29=、(a+5)2+(i>—2)2,因此原問題可以轉(zhuǎn)化為求點P(a,/?)與

點4一5,2)的距離的最小值，又點4-5,2)到直線工+廠3=0的距離dJT%—31=3啦,

故班2+右2+10。―46+29的最小值為36.

三、解答題

8.(2020?定州中學(xué)高一期末)已知△ABC三邊所在直線方程：lAB-3x-2y+6=0,lAC-

2x+3y~22=0,he：3x+4)，一〃z=0(mGR,%#30).

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)當(dāng)BC邊上的高為1時，求，〃的值.

32

［解析］⑴直線AB的斜率為a=5，直線AC的斜率為心c=—1,

所以kAB'kAC~-1,

所以直線A8與AC互相垂直,

因此，AABC為直角三角形.

3x-2y+6=0目x—2

(2)解方程組-2x+3y—22=0'可,,即42,6).

)=6

13X2+4X6-，/130fl

由點到直線的距離公式得d=

V^+455

.,|30一，

當(dāng)d=l時，七~~1=1,即|30一訓(xùn)=5,

解得m—25或m—35.

9.已知直線/經(jīng)過點4(2,4),且被平行直線東