高中數學知識總結原命題："如果a,那么逆命題：“如果那么a”.

第一章集合與命題否命題：”如果d,那么逆否命題："如果?，那么2”.

一、集合的概念

1.集合的概念：把能夠確切指定的?些對象看作?個整體，這個整體就叫做集合，簡稱集.集合中的各個對2.推出關系：如果a這件事成立可以推出〃這件事也成立，那么就說?？梢酝瞥?，并用記號an夕表示，

象叫做這個集合的元素.任何一個對象。對于某一集合A來說，或是屬于該集合(即awA),或是不屬于該集合

讀作“a推出夕

(即a?A).

2.集合的表示法：常用的有列舉法和描述法.3.等價命題：如果A、8是兩個命題，A=8,8nA,那么4、3叫做等價命題.

列舉法是把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合的方法.

4.充分條件、必要條件、充要條件：用。、夕分別表示兩件事，如果a這件事成立，可以推出"這件事也

描述法是在大括號內先寫出這個集合的元素的一般形式，再劃?條整線，在疑線后面寫上集合中元素所共同

具有的特性，即從=卜及滿足的性質〃}.成立，即。=>夕，那么a叫做］的充分條件,如果夕na,那么a叫做夕的必要條件.如果既有an夕，又有

ga,則a叫做戶的充要條件.

3.數集的記號：通常把自然數記作N,不含有零的自然數集記作整數集記作Z,有理數記作Q,實數

第二章不等式

集記作R，復數集記作C.

一、不等式的概念和性質

4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

1.不等式的基本原理：

5.集合間的關系：

(1)方的充分必要條件是。一人>0.

(1)子集：對于兩個集合A與如果集合A中任何一個元素都屬于集合B,那么集合A叫做集合B的子

(2)a=b的充分必要條件是。一力=0.

集，記作AUB或83A,讀作"A包含于5"或"3包含A".空集是任何集合的子集.

(3)。<力的充分必要條件是

(2)兩個集合相等:對于兩個集合A與8,如果AqBJlBqA,那么叫做集合A與集合B相等,記作A=B,

2.不等式的基本性質：

讀作“集合A等于集合3〃.

(1)傳遞性：如果。>b,b>c,那么a>c.

(3)真子集：對于兩個集合A、B,如果4=8,并且8中至少有一個元素不屬于A,那么集合4叫做集

(2)加法性質：如果。>方，那么a+c>b+c.

合8的真子集，記作AUB或5YA,讀作“A真包含于5"或"8真包含A".

(3)乘法性質：如果a>〃，c>0,那么ac>0c.如果a>〃，c<0?那么acvbc.

(4)交集：由集合4和集合8的所有公共元素組成的集合叫做A與B的交集，記作AflB，讀作“A交B”,(4)如果c>d,那么a+e>/;+d.

即Ari5={x|jeA且1w8}.(5)如果a>b>0,c>d>0,那么

(6)如果a>b>0,那么

(5)并集：由所有屬于集合A或者屬于集合8的元素組成的集合叫做集合A、B的并集，記作AU8,讀ab

作"A并8",即AU6={x|xeA或xwB}.(7)如果a>)>0,那么其中〃

(8)如果那么標>物，其中〃wN’，n>\.

(6)全集：在研究集合與集合之間的關系時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全

集，常用符號U表示.二、不等式的證明

(7)補集：設。為全集，A是U的子集，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合叫做集合A在全集U中1.證明不等式的常用方法

的補集，記作讀作"4補"，即4*={耳4￡。且MEA}.

(1)比較法：依據。-8>0aa>b或依據標>通過計算不等式兩邊的差或商，進行比較.

二、命題與條件

b>0

1.四種命題：如果用a、夕分別表示原命題的條件和結論，用石、/分別表示a、4的否定，那么四種命

(2)綜合法：由已知條件出發，利用各種已知的命題和運算性質作為依據，推導出要求證明的結論.

題的形式就是:(3)分析法：從要求證的結論出發，經過適當的變形，分析出這個結論成立的條件，把證明結論轉化為判定

這些條件是否成立的問題.如果能夠判定這些條件成立，那么就可以判定原結論成立.

(4)公式法：以基本不等式為基礎，并利用不等式的性質進行證明的方法.八幻"

(5)反證法：是一種間接證明的方法.V/U)<g(x)轉化為,g(x)>0

2.基本不等式：/Cr)<[5(x)]2

)對任意實數。和有/+從，當且僅當。時等號成立.

(16,22"=6/U)>0

”(x)>g(x)轉化為卜差產，或

g(x)N0

(2)對任意正數。和6,有竺4友,當且僅當。=6時等號成立.1小)<。

2/(A)>[^(A)]2

(3)基本不等式應用：

6.解高次不等式利用標根法.

對于兩個正數a和力，當積油為定值時，和。+力在。=〃時有最小值2面；7.指數不等式的解法：指數不等式，9>。叫)(。>])的解集即不等式/*)>以幻的解集：指數不等式

對于兩個正數〃和b,當和a+b為定值時，積成在a=8時有最大值azu>>/"(0<?<1)的解集即不等式/(x)<例x)的解集.

三、解不等式8.對數不等式的解法：對數不等式log”/(x)>log“儀幻(a>1)的解集，即不等式組

1.一元二次不等式的解集:

方程a/+%x+c=0ax2+bx+c>0(?>0)2)的解集.對數不等式log“f(x)>1og“0(x)(O<a<l)的解集，即不等式組

ax+/*+cv0(a>0I7(x)>0(x)

的判別式的解集的解集

Kcv)>0的解集.

A=/-4ac<0R0

第三章函數

(-00,-=)U(-3,+°°)

△=6-4ac=00

2a2a一、函數概念

1.函數概念：在某個變化過程中有兩個變量X、y,如果對于工在某個實數集合。內的每一個確定的值，按照

△=〃-4ac>0,

某個對應法則7,y都有唯一確定的實數值與它對應，那么y就是x的函數，記作y=/(r),KWZ).其中“叫做

內，公是方程的兩個根，

(-00,內)UCq,—)(牛，七)自變量，x的取值范圍。叫做函數的定義域：和x的值相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值

域.

且X,<x2

2.函數三要素：函數的定義域、對應法則、值域是構成函數的三個要素，缺一不可，當兩個函數的定義域、

2.理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數三者之間的關系.和對應法則分別相同時，那么這兩個函數是同一函數.當兩個函數的定義域、對應法則或值域有?個不相同時，

3.解分式不等式轉化為解整式不等式：則能判定這兩個函數不同.

—>0轉化為f(x)g(x)>0:這<0轉化為f(x)g(x)<0；3.函數的表示方法：一般地，函數有解析法、列表法和圖象法三種表示方法.

g。)g(x)

4.函數的圖象：函數的圖象是"有序實數對"集｛(x,y)|.y=/(x),工wD｝在直角坐標系內對應的點集(圖形)，

^>o轉化為廠皿⑴嗎g2工o轉化為["'"⑴-°.其中x為自變量，。為定義域，y為x的函數值，且自變量在橫軸上取值，函數值在縱軸上取值.函數的圖像有

g(x)U(x)*0g(x)[g(x),0

以下的特征，經過函數定義域中任何一個點x作垂直于x軸的直線，它與函數的圖像恰好有一個交點.

4.解絕對值不等式，利用絕對值的意義進行轉化：5.函數的運算：已知兩個函數。)，j?(x)(xeD,),設并且。不是空集，那么當xwO

|/(.v)|<a轉化為一av/(x)va；|/(x)|>a轉化為/(.*)>a或/(K)<-a；

時/(x)與以外都有意義，于是把函數/*)+g(x)(xw。)叫做函數75)與g。)的和，把函數/")避(尤)。€D)叫

Ma轉化為-a<f(x)<a：|/(x)|>a轉化為f(x)2a或f(x)<-a.

做函數/(X)與gfr)的積.

5.解無理不等式，利用不等式的性質轉化為有理不等式組：

二、求函數解析式

1.已知所要求的函數類型，如一次函數、二次函數等，那么利用待定系數法來求這個函數的解析式.的最小正周期.

2.已知復合函數f(g(x))求函數，(x)的解析式，一般采用變量代換的方法.六、函數圖象、圖象變換和函數零點

3.涉及到實際問題求函數解析式時，就是要將實際問題轉換為數學問題，即要建立數學模型.1.畫函數圖象主要有描點法、疊加法和圖象變換三種方法，用描點法時也常要結合函數的基本性質.

三、函數的奇偶性2.函數圖象變換有平移變換、對稱變換和伸縮變換三種基本形式，重點是平移變換和對稱變換.

1.函數奇偶性定義：如果對于函數y=/(x)的定義域。內的任意實數都有/(-〃)=(1)將函數y=/(x)的圖象向左平移a個單位，得到)，=/*+〃)的圖象，向右平移。個單位，得到函數

/(?).那么函數)，=/(幻叫做偶函數.y=f(x-a)的圖象.

如果對于函數)，=/(1)的定義域力內的任意實數都有/(-a)=-/(〃)，那么函數(2)將函數y=/(x)的圖象向上平移。個單位，得到)，-。二/(幻的圖象，向下平移。個單位，得到函數

y=f(x)叫做奇函數.y+a=/(x)的圖象.

2.函數y=，(x)的定義域。關于原點對稱是y=/(x)為偶(奇)函數的必要條件.

(3)函數y=/(-x)與函數y=/(A)的圖象關于>>軸對稱；

3.函數y=f(x)的圖像關于y軸軸時稱的充要條件是)，=/(外為偶函數.函數y=f(x)的圖像關于原點中心

對稱的充要條件是y=f(x)為奇函數.函數y=-/(x)與函數y=/(x)的圖象關于x軸對稱；

四、函數的單調性

函數-外與函數y=f(x)的圖象關于原點對稱；

1.函數單調性概念：對于給定區間上的函數y=/(X)，如果對于屬于這個區間的自變量的任意兩個值A2,

互為反函數的兩個函數的圖象關于直線工時稱.

當西<三時，都有，(*］)</(占)(或/(芭)>/(工2)),那么就說y=/(x)在這個區間上是增函數(或減函數).

(4)將函數y=/(x)的在x軸下方的圖象對稱到x軸的上方，去掉原x軸下方的圖象，保留x軸上方的圖象，

2.單調區間：如果函數)，=/(x)在某個區間/上是增(減)函數，那么就說函數y=/(x)在這個區間/上是

此時就是函數y=的圖象.

單調函數，區間/叫做函數y=，(.1)的單調區間.

將函數y=/(x)的在y軸右邊的圖象對稱到y軸的左邊，去掉原y軸左邊的圖象，保留y軸右邊的圖象，此

五、反函數與函數的周期性

時就是函數y=/(|x|)的圖象.

1.反函數概念：對于函數)，=/(幻，定義域是。，值域是A.如果對4中任意一個值，在。中總有惟一確

3.函數零點概念：對于函數f(x)(xeD),如果存在實數c(ceD),當x=c時，/(c)=0,那么就把x=c叫

定的工值與它對應，使得)，=/(%),這樣得到的x關于y的函數叫做y=/C6的反函數，記作工=廣心)。習慣做函數/(X)(%€0的零點.

七、函數的最大、最小值與值域

上自變量用工表示，而函數用y表示，所以表示為

1.函數的最大、最小值概念：設函數)，=/(工)在.%處的函數值是/(小)，如果對于定義域內任意X,不等式

y=/-'(x)UeA).

/(A)N/禺)都成立，那么/(%)叫做函數)，=/(X)的最小值，記作%in=

如果函數y=/(.v)有反函數)，=(外，那么函數y=/-'(.V)的反函數就是y=/(x),即函數y=/(x)與

/(x)；如果對于定義域內任意x,不等式八口《/(.”)都成立，那么/(?%)叫做函數y=/(x)的最大值，記作

y=/T(X)互為反函數.0

=/(/).

2.反函數性質：函數y=/(x)的定義域是它的反函數.v=_/-(x)的值域，函數y=/(x)的值域是它的反函數

2.求函數的最大、最小值與值域的幾種基本方法：

y=廠,(力的定義域;

(1)研究函數的單調性等性質：定義在區間［。，以上的函數/(幻，如果函數/⑶在［。㈤上是增(減)函數，

互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱；互為反函數的兩個函數具有相同的增減性.

那么這個函數的最大(小)值是/S)，最小(大)值是7(a).

3.周期函數概念：對于函數〃x),如果存在一個非零常數7,使得對于定義域內任意一個值x,都有等式

f(x+T)=f(x)成立，那么這個函數f(x)就叫做周期函數，常數7叫做函數/(%)的周期.(2)利用基本不等式〃+6之2，萬(a>0/>0).

如果常數丁是函數/(X)的周期，那么&7(&wN*)也是函數/(工)的周期；(3)利用基本函數的性質，如一次函數、二次函數、需函數、指數函數、對數函數等的性質.

(4)通過變量代換的數學思想方法，將函數轉化為基本函數.

對于一個周期函數來說，如果在所有的周期中存在一個最小的正周期，那么這個最小的正周期就叫做這個函數

（5）利用函數與方程的關系來求函數的最大、最小值與值域.時，圖象一定經過點（1，1），在（0.+8）上是減函數.

八、一次函數和二次函數

3.指數函數的定義：函數丫="（。>0,“工1）叫做指數函數，其中x是自變量，定義域為R.

1.一次函數“外=履+〃伏工0）：當*>0時，在（F,+8）上是增函數：當A<0時，在

（一,+8）上是減函數.4.指數函數），=優（a>0.a#l）的性質：

2.二次函數/（x）=a-+Zu+c（aH0）：當〃=0時，f（x）是偶函數；當bwO時，f（x）是非奇非偶函數.（1）定義域為R.（2）值域為（0,+8）.（3）圖像都在x軸的上方.

（4）指數函數），="（a>0,〃Wl）的圖像過點（0,1）.

配方得"x）=a[+2]+處二竺，圖象的頂點是J，/"-，],圖象的對稱軸是直線x=-2.

I2a）4?（2a4aJ2a

（5）當。>1時，指數函數'在（-叫+8）上是增函數：當0<。<1時，指數函數），=優在（-8,+8）上是減

當a>0時，圖象的開口向上，函數/⑴的最小值是4"；；”，在（7o,g）是減函數，在卜今+8）是增函數.

（6）指數函數y=/與指數函數y=（1）的圖象關于y軸對稱.

函數；

當a<0時，圖象的開口向下，函數/*）的最大值是竺子，在是增函數，在（-（，+8）是減十一、對數

1.對數概念：如果。（a>0且。工1〉的8次幕等于N,就是a"=N,那么實數力叫做以。為底N的對數，

函數.

記作log“N=b,其中。叫做對數的底數，N叫做其數.

九、函數的f（x）=ax+-

x（1）對數式與指數式的互化公式：—=N（a>0,awl）ob=log“N（a>0,a;tl）.

1.函數f（x）=at+2（a>0,方>0）的性質：

x（2）對數性質：log/=0,log"=l,在對數式中真數N永遠大于零.

<1）定義域為（一，0）U（0,+8）.（2）奇偶性：奇函數.

（3）常用對數：常用對數logioN簡記為IgN.

（3）單調性：在（7,-噲）上是增函數，1E1聆‘°）上是減函數，在1°，聆卜是減函數，在（.’+8）

（4）自然對數：自然對數log,N簡記為InN.（5）a*』.

上是增函數.2.對數運算性質：如果a>0,awl,b>0,bxl,M>0,N>0,那么有

（4）值域：（-<?,-2V^]U[2\/^,+8）.

<1)log“(MN)=k)g“M+log"N.(2)log“儲)=log“M-log“N.

（5）最值：無最大值與最小值.（6）周期：無.

2.函數/（x）=at-2（a>0,〃>0）的性質：

x

(3)logttM"=nlogttM.(4)log.N=.

log*

（1）定義域為（7,0）U（0,+8）.（2）奇偶性：奇函數.

fu

（3）單調性：在（-00,0）上是增函數，在（0,+8）上是增函數.(5)logb=-----.(6)logZ>log,c=logc.(7)log.bm=—log>.

fllog/,aazan

（4）值域：R.（5）最值：無最大值與最小值.

（6）周期：無.十二、對數函數

十、募函數與指數函數1.對數函數的定義：

1.基函數的定義：函數丁=Y（a為常數，acQ）叫做幕函數.函數.y=log&x(。>0且。*1)叫做對數函數.

2.暴函數y=.小的性質：當a>0時，圖象一定經過點（0,0）和（31）,在（0,+8）上是增函數：當a<0時數函數y=logdx（以>0且"1）與指數函數y=a、（a>0且"1）互為反函數，他們的圖象關于直線y=x

對稱.

3.弧度制和角度制的換和關系是：1。=工弧度。0.017453弧度，1弧度=（圖］。=57.3。.

2.對數函數y=log-r（。＞0且〃工1）的性質：180I乃J

（1）定義域為（0,+8）,對數函數），=k）g。K（〃＞0且。工1）的圖像都在y軸的右方.