8.5.2直線與平面平行學習任務1．駕馭直線與平面平行的判定定理和性質定理．(數學抽象)2．利用直線與平面平行的判定定理和性質定理證明空間平行問題．(邏輯推理)假如將乒乓球臺的臺面抽象成平面α，將乒乓球網的上邊緣抽象成直線l，則直線l與平面α具有怎樣的位置關系？假如將乒乓球網的下邊緣抽象成直線m，并把m看成平面α內的直線，則直線l與直線m具有怎樣的位置關系？問題：你能給出判定的依據嗎？學問點1直線與平面平行的判定定理文字語言假如平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α學問點2直線與平面平行的性質定理文字語言一條直線與一個平面平行，假如過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行圖形語言符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b直線和平面平行的判定定理中假如沒有“不在一個平面內”的限制條件，結論還成立嗎？為什么？[提示]結論不愿定成立．因為直線a可能在平面α內．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線l∥平面α，直線a?平面α，則l∥a. ()(2)若直線m∥平面α，n∥平面α，則m∥n. ()[答案](1)×(2)×類型1直線與平面平行的判定【例1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點．求證：MN∥平面PAD.[證明]如圖，取PD的中點G，連接GA，GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點，∴GN∥DC，GN＝12DC∵M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點，∴AM＝12DC，AM∥DC∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又MN?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.用判定定理證明直線與平面平行的步驟[跟進訓練]1．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分別是AB，B1C的中點．求證：DE∥平面ACC1A1．[證明]連接BC1，AC1，因為三棱柱ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四邊形BCC1B1為平行四邊形，由平行四邊形性質得點E也是BC1的中點．因為點D是AB的中點，所以DE∥AC1.又DE?平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1．所以DE∥平面ACC1A1．類型2直線與平面平行的性質【例2】如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面體．求證：截面MNPQ是平行四邊形．[證明]因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質定理，知AB∥MN.同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形．運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行，再找尋過已知直線的平面與這個平面相交的交線，然后確定線線平行．[跟進訓練]2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.[證明]如圖，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又∵M是PC的中點，∴AP∥OM.又∵AP?平面BDM,OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.類型3直線與平面平行的判定與性質【例3】求證：假如一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[解]已知直線a，l，平面α，β滿意α∩β＝l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.利用線面平行的判定和性質定理，可以完成線線平行與線面平行的相互轉化．轉化思想是一種重要數學思想．該轉化過程可概括為：線線[跟進訓練]3．一正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點．(1)過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，在木塊的表面應當怎樣畫線？(2)在平面ABC中所畫的線與棱AC是什么位置關系？[解](1)取VC的中點D，BC的中點E，AB的中點F.分別連接PD，PF，EF，DE.則PD，PF，EF，DE即為在木塊表面應畫的線．(2)在平面ABC中的畫線EF與棱AC平行，證明如下：因為PF∥DE，所以P，D，E，F四點共面，且AC∥平面PDEF，因為平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF.1．已知b是平面α外的一條直線，下列條件中，可得出b∥α的是()A．b與α內的一條直線不相交B．b與α內的兩條直線不相交C．b與α內的多數條直線不相交D．b與α內的全部直線不相交D[若b與α內的全部直線不相交，即b與α無公共點，故b∥α.]2．如圖，在三棱錐S\-ABC中，E，F分別是SB，SC上的點，且EF∥平面ABC，則()A．EF與BC相交B．EF∥BCC．EF與BC異面D．以上均有可能B[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC.]3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PD B．MN∥PAC．MN∥AD D．以上均有可能B[MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA且MN?平面PAC，故MN∥PA.]4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于______．2[因為EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又點E為AD的中點，點F在CD上，所以點F是CD的中點，所以EF＝12回顧本節學問，自主完成以下問題：1．應用直線與平面平行的判定定理應留意什么問題？[提示]利用判定定理證明線面平行，必需具備三點：(1)平面內一條直線a；(2)平面外一條直線b；(3)a∥b.只有具備了這三點才能說明線面平行．2．在遇到線面平行時，我們經常如何應用條件？[提示]在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的幫助平面，以便運用線面平行的性質．3．推斷或證明線面平行的常用方法有哪些？[提示](1)定義法：證明直線與平面無公共點(不易操作)．(2)判定定理法：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(3)解除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內．課時分層作業(三十)直線與平面平行一、選擇題1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內的全部直線與l異面B．α內不存在與l平行的直線C．α內存在唯一的直線與l平行D．α內的直線與l都相交B[若在平面α內存在與直線l平行的直線，因l?α，故l∥α，這與題意沖突．]2．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G，H，則HG與AB的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行和異面A[由題意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，∴GH∥AB，故選A.]3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是()A．平行 B．平行或異面C．平行或相交 D．異面或相交B[∵AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，∴CD∥平面α，∴直線CD與平面α內的直線沒有公共點，直線CD與平面α內的直線的位置關系可能平行，也可能異面，故選B.]4．(多選)下列說法中正確的是()A．若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行B．若直線與平面內的隨意一條直線不相交，則直線與平面平行C．若直線與平面內的多數條直線不相交，則直線與平面平行D．若平面外的直線與平面內的一條直線平行，則直線與平面不相交ABD[C中若直線在平面內，雖與平面內的多數條直線平行，但直線與平面不平行，故C不正確，A，B，D正確．故選ABD.]5．(多選)在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是()ABCDBCD[對于選項B，由于AB∥MQ，結合線面平行的判定定理可知B滿意題意；對于選項C，由于AB∥MQ，結合線面平行的判定定理可知C滿意題意；對于選項D，由于AB∥NQ，結合線面平行的判定定理可知D滿意題意．故選BCD.]二、填空題6．平行四邊形的一組對邊平行于一個平面，則另一組對邊與這個平面的位置關系是________．[答案]平行或相交7．如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，若過A，C，B1三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與AC的關系是________．平行[連接A1C1(圖略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1，又∵AC?平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，∴AC∥l.]8．如圖，P為?ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F為PC上一點，當PA∥平面EBF時，PFFC12[連接AC交BE于G，連接FG，因為PA∥平面EBFPA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC又因為AD∥BC，E為AD的中點，所以AGGC＝AE三、解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PD上的點．(1)若E，F分別是PD和BC的中點，求證：EF∥平面PAB；(2)若PB∥平面AEC，求證：E是PD的中點．[證明](1)取PA的中點G，連接BG，EG，在△PAD中，因為E，G分別為所在邊的中點，所以EG∥AD，且EG＝12AD又因為底面ABCD為平行四邊形，F為BC的中點，所以BF∥AD，且BF＝12AD所以EG∥BF，且EG＝BF，所以四邊形BFEG為平行四邊形，所以EF∥BG，因為EF?平面PAB，BG?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)如圖，連接BD，交AC于點H，連接EH，因為PB∥平面ACE，PB?平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，所以PB∥EH，在△PBD中，H為BD的中點，所以E為PD的中點．10．對于直線m，n和平面α，下列命題中是真命題的是()A．假如m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n∥αB．假如m?α，n與α相交，那么m，n是異面直線C．假如m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．假如m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥nC[對于A，假如m?α，n?α，m，n是異面直線，則n∥α或n與α相交，故A錯誤；對于B，假如m?α，n與α相交，則m，n相交或是異面直線，故B錯誤；對于C，假如m?α，n∥α，m，n共面，由線面平行的性質定理，可得m∥n，故C正確；對于D，假如m∥α，n∥α，m，n共面，則m∥n或m，n相交，故D錯誤．]11．如圖，四棱錐S-ABCD的全部的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為()A．2＋3 B．3＋3C．3＋23 D．2＋23C[由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中點，∴EF＝1，DE＝CF＝3.∴四邊形DEFC的周長為3＋23.]12．(多選)如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，則下列說法中正確的是()A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBAABC[因為矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，所以O為BD的中點．在△PBD中，M是PB的中點，所以OM是△PBD的中位線，所以OM∥PD，又PD?平面PCD，且PD?平面PDA，OM?平面PCD，且OM?平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因為M∈PB，所以OM與平面PBA相交．]13．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝a3，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ223a[∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥∵AP＝a3，∴DP＝DQ＝2a∴PQ＝2×2a14．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面APD是否平行？試證明你的結論．[解](1)證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．如圖，取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知