教學設計

一、教材分析

本節課選自高中數學人教B版必修五第一章第二節第一課時。

本章的主要內容是正弦定理、余弦定理及其應用，全章分為兩大節，

第一大節是正弦定理和余弦定理；這一大節，是在學生學習完正弦定

理和余弦定理之后，對前面所學知識的運用和拓展，通過運用正弦定

理、余弦定理解決測量、工業、幾何等方面的實際問題，一方面使學

生更加熟練的運用正弦定理和余弦定理解決有關斜三角形的問題，另

一方面使學生進一步體會數學在實際問題中的應用，激發學生學習數

學的興趣，培養學生由實際問題抽象出數學問題并加以解決的能力。

二、教學目標

1.知識與技能

初步運用正弦定理、余弦定理解決某些與測量和幾何計算有關的

實際問題。

2.過程與方法

通過解決“測量一個底部不能到達的建筑物的高度”或“測量平

面上兩個不能到達的地方之間的距離”的問題，初步掌握將實際問題

轉化為解斜三角形問題的方法，進一步提高應用正弦定理、余弦定理

解斜三角形的能力，提高運用數學知識解決實際問題的能力。

3.情感、態度與價值觀

通過解決“測量”問題，體會如何將具體的實際問題轉化為抽象

的數學問題。培養學生的數學應用意識和探索問題、解決問題的能力，

學習用數學的思維方式去解決問題，認識世界。

三、學情分析

在初中，學生已經學習了三角形的邊和角的基本關系，全等三角

形等、相似等與三角形有關的基礎知識，在必修4中學生也學習了三

角函數、向量三角恒等變換等內容，再加上學生剛剛學習了正弦定理

和余弦定理，這些都為本節課學生學習正余弦定理的應用打下了堅實

的基礎，學生對解三角形也并不陌生；但學生對三角形知識的應用，

還僅僅局限在紙面知識上，并沒有實際應用到生產和生活中，所以,

把實際問題抽象出解斜三角形的問題，對于學生來說可能是第一次接

觸，需要將實際問題的解決方案與簡單的解三角形區分好。這就要求

教師加以引導，使學生成功的將實際問題抽象成數學問題，培養學生

分析問題，解決問題的能力。

我所教的班級是重點文科班，基礎較好，情感豐富，喜歡大自然

的美和古建筑深厚的文化底蘊，這很符合本節課的研究能容，既有山

川河流，又有故宮角樓，從而，可以很好的激發學生的學習興趣。

四、教學方法

本節課采用問題探究式教學模式，循序漸進，用問題驅動課堂教

學，在老師的引導下，讓學生探究、合作、交流、展示，盡可能多的

質疑、探究、討論，多參與課堂知識的生成和發現的過程，形成思維。

五、重難點分析

本節課的重點是：如何將實際問題轉化為數學問題，并利用解斜

三角形的方法予以解決;

本節課的難點是：分析、探究并確定將實際問題轉化為數學問題

的思路。

六、教學準備

制作多媒體課件；

七、教學過程分析

(1)復習引入，做好鋪墊

復習提問正弦定理和余弦定理的內容，以及正弦定理和余弦定理

分別適合解什么樣的三角形，分別找學生來回答。特別強調一下已知

兩邊及一邊對角的情況，根據學生的回答及時進行補充，為下面運用

正余弦定理解決實際問題做好鋪墊。

(2)運用工具，解決問題

問題一：如何測量底部不可到達的塔樓的高度？

在R/A4BC中，要想知道塔樓AB的高度，根據初中所學的知識，

只要知道BC或AC的長度就可以了(由于BC是不可同時到達的兩個

點，所以，沒辦法直接測量)。所以，就變成如何測量BC和AC長度

的問題了。

問題設計意圖:將這一個問題與初中所學的解直角三角形相結合,

立足學生的認知層面,可以讓學生很好的融入進本節課的學習中,也

為本節課的學習定了兩個大方向,一個是如何求BC的長,另一個是

如何求AC的長。

問題二：如何求BC的長？(一個不可到達點的距離問題)

由于BC間不可以直接測量距離，那么我們要運用所學的知識解決

這一個問題，請同學們分小組進行討論，最后一起來交流結果。

問題設計意圖:將高度測量問題轉化為測量到一個不可到達點的

距離測量問題，通過小組討論,引導學生朝著解斜三角形的方向思考。

最終,通過解斜三角形,將這一問題解決。

學生有可能出現很多意想不到的結論,需要耐心加以引導和發散,

最終引導學生學會通過解斜三角形來解決這一問題。

(3)抽象模型，代數演練

分析：如圖，通過測量，可以得到如圖所示的兩個角的a,

的大小，還可測得CD的長。

在ABC。中，由正弦定理

BCCD

sinPsin(〃一a一尸)

CDsin/?

DJ—

sinQr.a

AB=BCtan/

A

解：如圖，設AB表示角樓的高度，通過測量，可以得到如圖所示的

生工兀

三個角的大小分別為4?,還可測得CD的長為60m。

由教師進行板演，規范解答步驟。

問題二：如何測量AB的長？

分析：如圖，通過測量，可以得到如圖所示的兩個角的a4

的大小，還可測得CD的長。

AB=ACsin/3

在AACO中，由正弦定理

ACCD

sinasin（4一a）

“CDsma

AC=-------------

sin（方一①

解：如圖，通過測量，可以得到如圖所示的兩個角的a夕的大

冗7V

小分別為7不，還可測得CD的長為20m。

A

由學生進行計算并板演,教師進行指導、糾正和規范,多多進行鼓勵。

(4)課堂小結

由學生討論并思考這節課學到了哪些知識點？都有哪些收獲？

這節課我們解決了哪幾個問題？

(5)學以致用，解決問題

課外探究：怎樣測量兩個不可到達點間的距離？

(6)作業設計

必做題：課本14頁A組第1、2、3題，B組第1題

選做題：課后評測訓練

設計意圖:課后查閱資料,了解正余弦定理的其他應用,讓課內

知識延伸到課外,通過這樣的方式促進學生可以獲取更多的與本節課

相關的知識,拓寬知識面。預留一個探究作業,對于學生下節課的學

習起到一個承上啟下的過渡作用。

點評

本節課以實際問題作為驅動，創設了問題情境，明確了學習目標。

建立在學生已有的認知基礎之上，將高度問題最終轉化為距離問題,

將整節課的內容歸結到如何測量和計算兩點間距離的問題，加大了知

識之間的聯系，讓學生更容易掌握和理解，使學生可以更好的解決實

際問題。

課堂教學中，使用多媒體課件和動態演示，以及通過復雜的計算，

使學生手腦并用，兩者結合的恰到好處。

從整體上看，本節課以問題作為知識產生之源，在猜想證明中分

析問題解決問題，在變式訓練中鞏固知識。從數學知識掌握的連續性

上看，老師很善于做數學的“減法”，用已有的知識解決新的知識。

提出問題是一門學科的真正進步。從育人的角度而言，本節課在問題

作為引領的前提下，讓學生充分參與課堂教學，經歷探索、發現、解

決問題的過程，從而體會數學的價值，享受數學學習的樂趣。可以看

出本節課設計的理念是新的，符合新課程標準的理念倡導，是一節優

秀的示范課。

學情分析

在初中，學生已經學習了三角形的邊和角的基本關系，全等三角

形等、相似等與三角形有關的基礎知識，在必修4中學生也學習了三

角函數、向量三角恒等變換等內容，再加上學生剛剛學習了正弦定理

和余弦定理，這些都為本節課學生學習正余弦定理的應用打下了堅實

的基礎，學生對解三角形也并不陌生；但學生對三角形知識的應用，

還僅僅局限在紙面知識上，并沒有實際應用到生產和生活中，所以,

把實際問題抽象出解斜三角形的問題，對于學生來說可能是第一次接

觸，需要將實際問題的解決方案與簡單的解三角形區分好。這就要求

教師加以引導，使學生成功的將實際問題抽象成數學問題，培養學生

分析問題，解決問題的能力。

我所教的班級是重點文科班，基礎較好，情感豐富，喜歡大自然

的美和古建筑深厚的文化底蘊，這很符合本節課的研究能容，既有山

川河流，又有故宮角樓，從而，可以很好的激發學生的學習興趣。

效果分析

總體感覺本節課安排的內容完整，較好的完成了教學任務，時

間安排合理，學生小組討論較積極，回答問題踴躍。本人能做到教態

自然，語速適中。通過具體情境，讓學生在具體情境、小組討論中獲

得了新的知識，使學生樹立了自信心，能夠運用課堂所學知識解決生

活中遇到的實際問題，增強了對數學的學習興趣。

不足:

一是覺得自己在調動學生積極性這一方面，沒做到最好，在以后

的課堂上進一步提高。

二是在課堂的時間把握上沒恰到好處，在課堂最后，設計的是由

學生來進行課堂回顧和方法總結，同時分享一下本節課的收獲，但由

于時間關系沒有實現，以后的教學中仍然需要改進和提高。

教材分析

本節課選自高中數學人教B版必修五第一章第二節第一

課時。本章的主要內容是正弦定理、余弦定理及其應用，全

章分為兩大節，第一大節是正弦定理和余弦定理；這一大節,

是在學生學習完正弦定理和余弦定理之后，對前面所學知識

的運用和拓展，通過運用正弦定理、余弦定理解決測量、工

業、幾何等方面的實際問題，一方面使學生更加熟練的運用

正弦定理和余弦定理解決有關斜三角形的問題，另一方面使

學生進一步體會數學在實際問題中的應用，激發學生學習數

學的興趣，培養學生由實際問題抽象出數學問題并加以解決

的能力。

評測練習

（限時30分鐘）

一、選擇題

1.如圖，D,C,4三點在地面同一直線上，DC=a,從C,〃兩點測

得A點仰角分別是￡,。（aV￡）,則4點離地面的高度AB等于

（）.

asinasinB

sin￡-a

asinacosBacosasinB

C.

sin￡-acosa-B

2.

如圖，為了測量障礙物兩側A,夕間的距離,給定下列四組數據.為

了簡便，測量時應當用數據（）

A.a,a,bB.a,j3,y

C.a,b,YD.a,b,B

二、填空題

3.已知兩座燈塔A和夕與海洋觀察站。的距離都等于akm,燈塔A

在觀察站。的北偏東20°,燈塔8在觀察站。的南偏東40°,則燈

塔A與燈塔B的距離為.

?A

1\

40°

4.某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看

臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的

仰角分別為60。和30。，第一排和最后一排的距離為5m米（如圖所

示），旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌長度約為50秒，升

旗手應以米/秒的速度勻速升旗.

C

三、解答題

5.如圖，A,B,C,〃都在同一個與水平面垂直的平面內，B,〃為兩

島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得夕點和〃點的仰角分

別為75°,30°,于水面。處測得夕點和〃點的仰角均為60°,AC

=0.1km.試探究圖中區〃間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求

B,〃的距離.

答案與解析

1.A

DCAC

解析：在中，由正弦定理得一一（A〃一一’：，所以然

sinp—a）sina

_Z?6sinaasina

sin(￡—a)sin(尸一a)'

,,八asinasinB

在RtZA^4%'中，AB=ACsin￡=一一-----故選A.

sin(￡—a)

2.C

解析：測得a,b,丫后，由余弦定理即可計算A、B間的距離.

3.km

解析：由已知，AC=BC=a,

ZACB=180°-(20°+40°)=120°,

：.A^=a+a-2,acos120°=3才.

.?.48=q5a(km),即4與夕的距離為《akm.

4.0.3

解析：在△陽9中，ZBDC=45°,/CBD=3G°,5=5m米，

,./口CDsixi450廠八1八

由正弦定理，得比三.工八。一=10美(米)；

sin30v

在中，AB=BCsin60°=1琢*^=15(米)，

AR15

所以