四川省綿陽市綿陽南山中學2022-2023學年數學高三第一學期期末學業水平測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則()A.5 B. C.13 D.2.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.4.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.5.若函數f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調遞減區間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]6.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c7.已知直四棱柱的所有棱長相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.8.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B9.tan570°=()A. B.- C. D.10.設雙曲線的一條漸近線為,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.11.若為虛數單位,則復數在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知點為雙曲線的右焦點,直線與雙曲線交于A,B兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.現有一塊邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形,然后做成一個無蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.14.曲線在點處的切線方程為________.15.在面積為的中,,若點是的中點,點滿足,則的最大值是______.16.在編號為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中,一次隨機抽取其中的三張,則抽取的三張卡片編號之和是偶數的概率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(I)當時,解不等式.(II)若不等式恒成立,求實數的取值范圍18.(12分)設拋物線的焦點為,準線為,為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經過點.(1)求的值及該圓的方程;(2)設為上任意一點,過點作的切線,切點為,證明:.19.(12分)在△ABC中,分別為三個內角A、B、C的對邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.20.(12分)已知數列的前項和為,且滿足.(1)求數列的通項公式;(2)若,,且數列前項和為,求的取值范圍.21.(12分)已知橢圓:的四個頂點圍成的四邊形的面積為,原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點,是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在,求出的方程:若不存在,請說明理由.22.(10分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-,0)、F2(,0).點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.(1)求橢圓C的方程;(2)已知點N的坐標為(3,2),點P的坐標為(m,n)(m≠3).過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點,設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,試求m,n滿足的關系式.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡復數,再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C【點睛】考查復數的運算,是基礎題.2、D【解析】

通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當時,,但,故充分條件推不出;當時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數在解三角形中的具體應用,屬于基礎題3、D【解析】

根據三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的四棱錐,畫出圖形,結合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據三視圖知,該幾何體是側棱底面的四棱錐,如圖所示:結合圖中數據知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.4、C【解析】

根據,兩邊平方,化簡得,再利用數量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數量積運算,屬于基礎題.5、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調遞減,在[2,+∞)上單調遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調遞增,在[2,+∞)上單調遞減,故選B.6、A【解析】

利用指數函數、對數函數的單調性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關系為b>c>a.故選:A.【點睛】本題考查三個數的大小的判斷,考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.7、D【解析】

以為坐標原點,所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點,以為坐標原點,所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系.設,則,.設平面的法向量為,則取,得.設直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學生空間想象,邏輯推理,數學運算的能力,屬于中檔題.8、C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關系9、A【解析】

直接利用誘導公式化簡求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點睛】本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值,主要考查誘導公式的應用,屬于基礎題.10、C【解析】

求得拋物線的焦點坐標,可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.11、D【解析】

根據復數的運算,化簡得到,再結合復數的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據復數的運算,可得,所對應的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復數的運算,以及復數的幾何意義,其中解答中熟記復數的運算法則,準確化簡復數為代數形式是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.12、D【解析】

設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設,得,求出的值,即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設,則,又.故,所以.故選:D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質,考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意容積,求導研究單調性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內唯一的極大值點也是最大值點,此時.故答案為:【點睛】本題考查了導數在實際問題中的應用,考查了學生數學建模,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.14、【解析】

求導,得到和,利用點斜式即可求得結果.【詳解】由于,,所以,由點斜式可得切線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程,屬基礎題.15、【解析】

由任意三角形面積公式與構建關系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線性運算、平面向量數量積的運算轉化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點M是AB的中點,點N滿足,所以,當且僅當時,取等號,即的最大值是為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量中由線性運算表示未知向量,進而由重要不等式求最值,屬于中檔題.16、【解析】

先求出所有的基本事件個數,再求出“抽取的三張卡片編號之和是偶數”這一事件包含的基本事件個數,利用古典概型的概率計算公式即可算出結果.【詳解】一次隨機抽取其中的三張,所有基本事件為:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10個,其中“抽取的三張卡片編號之和是偶數”包含6個基本事件,因此“抽取的三張卡片編號之和是偶數”的概率為:.故答案為:.【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)根據零點分區間法,去掉絕對值解不等式;(2)根據絕對值不等式的性質得,因此將問題轉化為恒成立,借此不等式即可.試題解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集為.(Ⅱ)由不等式的性質得:,要使不等式恒成立,則當時,不等式恒成立;當時,解不等式得.綜上.所以實數的取值范圍為.18、(1),圓的方程為:.(2)答案見解析【解析】

(1)根據題意,可知點的坐標為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線的斜率存在且不為0,設的方程為,與拋物線聯立方程組,根據,求得,化簡解得,進而求得點的坐標為,分別求出,,利用向量的數量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點的坐標為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線的斜率存在且不為0,設的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點的坐標為.所以,,.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程,考查直線和拋物線的位置關系,利用聯立方程組、求交點坐標以及向量的數量積,考查解題能力和計算能力.19、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉化思想及化簡能力,屬于基礎題.20、(1)(2)【解析】

(1)由,可求,然后由時,可得,根據等比數列的通項可求(2)由,而,利用裂項相消法可求.【詳解】(1)當時,,解得,當時,①②②①得,即,數列是以2為首項,2為公比的等比數列,;(2)∴,∴,,.【點睛】本題考查遞推公式在數列的通項求解中的應用,等比數列的通項公式、裂項求和方法,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.21、(1);(2)存在,且方程為或.【解析】

(1)依題意列出關于a,b,c的方程組,求得a,b,進而可得到橢圓方程;(2)聯立直線和橢圓得到,要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點,則,結合韋達定理可得到參數值.【詳解】(1)直線的一般方程為.依題意,解得,故橢圓的方程式為.(2)假若存在這樣的直線,當斜率不存在時,以為直徑的圓顯然不經過橢圓的左頂點,所以可設直線的斜率為,則直線的方程為.由,得.由,得.記,的坐標分別為,,則,,而.要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點,則,即,所以,整理解得或,所以存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點,直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系,所使用方法為韋達定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題,最終轉化為一元二次方程問題,故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一,尤其是弦中點問題,弦長問題,可用韋達定理直接解決,但應注意不要忽視判別式的作用.22、(1);(2)m-n-1=0【解析】試題分析:(1)利用M與短軸端點構成等腰直角三角形,可求得b的值,進而得到橢圓方程;(2)設出過M的直線l的方程,將l與橢圓C聯立,得到兩交點坐標關系,然后將k1+k3表示為直線l斜率的關系式,化簡后得k1+k3=2,于是可得m,n的關系式.試題解析:(1)由題意,c=,b=1,所以a=故橢圓C的方

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