6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：求指定項的二項式系數(shù)；二項式系數(shù)的增減性和最值；二項式的系數(shù)和；求指定項的系數(shù)；求有理項或其系數(shù)；有項的系數(shù)確定參數(shù)；二項展開式各項系數(shù)和；求系數(shù)最大（?。╉棧黄娲雾椇团即雾椀南禂?shù)；三項展開系數(shù)問題；兩個二項式乘積展開式系數(shù)問題；由二項展開式各項系數(shù)和求參數(shù)課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即性質(zhì)2二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，即性質(zhì)3的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于，即（令即得）性質(zhì)4的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即（即得）性質(zhì)5的二項展開式中，當為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值（即中間項的二項式系數(shù)最大）［特別提醒］1.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一面時卻是不相同的，所以我們一定要注意順序問題。另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通項公式時，要注意：（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n.考點講解考點講解考點1：求指定項的二項式系數(shù)例1．已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項，則含項的系數(shù)為______．【方法技巧】利用二項展開式的通項公式求解.【變式訓練】1．的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．2002．的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．3．若，則______；______.考點2：二項式系數(shù)的增減性和最值例2．已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)最大為C．展開式中沒有常數(shù)項 D．展開式中有理項共有5項【方法技巧】根據(jù)二項式展開式的項數(shù)、展開式的系數(shù)和、二項式系數(shù)最大值、常數(shù)項、有理項等知識求得正確選項.【變式訓練】1．已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2．已知為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（多選）已知的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，則的值可以為（

）A．8 B．9 C．10 D．11考點3：二項式的系數(shù)和例3．已知（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．90 B．10 C．10 D．90【方法技巧】由題意可得，得，然后求出二項式展開式的通項公式，由的次數(shù)為零，求出，從而可求出常數(shù)項.【變式訓練】1．在二項式的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中的的系數(shù)是________．2．已知展開式中第3項與第11項的二項式系數(shù)相等，則二項式系數(shù)和是______．3．已知的展開式中，二項式系數(shù)和為256.(1)此展開式中有沒有常數(shù)項？有理項的個數(shù)是幾個？并說明理由；(2)求展開式中系數(shù)最小的項..考點4：求指定項的系數(shù)例4．的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B．-40 C．40 D．-10【方法技巧】根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.【變式訓練】1．二項式的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為__________3．在的展開式中，各項系數(shù)和是___________；的系數(shù)是___________.考點5：求有理項或其系數(shù)例5．在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）項A．6 B．5 C．4 D．3【方法技巧】先求出二項式展開式的通項公式，然后由為整數(shù)，且，可求出，從而可得答案【變式訓練】1．如果的展開式中第3項與第2項系數(shù)的比是4，那么展開式里x的有理項有________項．（填個數(shù)）2．的展開式中有理項的個數(shù)為________.3．二項式的展開式中，常數(shù)項是________，有理項的個數(shù)為________．考點6：有項的系數(shù)確定參數(shù)例6．已知的展開式中x3的系數(shù)是160，則a=__________.【方法技巧】先由通項化簡整理第k+1項，令x的指數(shù)等于3可得k，然后可解.【變式訓練】1．已知，若，則（

）A． B． C． D．2．已知，若展開式中的系數(shù)為，則常數(shù)a的值為___________.3．已知的展開式中含項的系數(shù)為8，則實數(shù)___________.考點7：二項展開式各項系數(shù)和例7（多選）．若，則（

）A．B．C．展開式中的各項系數(shù)之和為0D．展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為【方法技巧】由二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法即可求解.【變式訓練】1．，則（）A．16

B．27

C．43

D．702．的展開式中所有項的系數(shù)和為________．3．在的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為，則所有項的系數(shù)和等于______考點8：求系數(shù)最大（?。╉椑?．已知，的系數(shù)為______；系數(shù)最大的項是第______項.【方法技巧】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為2，求出，從而可求出，利用二項式的性質(zhì)可求得系數(shù)最大的項【變式訓練】1．按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第項和第項 B．第項C．第項和第項 D．第項2．的展開式中，系數(shù)最大的項為第_____項．3．已知的展開式的二項式系數(shù)和為64.(1)求n的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.考點9：奇次項和偶次項的系數(shù)例9．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【方法技巧】（1）由于，所以其展開式中沒有的奇次項，從而可得答案；（2）令，可得，再令求出，結(jié)合（1）可求得答案；（3）由于，從而由二項式的通項公式可求出結(jié)果【變式訓練】1．若，則(

)A．27 B．－27 C．54 D．－542．已知，則的值為（

）A．24 B．48 C．32 D．723．若，則______.考點10：三項展開系數(shù)問題例10．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．15 B．30 C．36 D．60【方法技巧】運用二項式的通項公式進行求解即可.【變式訓練】1．的展開式中所有不含的項的系數(shù)之和為（

）A． B． C．10 D．642．的展開式中，含項的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.3．的展開式中常數(shù)項為______考點11：兩個二項式乘積展開式系數(shù)問題例11．的展開式中含項的系數(shù)是__________（結(jié)果用數(shù)字表示）.【方法技巧】根據(jù)二項式定理展開式通項的特征即可求解.【變式訓練】1．的展開式中的系數(shù)是（

）A． B．10 C． D．502．的展開式中，記項的系數(shù)為，則______．3．展開式中的系數(shù)為__________．考點12：由二項展開式各項系數(shù)和求參數(shù)例12．已知，若，則自然數(shù)n等于_____．【方法技巧】利用賦值法求解，令，可求出答案.【變式訓練】1．的展開式的各項系數(shù)和為，則a的值是（

）A．2 B．3 C．6 D．82．已知二項式的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．展開式中二項式系數(shù)之和為256C．展開式中第5項為D．展開式中的系數(shù)為3．的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則___________.知識小結(jié)知識小結(jié)二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即性質(zhì)2二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，即性質(zhì)3的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于，即（令即得）性質(zhì)4的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即（即得）性質(zhì)5的二項展開式中，當為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值（即中間項的二項式系數(shù)最大）［特別提醒］1.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一面時卻是不相同的，所以我們一定要注意順序問題。另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通項公式時，要注意：（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A．1 B．3 C．6 D．92．在的展開式中，所有二項式系數(shù)和為64，則（

）A．6 B．7 C．8 D．93．的展開式中系數(shù)最大的項是（

）A．第5項 B．第6項C．第5項、第6項 D．第6項、第7項4．已知，設，則（

）A． B．0 C．1 D．25．已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．166．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．117．已知，則（

）A．6063 B．1 C．22021 D．08．若，則的值是（）A． B．127 C．128 D．129二、多選題9．關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是(

)A．展開式共有8項 B．展開式的各二項式系數(shù)的和為128C．展開式的第7項的二項式系數(shù)為49 D．展開式的各項系數(shù)的和為10．若，則正確的是（

）A．B．C．D．三、填空題11．的展開式中的系數(shù)為__________.12．的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．13．，則_________.14．已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為，則m的值為______．四、解答題15．在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；(5)的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和．16．在二項式的展開式中，已知第2項與第8項的二項式系數(shù)相等.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.(2)求的展開式中的常數(shù)項.6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：求指定項的二項式系數(shù)；二項式系數(shù)的增減性和最值；二項式的系數(shù)和；求指定項的系數(shù)；求有理項或其系數(shù)；有項的系數(shù)確定參數(shù)；二項展開式各項系數(shù)和；求系數(shù)最大（?。╉?；奇次項和偶次項的系數(shù)；三項展開系數(shù)問題；兩個二項式乘積展開式系數(shù)問題；由二項展開式各項系數(shù)和求參數(shù)課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即性質(zhì)2二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，即性質(zhì)3的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于，即（令即得）性質(zhì)4的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即（即得）性質(zhì)5的二項展開式中，當為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值（即中間項的二項式系數(shù)最大）［特別提醒］1.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一面時卻是不相同的，所以我們一定要注意順序問題。另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通項公式時，要注意：（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n.考點講解考點講解考點1：求指定項的二項式系數(shù)例1．已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項，則含項的系數(shù)為______．【答案】405【詳解】解：通項公式為．因為第6項為常數(shù)項，所以時，有，解得．即．令，解得．所以含項的系數(shù)為．故答案為：405．【方法技巧】利用二項展開式的通項公式求解.【變式訓練】1．的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二項式定理求出的展開式通項，再利用多項式相乘進行求解.【詳解】的展開式的通項為，因為，在中，令，得，在中，令，得，所以展開式中項的系數(shù)為.故選：B.2．的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．【答案】7【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為：，令，所以的系數(shù)為，故答案為：3．若，則______；______.【答案】

1

0【分析】令，可得第1空答案；令，可得第2空答案.【詳解】解：令，得；令，得，所以.故答案為：1；0.考點2：二項式系數(shù)的增減性和最值例2．已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)最大為C．展開式中沒有常數(shù)項 D．展開式中有理項共有5項【答案】D【詳解】因為，所以，令，得所有項的系數(shù)和為，故A錯誤.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第7項的二項式系數(shù)為，故B錯誤.因為展開式的通項為，當時，，故C錯誤.當為整數(shù)時，，3，6，9，12，共有5項，故D正確.故選：D【方法技巧】根據(jù)二項式展開式的項數(shù)、展開式的系數(shù)和、二項式系數(shù)最大值、常數(shù)項、有理項等知識求得正確選項.【變式訓練】1．已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，再結(jié)合二項展開式的通項求各項系數(shù)，分析列式求系數(shù)最小項時的值，代入求系數(shù)的最小值.【詳解】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則∴展開式的通項為則該展開式中各項系數(shù)若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，即，解得∴系數(shù)的最小值為故選：C.2．已知為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)確定，由關(guān)系列方程求的值.【詳解】由題意可知,,,即,，解得．故選：C．3．（多選）已知的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，則的值可以為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】BCD【分析】利用二次項系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，則的值可以為或或.當時，的展開式共有項，其中第項與第項的二項式系數(shù)相等且最大，滿足題意，當時，的展開式共有項，只有第項的二項式系數(shù)最大，滿足題意，當時，的展開式共有項，其中第項與第項的二項式系數(shù)相等且最大，滿足題意，故選：BCD.考點3：二項式的系數(shù)和例3．已知（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【詳解】因為（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，所以，得，所以，則其展開式的通項公式為，令，得，所以該展開式中的常數(shù)項為，故選：A【方法技巧】由題意可得，得，然后求出二項式展開式的通項公式，由的次數(shù)為零，求出，從而可求出常數(shù)項.【變式訓練】1．在二項式的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中的的系數(shù)是________．【答案】160【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可求得，再根據(jù)二項式的通項即可求得的系數(shù).【詳解】因為二項式系數(shù)之和為64，故有，得，二項式的通項為，令，得，所以.即的系數(shù)是.故答案為：160.2．已知展開式中第3項與第11項的二項式系數(shù)相等，則二項式系數(shù)和是______．【答案】##4096【分析】根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)確定參數(shù)n，進而可得二項式系數(shù)和.【詳解】由題設，二項式展開式共有13項，即，所以對應的二項式系數(shù)和是.故答案為：3．已知的展開式中，二項式系數(shù)和為256.(1)此展開式中有沒有常數(shù)項？有理項的個數(shù)是幾個？并說明理由；(2)求展開式中系數(shù)最小的項.【分析】（1）先由二項式系數(shù)和求出，再由通項判斷常數(shù)項及有理項的個數(shù)即可；（2）先由不等式組解出系數(shù)絕對值最大的項，再結(jié)合通項判斷系數(shù)的正負即可求解.（1）由題意，二項式系數(shù)和為，解得，通項為，①若為常數(shù)項，當且僅當，即，且，這是不可能的，所以展開式中不含常數(shù)項；②若為有理項，當且僅當，且，即，2，4，6，8，故展開式中共有5個有理項；（2）設展開式中第項、第項、第項的系數(shù)絕對值分別為、、，若第項的系數(shù)絕對值最大，則解得，故或，因為時，第6項的系數(shù)為負；時，第7項的系數(shù)為正，所以系數(shù)最小的項為.考點4：求指定項的系數(shù)例4．的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B．-40 C．40 D．-10【答案】C【詳解】展開后的通項為，令，所以，故選：C【方法技巧】根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.【變式訓練】1．二項式的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于2，求得的值，即可求得展開式中的的系數(shù)．【詳解】在的展開式中，通項公式為Tr+1令，求得，可得的系數(shù)是，故選：．2．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為__________【答案】【分析】根據(jù)展開式的二項式系數(shù)之和求出n,再根據(jù)展開式的通項求解即可.【詳解】由，則展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為：．故答案為:.3．在的展開式中，各項系數(shù)和是___________；的系數(shù)是___________.【答案】

1

【分析】利用賦值法可得各項系數(shù)和，根據(jù)二項式展開式通項可得的系數(shù).【詳解】令，可得各項系數(shù)和是1，由題設，展開式通項為，令，則，,∴的系數(shù)是.故答案為：1；.考點5：求有理項或其系數(shù)例5．在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）項A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【詳解】解：的展開式的通項公式為，所以當為整數(shù)時，展開式的系數(shù)為有理數(shù)，因為，且，所以，所以系數(shù)為有理數(shù)的項共有6項，故選：A【方法技巧】先求出二項式展開式的通項公式，然后由為整數(shù)，且，可求出，從而可得答案【變式訓練】1．如果的展開式中第3項與第2項系數(shù)的比是4，那么展開式里x的有理項有________項．（填個數(shù)）【答案】2【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求得的值，再寫出展開式的通項，由的冪指數(shù)即可求得的值，從而可求得展開式里所有的有理項；【詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去）．所以二項式展開式的通項為（，1，2，，，根據(jù)題意，解得或，展開式里所有的有理項為，共項；故答案為：2．的展開式中有理項的個數(shù)為________.【答案】34【分析】根據(jù)展開式的通項公式可求有理項的個數(shù).【詳解】，所以時為有理項，共34個.故答案為：34.3．二項式的展開式中，常數(shù)項是________，有理項的個數(shù)為________．【答案】

60

4【分析】寫出通項，根據(jù)要求出的值即可求得答案.【詳解】，令，常數(shù)項為；，符合題意，所以共有4個；故答案為：60；4．考點6：有項的系數(shù)確定參數(shù)例6．已知的展開式中x3的系數(shù)是160，則a=__________.【答案】-2【詳解】展開式的通項為，令，得，所以，所以，解得．故答案為：-2.【方法技巧】先由通項化簡整理第k+1項，令x的指數(shù)等于3可得k，然后可解.【變式訓練】1．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的值求得，利用賦值法求得正確答案.【詳解】，令得，令得，所以.故選：C2．已知，若展開式中的系數(shù)為，則常數(shù)a的值為___________.【答案】4【分析】根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.【詳解】展開式通項公式令，得，所以的系數(shù)為，解得.故答案為:4.3．已知的展開式中含項的系數(shù)為8，則實數(shù)___________.【答案】3【分析】根據(jù)題意得到的展開式的通項公式，再由條件列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】因為的展開式的通項公式為，則展開式中含項的系數(shù)為解得故答案為:考點7：二項展開式各項系數(shù)和例7（多選）．若，則（

）A．B．C．展開式中的各項系數(shù)之和為0D．展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為【答案】ACD【詳解】解：選項A：令，可得，故選項A正確；選項B：令，可得，所以，故選項B錯誤；選項C：令，可得展開式中的各項系數(shù)之和.故選項C正確；選項D：展開式中所有項的二項式系數(shù)之和，故選項D正確.故選：ACD.【方法技巧】由二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法即可求解.【變式訓練】1．，則（）A．16

B．27

C．43

D．70【答案】C【分析】利用賦值法求得正確答案.【詳解】依題意，令，得.故選：C2．的展開式中所有項的系數(shù)和為________．【答案】0【分析】令求解即可.【詳解】令有，故的展開式中所有項的系數(shù)和為0.故答案為：03．在的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為，則所有項的系數(shù)和等于______【答案】【分析】由二項式系數(shù)和可求得的值，然后在二項式中令，可求得所有項的系數(shù)和.【詳解】的二項式系數(shù)和為，可得，所以，的所有項的系數(shù)和為.故答案為：.考點8：求系數(shù)最大（小）項例8．已知，的系數(shù)為______；系數(shù)最大的項是第______項.【答案】

28

5【詳解】展開式的通項公式為，令，得，所以的系數(shù)為，因為的展開式有9項，所以由二項式的性質(zhì)可知系數(shù)最大的項是第5項，故答案為：28，5【方法技巧】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為2，求出，從而可求出，利用二項式的性質(zhì)可求得系數(shù)最大的項【變式訓練】1．按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第項和第項 B．第項C．第項和第項 D．第項【答案】B【分析】利用二項展開式通項結(jié)合二項式系數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】因為的展開式通項為，其中第項和第項的二項式系數(shù)最大，但第項的系數(shù)為正，第項的系數(shù)為負，故按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是第項.故選：B.2．的展開式中，系數(shù)最大的項為第_____項．【答案】或【分析】根據(jù)題意利用二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)的關(guān)系，可得第項的二項式系數(shù)最大，但第項的系數(shù)為負，即可判斷.【詳解】解：的展開式中系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號差異，且奇數(shù)項是正的，偶數(shù)項是負的．又中間項的二項式系數(shù)最大，中間項為第項，其系數(shù)為負，所以第，第項系數(shù)最大，故答案為：或．3．已知的展開式的二項式系數(shù)和為64.(1)求n的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】(1)6(2)【分析】（1）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）求出，根據(jù)展開式中間項的二項式系數(shù)最大，即可知道二項式系數(shù)最大的項為，即可求解.（1）由題意的展開式的二項式系數(shù)和為64，即，解得；（2）因為，根據(jù)展開式中間項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)最大的項為，即.考點9：奇次項和偶次項的系數(shù)例9．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【詳解】解：因為，所以，所以令，得；令，得又，所以．由題可知，，所以．【方法技巧】（1）由于，所以其展開式中沒有的奇次項，從而可得答案；（2）令，可得，再令求出，結(jié)合（1）可求得答案；（3）由于，從而由二項式的通項公式可求出結(jié)果【變式訓練】1．若，則(

)A．27 B．－27 C．54 D．－54【答案】B【分析】采用賦值法，令和得到不同的系數(shù)和，兩個系數(shù)和相加即可求．【詳解】，令可得，令可得，兩式相加可得，∴．故選：B．2．已知，則的值為（

）A．24 B．48 C．32 D．72【答案】B【分析】利用賦值法，分別令，，代入已知的式子中，然后將得到的兩相減可得答案【詳解】解：由題，令，可得128①，令，可得②，，可得，故選：B．【點睛】方法點睛：對形如，的式子求其展開式中的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可．對形如的式子求其展開式中的各項系數(shù)之和，只需令即可；同理，求系數(shù)之差時，只需根據(jù)題目要求令，或，即可．3．若，則______.【答案】－243【分析】由題意，令和，兩式相加減求得和，代入即可求解.【詳解】由，令，可得，令，可得，兩式相加，可得，可得，兩式相減，可得，可得，所以故答案為：.考點10：三項展開系數(shù)問題例10．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．15 B．30 C．36 D．60【答案】B【詳解】因為，所以的通項公式為：，令，所以，因此的系數(shù)是，故選：B【方法技巧】運用二項式的通項公式進行求解即可.【變式訓練】1．的展開式中所有不含的項的系數(shù)之和為（

）A． B． C．10 D．64【答案】A【分析】根據(jù)二項式的通項公式，運用賦值法進行求解即可.【詳解】在的展開式中，通項公式為若展開式中的項不含，則，此時符合條件的項為展開式中的所有項.令，得這些項的系數(shù)之和為故選：2．的展開式中，含項的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】由，利用二項式展開式通項寫出含項，即可得結(jié)果.【詳解】由，其展開式通項為，所以含項為，故系數(shù)為.故答案為：3．的展開式中常數(shù)項為______【答案】【分析】利用組合知識進行求解.【詳解】將原式看成6個相同的因子相乘，按x的選取個數(shù)分類，得展開式中常數(shù)項為．故答案為：-59考點11：兩個二項式乘積展開式系數(shù)問題例11．的展開式中含項的系數(shù)是__________（結(jié)果用數(shù)字表示）.【答案】【詳解】展開式中含項的系數(shù)是.故答案為：【方法技巧】根據(jù)二項式定理展開式通項的特征即可求解.【變式訓練】1．的展開式中的系數(shù)是（

）A． B．10 C． D．50【答案】B【分析】先展開，利用二項式定理的通項公式進行求解.【詳解】，由，可得的系數(shù)是10．故選：B.2．的展開式中，記項的系數(shù)為，則______．【答案】30【分析】直接由二項式求出含有和的項，即可求解.【詳解】含有的項為，則；含有的項為，則；則.故答案為：30.3．展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，求出展開式中含的系數(shù)即可求解作答.【詳解】二項式的展開式中含的項為，含的項為，展開式中的項為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：考點12：由二項展開式各項系數(shù)和求參數(shù)例12．已知，若，則自然數(shù)n等于_____．【答案】4【詳解】令，則，所以．故答案為：4【方法技巧】利用賦值法求解，令，可求出答案.【變式訓練】1．的展開式的各項系數(shù)和為，則a的值是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【分析】利用賦值法令，代入=-32計算即可.【詳解】∵的展開式的各項系數(shù)和為-32，令，可得，故（1-，解得，故選：B.2．已知二項式的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．展開式中二項式系數(shù)之和為256C．展開式中第5項為D．展開式中的系數(shù)為【答案】AC【分析】令即可得到展開式各項系數(shù)和，從而得到參數(shù)的值，即可判斷A，再根據(jù)二項式系數(shù)和為，即可判斷B，再寫出展開式的通項，即可計算C、D.【詳解】解：對于A：令可得，解得，故A正確；對于B：二項式系數(shù)和為，故B錯誤；對于C：展開式的通項為，第5項即，所以，故C正確；對于D：令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，故D錯誤.故選：AC3．的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則___________.【答案】3或-1##-1或3【分析】利用賦值法，令結(jié)合所有項的系數(shù)和有，即可求a值.【詳解】令有的展開式中所有項的系數(shù)和為，解得或-1.故答案為：3或-1知識小結(jié)知識小結(jié)二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即性質(zhì)2二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，即性質(zhì)3的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于，即（令即得）性質(zhì)4的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即（即得）性質(zhì)5的二項展開式中，當為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值（即中間項的二項式系數(shù)最大）［特別提醒］1.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一面時卻是不相同的，所以我們一定要注意順序問題。另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通項公式時，要注意：（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根據(jù)二項式展開式的特征即可求解.【詳解】的展開式中，含x的項為，故x的系數(shù)為3，故選：B2．在的展開式中，所有二項式系數(shù)和為64，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】由二項式系數(shù)和的特征即可求解.【詳解】由題意可知：，故選：A3．的展開式中系數(shù)最大的項是（

）A．第5項 B．第6項C．第5項、第6項 D．第6項、第7項【答案】B【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式即可得到答案【詳解】由的展開式的通項為，知展開式中系數(shù)最大的項即二項式系數(shù)最大的項，即最大，所以，即第6項的系數(shù)最大．故選：B4．已知，設，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得到，再利用賦值法求值即可.【詳解】因為，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即.故選：C5．已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【分析】根據(jù)二項式定理的逆用即可得到，進而可求n=5，根據(jù)二項式系數(shù)即可求解.【詳解】逆用二項式定理得，即，所以n=5，所以．故選:A6．在的