第06講向量概念【學習目標】1、了解向量的實際背景和概念．2、清楚向量的幾何表示．3、區(qū)分相等向量與共線向量．【考點目錄】考點一：向量的基本概念考點二：向量的表示方法考點三：利用向量相等或共線進行證明考點四：向量知識在實際問題中的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．知識點詮釋：（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．知識點二：向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識點三：向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．知識點詮釋：（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量．知識點詮釋：（1）在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點詮釋：在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．知識點四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．規(guī)定：與任一向量共線．知識點詮釋：1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系．3、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．【考點剖析】考點一：向量的基本概念例1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4例2．給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例3．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3考點二：向量的表示方法例4．如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設(shè)的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.例5．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量．（1）試以B為起點畫一個向量，使；（2）畫一個以C為起點的向量，使||＝2，并說出的終點的軌跡是什么．考點三：利用向量相等或共線進行證明例6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．例7．在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，如圖所示.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證:.考點四：向量知識在實際問題中的簡單應(yīng)用例8．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．（1）試作出向量；（2）求．例9．一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點所航行的路程；（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移.【真題演練】1．(2023·上海中學東校高一期末）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等2．(2023·全國·高一課時練習）下列說法錯誤的是（

）A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動3．(2023·全國·高一課時練習）有下列結(jié)論：①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；②若，則，不是共線向量；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中，錯誤的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．(2023·全國·高一課時練習）下列命題中正確的個數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．35．（多選題）(2023·全國·高一課時練習）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若A，B，C，D是不共線的四點，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件D．“”的充要條件是“且”6．（多選題）(2023·全國·高一課時練習）下列結(jié)論中正確的是（

）A．與是否相等與，的方向無關(guān) B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若，都是單位向量，則 D．向量與相等7．（多選題）(2023·新疆·疏勒縣實驗學校高一期末）下面關(guān)于向量的說法正確的是（

）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量C．平行共線向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量8．(2023·全國·高一課時練習）已知O是正方形ABCD的中心，則向量是___________.（填序號）①平行向量；②相等向量；③有相同終點的向量；④模都相等的向量.9．(2023·全國·高一課時練習）如圖，為正方形的兩條對角線的交點，四邊形和四邊形都是正方形，在圖中所示的向量中.(1)分別寫出與、相等的向量；(2)寫出與共線的向量；(3)寫出與的模相等的向量；(4)寫出與的夾角為的向量；(5)向量與是否相等？【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則2．(2023·安徽·歙縣教研室高一期末）以下說法正確的是（

）A．零向量與任意非零向量平行 B．若，，則C．若(為實數(shù))，則必為零 D．和都是單位向量，則3．(2023·陜西西安·高一期末）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．向量與向量的長度相等C．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等 D．若，則4．(2023·河南許昌·高一期末（理））已知P在所在平面內(nèi)，滿足，則P是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心5．(2023·浙江麗水·高一期末）若為非零向量，則“”是“共線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．(2023·全國·高一）下列說法正確的是（

）A．若向量與共線且與不為零向量，則存在實數(shù)，使得B．零向量是沒有方向的向量C．任意兩個單位向量的方向相同D．同向的兩個向量可以比較大小7．(2023·山東菏澤·高一期中）數(shù)軸上點A，B分別對應(yīng)，則向量的長度是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．(2023·陜西·涇陽縣教育局教學研究室高一期中）在下列說法中：①若，，則；

②零向量的模長是；③長度相等的向量叫相等向量；

④共線是在同一條直線上的向量．其中正確說法的序號是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④二、多選題9．(2023·全國·高一課時練習）下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則 D．對任一向量，是一個單位向量10．(2023·全國·高一課時練習）下列說法正確的是（

）A．兩條有公共終點的有向線段表示的向量是平行向量B．若任意兩個非零向量相等，則表示它們的有向線段的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點C．若向量與不共線，則與都是非零向量D．若，，則11．(2023·全國·高一課時練習）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線12．(2023·安徽·合肥市第六中學高一期末）如下四個命題中，說法正確的是（

）A．向量的長度與向量的長度相等；B．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；C．兩個公共終點的向量，一定是共線向量；D．向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上．三、填空題13．(2023·全國·高一課時練習）若地位于地正西方向處，地位于地正北方向處，則地相對于地的位移是________．14．(2023·上海市浦東中學高一期末）命題：若，則，則命題為_______（填寫：真命題或假命題）15．(2023·山東菏澤·高一期中）已知A、B、C是不共線的三點，向量與向量是平行向量，與是共線向量，則＝________.16．(2023·山西·運城市景勝中學高一階段練習）在棱長為的正方體的個頂點中選個點作為向量的頂點和終點，則其中：單位向量共有________個與向量相反的向量，模長為的向量共有________個．四、解答題17．(2023·全國·高一課前預(yù)習）如圖ABCD是菱形，則在向量、、、、和中，相等的有哪些？18．(2023·全國·高一課前預(yù)習）如圖，設(shè)O是?ABCD對角線的交點，則(1)與的模相等的向量有多少個？(2)與的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)寫出與共線的向量．19．(2023·湖南·高一課時練習）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：（1）與相等的向量有哪些？（2）的相反向量有哪些？（3）與共線的向量有哪些？20．(2023·全國·高一專題練習）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O七點中的任一點為起點，以與起點不同的另一點為終點的所有向量中，設(shè)與向量相等的向量個數(shù)為m，與向量的模相等的向量個數(shù)為n，求m，n．21．(2023·全國·高一專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分別為AD和BC的中點，以A，B，C，D，M，N為起點和終點作向量，回答下列問題：(1)在模為1的向量中，相等的向量有多少對？(2)在模為的向量中，相等的向量有多少對？第06講向量概念【學習目標】1、了解向量的實際背景和概念．2、清楚向量的幾何表示．3、區(qū)分相等向量與共線向量．【考點目錄】考點一：向量的基本概念考點二：向量的表示方法考點三：利用向量相等或共線進行證明考點四：向量知識在實際問題中的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．知識點詮釋：（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。R點二：向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識點三：向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．知識點詮釋：（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量．知識點詮釋：（1）在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點詮釋：在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．知識點四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．規(guī)定：與任一向量共線．知識點詮釋：1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系．3、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．【考點剖析】考點一：向量的基本概念例1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量與平行時，或為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；對于⑤，向量與是共線向量，點，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．例2．給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個答案：A【解析】①若，則，故錯誤；②若，即向量的長度相等，但方向不一定相同或相反，故錯誤；③若，即向量共線，它們的模長不一定相等，故錯誤；④有向線段是幾何圖形，而向量是數(shù)學概念，可以用有向線段表示，故錯誤；故選：A例3．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】解：因為，則向量互為相反向量，所以，故①正確；因為向量不能比較大小，故②錯誤；若，則向量方向相同，故③正確；當時，向量的方向不能確定，故④錯誤.所以正確命題的個數(shù)是2個.故選：C.考點二：向量的表示方法例4．如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設(shè)的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.【解析】（1）與向量相等的向量，即與向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）與向量共線的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）與向量平行的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，.例5．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量．（1）試以B為起點畫一個向量，使；（2）畫一個以C為起點的向量，使||＝2，并說出的終點的軌跡是什么．【解析】（1）根據(jù)相等向量的定義，所作向量b應(yīng)與a同向，且長度相等，如下圖所示．（2）由平面幾何知識可作滿足條件的向量c，所有這樣的向量c的終點的軌跡是以點C為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．考點三：利用向量相等或共線進行證明例6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解析】因為四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形．即證.例7．在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，如圖所示.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證:.【解析】（1）根據(jù)題意，與向量共線的向量為：，，.（2）∵ABCD是平行四邊形，，，且E，F(xiàn)分別為邊CD，AB的中點，∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．考點四：向量知識在實際問題中的簡單應(yīng)用例8．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．（1）試作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，向量即為所求．（2）根據(jù)題意，向量與方向相反，故向量，又，∴在中，，故為平行四邊形，∴，則（海里）．例9．一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點所航行的路程；（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移.【解析】（1）畫出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即.（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為.由于，故方向約為北偏東53°.【真題演練】1．(2023·上海中學東校高一期末）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等答案：B【解析】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；由于與方向相反，長度相等，故B正確；因為零向量的模為0，故C錯誤；與線段的長度相等，故D錯誤．故選：B．2．(2023·全國·高一課時練習）下列說法錯誤的是（

）A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動答案：B【解析】因為，所以和互為相反向量，長度相等，方向相反，故A選項正確；單位向量長度都為，但方向不確定，故B選項錯誤；根據(jù)零向量的概念，易知C選項正確；向量只與長度和方向有關(guān)，與位置無關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動，故D選項正確；故選：B.3．(2023·全國·高一課時練習）有下列結(jié)論：①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；②若，則，不是共線向量；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中，錯誤的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】對于①，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，①正確；對于②，若也有可能，長度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯誤；對于③，若，則，不一定相等，所以四邊形不一定是平行四邊形，③錯誤；對于④，若，，則，④正確；對于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯誤.綜上，錯誤的是②③⑤，共3個.故選：B.4．(2023·全國·高一課時練習）下列命題中正確的個數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【解析】①錯誤，平行向量又叫共線向量，向量與是共線向量，則與平行或共線；②錯誤，與至少有一個為零向量時，結(jié)論不成立；由向量的夾角可知③正確；④錯誤，由，只能說明，的長度相等，確定不了方向.故選：B.5．（多選題）(2023·全國·高一課時練習）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若A，B，C，D是不共線的四點，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件D．“”的充要條件是“且”答案：BC【解析】對于A，兩個向量的長度相等.但它們的方向不一定相同；對于B，由平面向量相等可得B正確；對于C，若A，B，C，D是不共線的四點，則當時，且，故四邊形ABCD為平行四邊形；當四邊形ABCD為平行四邊形時，且，故且同向，故，故C正確；對于D，當且方向相反時，即使，也不能得到，故D錯誤；故選：BC6．（多選題）(2023·全國·高一課時練習）下列結(jié)論中正確的是（

）A．與是否相等與，的方向無關(guān) B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若，都是單位向量，則 D．向量與相等答案：AB【解析】對于C，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等；對于D，向量與互為相反向量，由向量模的定義，零向量的定義AB正確．故選：AB．7．（多選題）(2023·新疆·疏勒縣實驗學校高一期末）下面關(guān)于向量的說法正確的是（

）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量C．平行共線向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量答案：ABCD【解析】根據(jù)向量的定義可得，模為的向量為單位向量，模為的向量為零向量，方向相同或相反的向量為共線向量，模相等，方向相同的向量為相等向量，ABCD均正確，故選：ABCD．8．(2023·全國·高一課時練習）已知O是正方形ABCD的中心，則向量是___________.（填序號）①平行向量；②相等向量；③有相同終點的向量；④模都相等的向量.答案：④【解析】根據(jù)向量的有關(guān)概念及正方形的性質(zhì)，可得向量是模都相等的向量.故答案為：④.9．(2023·全國·高一課時練習）如圖，為正方形的兩條對角線的交點，四邊形和四邊形都是正方形，在圖中所示的向量中.(1)分別寫出與、相等的向量；(2)寫出與共線的向量；(3)寫出與的模相等的向量；(4)寫出與的夾角為的向量；(5)向量與是否相等？【解析】（1）依題意，因為是正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，所以，；由題可得：，；（2）與共線的向量有，，.（3）與的模相等的向量有：，，，，，，.（4）與的夾角為的向量有，，，；（5）向量與不相等，因為它們的方向不相同．【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則答案：C【解析】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；對于B：單位向量.故B錯誤；對于C：零向量與任意向量平行.正確；對于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.故選：C2．(2023·安徽·歙縣教研室高一期末）以下說法正確的是（

）A．零向量與任意非零向量平行 B．若，，則C．若(為實數(shù))，則必為零 D．和都是單位向量，則答案：A【解析】對于A,零向量與任意向量平行，故A正確；對于B，時，滿足，，但不一定成立，故錯誤；對于C,時，或，故錯誤；對于D，和都是單位向量，則，但不一定成立，故錯誤．故選：A．3．(2023·陜西西安·高一期末）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．向量與向量的長度相等C．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等 D．若，則答案：B【解析】對于A；當，則不一定平行，故A錯，對于B；向量與向量是相反向量，故長度相等，故B正確，對于C；兩個單位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C錯，對于D；向量有方向和大小，不能比較大小，故D錯，故選：B4．(2023·河南許昌·高一期末（理））已知P在所在平面內(nèi)，滿足，則P是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心答案：A【解析】表示到三點距離相等，為外心．故選：A．5．(2023·浙江麗水·高一期末）若為非零向量，則“”是“共線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】依題意為非零向量，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，則表示與同向的單位向量，所以能推出共線，所以充分性成立；共線可能同向共線、也可能反向共線，所以共線得不出，所以必要性不成立.故選：B.6．(2023·全國·高一）下列說法正確的是（

）A．若向量與共線且與不為零向量，則存在實數(shù)，使得B．零向量是沒有方向的向量C．任意兩個單位向量的方向相同D．同向的兩個向量可以比較大小答案：A【解析】∵與為非零向量，且共線，∴存在實數(shù)，使得，A正確；零向量的長度為0，方向是任意的，故B錯誤；任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故C錯誤；不管是同向的向量還是不同向的向量，都不能比較大小，故D錯誤.故選：A.7．(2023·山東菏澤·高一期中）數(shù)軸上點A，B分別對應(yīng)，則向量的長度是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】數(shù)軸上點A，B分別對應(yīng)，則向量的長度即.故選：C．8．(2023·陜西·涇陽縣教育局教學研究室高一期中）在下列說法中：①若，，則；

②零向量的模長是；③長度相等的向量叫相等向量；

④共線是在同一條直線上的向量．其中正確說法的序號是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④答案：A【解析】長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，則，故③錯誤，①正確，模為的向量叫做零向量，故②正確，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也稱為共線向量，規(guī)定零向量和任意向量平行，故④錯誤；故選：A二、多選題9．(2023·全國·高一課時練習）下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則 D．對任一向量，是一個單位向量答案：ABCD【解析】因為是既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，故A錯誤；由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯誤；對于C，若為零向量，則與可能不是共線向量，故C錯誤；對于D，當時，無意義，故D錯誤．故選：ABCD10．(2023·全國·高一課時練習）下列說法正確的是（

）A．兩條有公共終點的有向線段表示的向量是平行向量B．若任意兩個非零向量相等，則表示它們的有向線段的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點C．若向量與不共線，則與都是非零向量D．若，，則答案：CD【解析】有公共終點的有向線段的方向不一定相同或相反，故A不正確．兩個相等的非零向量可以在同一直線上，故B不正確．若向量與不共線，則與都是非零向量，否則不妨設(shè)為零向量，則與共線，這與與不共線矛盾，故C正確．若，則，的長度相等且方向相同；若，則，的長度相等且方向相同，所以，的長度相等且方向相同，故，故D正確．故選：CD．11．(2023·全國·高一課時練習）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線答案：ABD【解析】因為向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大?。ㄩL度）相等的兩個向量才相等，故A錯誤；兩個向量不相等，但它們的模可以相等，故B錯誤；無論兩個向量的模是否相等，這兩個向量都可能共線故C正確，D錯誤.故選：ABD．12．(2023·安徽·合肥市第六中學高一期末）如下四個命題中，說法正確的是（

）A．向量的長度與向量的長度相等；B．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；C．兩個公共終點的向量，一定是共線向量；D．向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上．答案：AB【解析】向量與向量是互為相反向量，所以A選項正確，選項B顯然正確，選項C顯然錯誤，選項D，也有可能直線AB與直線CD平行；故選：AB三、填空題13．(2023·全國·高一課時練習）若地位于地正西方向處，地位于地正北方向處，則地相對于地的位移是________．答案：西北方向【解析】根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，由圖可知，且，故地相對于地的位移是西北方向．故答案為：西北方向.14．(2023·上海市浦東中學