1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一空間向量的夾角1．定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.考點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考點(diǎn)三向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型歸納】題型一：空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算1．已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對(duì)角線AC1的長(zhǎng)為（

）．A．6 B． C．3 D．2．如圖，在平行六面體中，，，則（

）A．1 B． C．9 D．33．設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．題型二：求空間向量的數(shù)量積4．如圖，在平行六面體中，，，，則（

）A．12 B．8 C．6 D．45．如圖，已知正方體，設(shè)，，，則（

）.A． B． C． D．6．已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2題型三：空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用（夾角和模）7．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則的值為（

）A． B． C． D．8．在平形六面體中，其中，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C．0 D．題型四：空間向量的數(shù)量積的綜合10．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，設(shè)．(1)求；(2)求．11．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為4，且.用向量法求:(1)的長(zhǎng);(2)直線與所成角的余弦值.12．平行六面體，(1)若，，，，，，求長(zhǎng)；(2)若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，連接AC，BD，SB，SC，SD，下列各組運(yùn)算中，不一定為零的是（

）A． B． C． D．14．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．15．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．16．若、、為空間三個(gè)單位向量，，且與、所成的角均為，則（

）A．5 B． C． D．17．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．18．如圖，四面體中，，分別為和的中點(diǎn)，，，且向量與向量的夾角為，則線段長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．3或19．棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點(diǎn)，且滿足，，則（

）A． B． C． D．20．已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，則（

）A． B．3 C． D．221．如圖，在單位正方體中，設(shè)，，，求：(1)；(2)；(3)．22．如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題23．平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．24．在平行六面體中，其中，，，則（

）A．25 B．5 C．14 D．25．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（

）A． B． C． D．26．在正方體中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．向量與的夾角是120° D．正方體的體積為27．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．二、多選題28．已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一定成立的是(

)A．B．C．D．29．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說(shuō)法中正確的是()A．B．C．向量與向量的夾角是60°D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為30．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，則（

）A．B．C．D．異面直線與所成角的余弦值為31．在四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若直線與交于點(diǎn)O，則32．四面體中，各棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于的是（

）A． B．C． D．33．判斷下列結(jié)論正確的是（

）A．空間中任意兩個(gè)非零向量，共面．B．在三個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算中．C．對(duì)于非零向量，由數(shù)量積，則．D．若，，，是空間任意四點(diǎn)，則有．34．如圖，在平行六面體中，，，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題35．已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為_________.36．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為__________.37．已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=___________.38．如圖：二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，則的長(zhǎng)等于__________.39．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則最小值為______．四、解答題40．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，設(shè)，，．(1)用，，表示，并求；(2)求．41．如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對(duì)角線折起，使與成角，求的長(zhǎng).42．三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，.設(shè)，，.(1)試用，，表示向量；(2)若，，，求的長(zhǎng).43．如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)試用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.44．已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，.（1）試用、、表示；（2）求的長(zhǎng)度.45．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M是線段A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段C1D1上，且，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．（1）求滿足的實(shí)數(shù)x、y、z的值．（2）求AC1的長(zhǎng)．46．如圖所示，點(diǎn)是矩形所在平面外一點(diǎn)，且平面，，分別是，上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn).（1）求滿足的實(shí)數(shù)，，的值；（2）若，，求的長(zhǎng).47．如圖，正四面體的高的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.（1）求證：，，兩兩垂直；（2）求.【答案詳解】1．B【詳解】∵，∴∴，即AC1的長(zhǎng)為.故選：B2．D【詳解】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.3．B【詳解】對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，向量不能作比值，即錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)、的夾角為，則，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)判斷等式的正誤，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】【分析】根據(jù)空間向量加法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可.【詳解】故選：B5．D【解析】【分析】利用求出，再求出，則根據(jù)可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，因?yàn)樗裕郑郑蔬x：D.6．D【解析】【分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D7．D【解析】【分析】將用基底表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危遥瑒t為的中點(diǎn)，，則.故選：D.8．B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以，所以有：，因此有：，因?yàn)椋裕裕蔬x：B9．C【解析】【分析】結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出和，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，,則，即，則故選：C.10．(1)(2)【解析】【分析】（1）先按照空間向量的加減運(yùn)算表示出，再按照數(shù)量積運(yùn)算求出；（2）先表示出，再按照數(shù)量積運(yùn)算求解.(1)，，，，，即有；(2)．11．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用基底表達(dá)，求解，從而求出；（2）計(jì)算出，用向量夾角余弦公式求解.(1)，，故，所以的長(zhǎng)為；(2)，由（1）知：，設(shè)直線與所成角為∴，∴直線與所成角的余弦值為.12．(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；(2)以為一組基底，設(shè)與所成的角為，由求解.(1)，，，，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設(shè)與所成的角為，則.13．A【解析】【分析】根據(jù)題意，若空間非零向量的數(shù)量積為0，則這兩個(gè)向量必然互相垂直．據(jù)此依次分析選項(xiàng)，判定所給的向量是否垂直，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于：若與垂直，又與垂直，則平面與垂直，則與垂直，與與不一定垂直矛盾，所以與不一定垂直，即向量、不一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0；對(duì)于：根據(jù)題意，有平面，則，又由，則有平面，進(jìn)而有，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0；對(duì)于：根據(jù)題意，有平面，則，又由，則有平面，進(jìn)而有，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0；對(duì)于：根據(jù)題意，有平面，則，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0.故選：．14．D【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為，再按照數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】由題意得，故.故選：D.15．C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對(duì)其平方化簡(jiǎn)后，再開方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選：C16．C【解析】【分析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C17．C【解析】【分析】利用向量的中點(diǎn)公式表示和，然后利用向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)都為1，所以，故．故選：C．18．A【解析】【分析】取AC的中點(diǎn)E，可得，然后利用模長(zhǎng)公式即得.【詳解】取AC的中點(diǎn)E，連接ME、EN，又，分別為和的中點(diǎn)，∴ME∥BC，且，∥AD，且，∵向量與向量的夾角為，∴向量與向量的夾角為，又，∴，∴，即線段長(zhǎng)為.故選：A.19．D【解析】【分析】用表示，然后計(jì)算數(shù)量積．【詳解】由已知，因?yàn)椋裕蔬x：D．20．B【解析】【分析】選定為基向量，利用向量數(shù)量積的計(jì)算法則求解即可.【詳解】設(shè)，由題意得：，，.故選：B.21．(1)0(2)1(3)3【解析】【分析】由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.(1)在單位正方體中，由題意，所以(2)(3)22．(1)在平面上的投影向量為，；(2)在上的投影向量為，.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面可得在平面上的投影向量，由空間向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的定義計(jì)算的值即可求解；（2）由投影向量的定義可得在上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得的值.(1)因?yàn)槠矫妫栽谄矫嫔系耐队跋蛄繛椋驗(yàn)槠矫妫妫傻茫裕驗(yàn)椋裕?(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量為：，由數(shù)量積的幾何意義可得：.23．A【解析】【分析】先求出，，，，，，再計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，且，則，，，，，，則，故選：A.24．B【解析】【分析】由，則結(jié)合已知條件及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.25．B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計(jì)算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫妫裕值酌媸钦叫危裕瑢?duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.26．D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的知識(shí)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】正方體如圖所示，對(duì)于A選項(xiàng)，，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，在平面內(nèi)的投影為，又因?yàn)椋矗蔅正確；對(duì)于C選項(xiàng)，為等邊三角形，，向量與的夾角是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，故D顯然錯(cuò)誤.故選：D27．B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，從而得出，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出的值.【詳解】解：，，，，，，由圖可知，，，所以的值為.故選：B.28．ABD【解析】【分析】根據(jù)題意在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)部作出四面體ABCD，從圖形上把各個(gè)向量對(duì)應(yīng)的有向線段表示出來(lái)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】由題可知，可做如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè).，，故A正確；，故B正確；∵平面，∴，，∴，但無(wú)法判斷AE和BC是否垂直，故C不一定正確；由圖易知，故＝0，故D正確.故選：ABD．29．AB【解析】【分析】根據(jù)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空間向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題意，正方體ABCD﹣A1B1C1D1如下圖所示：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正確；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BD1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量與向量的夾角是120°，故C錯(cuò)誤；∵AB⊥AA1，∴，故0，故D錯(cuò)誤．故選：AB．30．BD【解析】【分析】取基底，由空間向量數(shù)量積及其性質(zhì)直接計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，，，則，，，，，，，，所以．故選：BD.31．AB【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算、空間向量的數(shù)量積和模的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】對(duì)A，由題意，，A正確；對(duì)B，，B正確；對(duì)C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題意可知，，則，D錯(cuò)誤.故選：AB.32．BD【解析】【分析】利用正四面體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】依題意，四面體ABCD是正四面體，對(duì)于A，，，A不是；對(duì)于B，，，B是；對(duì)于C，因是的中點(diǎn)，則，而，，C不是；對(duì)于D，因是的中點(diǎn)，則，，D是.故選：BD33．AD【解析】【分析】由向量共面的條件判斷A，由數(shù)量積的性質(zhì)判斷B，由向量垂直判斷C，由向量的加法法則判斷D【詳解】對(duì)于A：空間中任意兩個(gè)非零向量，可以構(gòu)成一個(gè)平面，故A正確；對(duì)于B：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)互相垂直時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)向量的加法法則可知：，故,故D正確；故選：AD34．CD【解析】【分析】對(duì)于A：由，可判斷；對(duì)于B：由空間向量的線性運(yùn)算得，從而有，，由此可判斷；對(duì)于C：由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷；對(duì)于D：根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可判斷．【詳解】解：對(duì)于A：在平行六面體中，有，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，，，又，∴，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，由題知，，，，，所以，，故C正確；對(duì)于D：，，．所以．故D正確，故選：CD．35．##【解析】【分析】如圖，在正三棱錐中，以為基底，，，利用向量數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】根據(jù)題意為正四面體，兩兩成角，所以，，所以.故答案為：36．【解析】【分析】由，借助模長(zhǎng)公式得出的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)樗约垂蚀鸢笧椋?7．【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及模長(zhǎng)公式即求.【詳解】∵空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，∴，∴.故答案為：.38．【解析】【分析】由題意，二面角等于，根據(jù)，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因?yàn)椋傻?所以.故答案為：39．【解析】【分析】由已知設(shè)，，，求出向量，的坐標(biāo)，代入空間向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到滿足條件的的值，進(jìn)而得到最小值．【詳解】，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，又向量，，，，，，，則易得當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故答案為：40．(1)，(2)0【解析】【分析】（1）把，，作為基底，利用空間向量基本定理表示，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求，（2）先把用基底表示，然后化簡(jiǎn)求解(1)因?yàn)椋?所以，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，