第三章圓錐曲線的方程綜合檢測卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．2．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，且，則M點到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．3．已知拋物線（）的焦點為F.若直線與C交于A，B兩點，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．5．直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（

）A．6 B．8 C．2 D．46．已知直線與雙曲線無公共交點，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點A滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．8．橢圓的焦點為，，橢圓上的點滿足，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．下列雙曲線中以為漸近線的是（

）A． B． C． D．10．對任意的，方程所表示的曲線可能為（

）A．雙曲線 B．拋物線 C．橢圓 D．圓11．已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值12．已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．若是雙曲線上一點，則到兩個焦點的距離之差為______.14．設雙曲線的兩個焦點分別為、，P為雙曲線上一點，若，則______．15．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為_______．16．是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知拋物線上的點到焦點F的距離為6．(1)求拋物線C的方程；(2)過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段的中點，求直線l方程．18．已知雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且與以點為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個頂點與點A關于直線對稱，設直線l過點A，斜率為k．(1)求雙曲線C的方程；(2)當時，在雙曲線C的上支上求點B，使其與直線l的距離為．19．已知橢圓的左焦點，右頂點．(1)求的方程(2)設為上一點（異于左、右頂點），為線段的中點，為坐標原點，直線與直線交于點，求證：．20．已知拋物線，O是坐標原點，F是C的焦點，M是C上一點，，．(1)求拋物線C的標準方程；(2)設點在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．21．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．22．已知拋物線的頂點在坐標原點，橢圓的頂點分別為，，，，其中點為拋物線的焦點，如圖所示.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.第三章圓錐曲線的方程綜合檢測卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據標準方程可得的值，進而可用離心率公式求解.【詳解】由雙曲線，得，，∴，，∴，故選:C．2．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，且，則M點到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設點的坐標，由焦半徑公式列出方程，求出點的橫坐標，從而求出縱坐標，得到答案.【詳解】由題意得，所以準線為，又因為，設點的坐標為，則有，解得：將代入解析式得：，所以M點到x軸的距離為．故選：D．3．已知拋物線（）的焦點為F.若直線與C交于A，B兩點，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】將代入，求出點、的坐標，利用弦長求出，進而求得結果.【詳解】將代入，解得，則、，所以，解得，則.故選：C.4．已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：構造并利用，從而求出，得出橢圓C的標準方程；方法二：若橢圓的標準方程為，則過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的線段為橢圓的通徑，其長為，并利用，求出，從而得出橢圓C的標準方程.【詳解】方法一：由題意，設橢圓C的標準方程連接，如圖所示．由題意，得，．在中，①．又②．由①②，得a＝2，所以，所以橢圓C的標準方程為．方法二：由題意，設橢圓C的標準方程為，則，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，故橢圓C的標準方程為．故選：C.5．直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（

）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B【分析】聯立直線與拋物線的方程，根據拋物線的焦點坐標，結合焦點弦長公式求解即可【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B6．已知直線與雙曲線無公共交點，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關系即可求得結果.【詳解】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒有公共交點，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.7．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點A滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線得到焦點坐標和準線方程，設，利用拋物線的定義可得到，代入拋物線可得或，即可得到答案【詳解】解：由拋物線得，準線為，設，則由拋物線的定義可得即，將代入拋物線可得，即或，當的坐標為時，則的斜率；當的坐標為時，則的斜率；故選：C．8．橢圓的焦點為，，橢圓上的點滿足，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面設點到軸的距離為，則，所以，即可求解【詳解】易得．設，，則．在中，由余弦定理得，即，則，所以．設點到軸的距離為，則，故，解得．故選：C．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．下列雙曲線中以為漸近線的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】依次求4個選項中的漸近線方程即可.【詳解】A選項：漸近線方程，正確；B選項：漸近線方程，正確；C選項：漸近線方程，錯誤；D選項：漸近線方程，正確；故選：ABD.10．對任意的，方程所表示的曲線可能為（

）A．雙曲線 B．拋物線 C．橢圓 D．圓【答案】ACD【分析】分情況討論不同取值時所表示的曲線.【詳解】因為，所以當時，方程可化為，表示兩條直線；當時，方程化為，表示焦點在軸上的橢圓；當時，方程化為，表示圓；當時，方程化為，表示焦點在軸上的橢圓；當時，方程化為，表示焦點在軸上的雙曲線；故選：ACD.11．已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值【答案】ABC【分析】設橢圓短軸頂點為根據得的最大角為鈍角即可判斷A；記，則，結合余弦定理與基本不等式求解判斷B；結合題意得，進而計算面積判斷C；設，直接求解即可判斷D.【詳解】解：設橢圓短軸頂點為，由題知橢圓：中，，所以，，，，，對于A選項，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在P使得，正確；對于B選項，記，則，由余弦定理：，當且僅當時取“=”，B正確；對于C選項，由于，故，所以，C正確；對于D選項，設，則，，于是,故錯誤.故選：ABC12．已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．若是雙曲線上一點，則到兩個焦點的距離之差為______.【答案】【分析】由雙曲線方程可得，根據雙曲線定義可求得結果.【詳解】由題意得：雙曲線標準方程為，則，由雙曲線定義知：，則.故答案為：.14．設雙曲線的兩個焦點分別為、，P為雙曲線上一點，若，則______．【答案】0【分析】先由雙曲線的定義結合已知求得，進而可求出.【詳解】由題意得，，聯立，因此，則．故答案為：0.15．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為_______．【答案】【分析】連接，設（），則.利用橢圓的定義表示出，由勾股定理求出，即可得到，進而求出直線的斜率.【詳解】如圖，連接.設（），則.因為，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．故答案為：-2.16．是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．【答案】##【分析】求出圓心坐標和拋物線的焦點坐標，把的最小值轉化為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點，因為是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離，即，所以的最小值為，故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知拋物線上的點到焦點F的距離為6．(1)求拋物線C的方程；(2)過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段的中點，求直線l方程．【答案】(1).(2).【分析】（1）由拋物線定義有求參數，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設，聯立拋物線方程，結合韋達定理、中點坐標求參數k，即可得直線l方程．(1)由題設，拋物線準線方程為，∴拋物線定義知：，可得，∴.(2)由題設，直線l的斜率存在且不為0，設，聯立拋物線方程，有，整理得，則，又P是線段的中點，∴，即，故.18．已知雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且與以點為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個頂點與點A關于直線對稱，設直線l過點A，斜率為k．(1)求雙曲線C的方程；(2)當時，在雙曲線C的上支上求點B，使其與直線l的距離為．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據對稱求出，確定，在由到漸近線距離為1列出方程，求出，確定雙曲線方程；（2）設出，寫出直線l的方程，利用點到直線距離列出方程，求出，寫出點B坐標.（1）因為雙曲線的焦點坐標在軸上，所以設雙曲線方程為，因為，頂點與點A關于直線對稱，所以，即，設雙曲線漸近線為，由題意得：到漸近線距離為1，即，解得：，所以雙曲線方程為.（2）設是雙曲線C上到直線的距離為的點，所以，解得：，此時，即．19．已知橢圓的左焦點，右頂點．(1)求的方程(2)設為上一點（異于左、右頂點），為線段的中點，為坐標原點，直線與直線交于點，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意，求得a，c的值，根據a，b，c的關系，求得的值，即可得答案.（2）設點，即可得M點坐標及直線OM的方程，與直線l聯立，可得N點坐標，即可得坐標，結合數量積公式，即可得證（1）設橢圓的半焦距為．因為橢圓的左焦點，右頂點，所以，．所以，故C的方程為：；（2）設點，且，因為為線段的中點，所以，所以直線的方程為：，令，得，所以點，此時，，，所以，所以，所以．20．已知拋物線，O是坐標原點，F是C的焦點，M是C上一點，，．(1)求拋物線C的標準方程；(2)設點在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點的坐標及準線方程，由及拋物線的性質可得的橫坐標，再由．可得的縱坐標，將的坐標代入拋物線的方程可得的值，進而求出拋物線的方程；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程，與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，求出數量積的表達式，由數量積為0可得參數的關系，代入直線的方程可得直線恒過定點．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點，與Q點重合，不符合；若，則，過定點．綜上，直線過異于Q點的定點．21．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；