2025屆高三模擬考試（一）數(shù)學留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.2.為了了解學生們的身體狀況，某學校確定接受分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個年級共抽取100人進行各項指標測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取的人數(shù)為（）A.30B.25C.20D.153.若，則（）A.B.C.D.4.古印度數(shù)學家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.摯友啊，請馬上告知我，半個月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個問題中，這人15天的最終7天布施的德拉瑪總數(shù)為（）A.413B.427C.308D.1335.的綻開式中含項的系數(shù)為（）A.20B.-20C.30D.-306.“會圓術”是我國古代計算圓弧長度的方法，它是我國古代科技史上的杰作，如圖所示是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，在上，，則的弧長的近似值的計算公式：.利用上述公式解決如下問題：現(xiàn)有一自動傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開后繩長為6米，該圓弧所對的圓心角為，則傘的弧長大約為（）米米米米7.函數(shù)有3個零點的充分不必要條件是（）A.，且B.，且C.，且D.，且8.已知實數(shù)分別滿意，且，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限C.D.為純虛數(shù)10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象過點C.函數(shù)的圖象關于直線對稱D.若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是11.小郡玩一種跳棋嬉戲，一個箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標有的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進步的概率為，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.小華一共前進3步的概率最大三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則的真子集的個數(shù)為__________.13.已知為坐標原點，，向量，動點滿意，寫出一個，使得有且只有一個點同時滿意，則__________.14.如圖是一個球形圍墻燈，該燈的底座可以近似看作正四棱臺.球形燈與底座剛好相切，切點為正四棱臺上底面中心，且球形燈內(nèi)切于底座四棱臺的外接球.若正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為2，側棱長為，則球形燈半徑與正四棱臺外接球半徑的比值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）正四棱柱中，分別是棱的中點，.（1）求正四棱柱的體積；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.16.（本小題滿分15分）機器人一般是指自動限制機器（Robot）的俗稱，自動限制機器包括一切模擬人類行為或思想與模擬其他生物的機械，用以取代或幫助人類工作.機器人一般由執(zhí)行機構?驅動裝置檢測裝置?限制系統(tǒng)和困難機械等組成.某高校機器人探討小組研發(fā)了型?型兩款火場救人的機器人，為檢驗其效能做下列試驗：如圖，一正方形困難房間有三個同樣形態(tài)?大小的出口，其中只有一個是打開的，另外兩個是關閉的，房間的中心為機器人的動身點，型?型兩個機器人別從動身點動身沿路途任選一條找尋打開的出口，找到后沿打開的出口離開房間；假如找到的出口是關閉的，則按原路途返回到動身點，接著重新找尋.型機器人是沒有記憶的，它在動身點選擇各個出口是等可能的，型機器人是有記憶的，它在動身點選擇各個出口的嘗試不多于一次，且每次選哪個出口是等可能的.以表示型機器人為了離開房間嘗試的次數(shù)，以表示型機器人為了離開房間嘗試的次數(shù).（1）試求離散型隨機變量的分布列和期望；（2）求的概率.17.（本小題滿分15分）對于數(shù)列，假如存在正整數(shù)，使得對隨意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿意：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.（1）推斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.假如是，寫出該數(shù)列的周期，假如不是，說明理由；（2）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.18.（本小題滿分17分）已知拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，過點的直線與交于兩點（點在點的左側）.（1）若點是線段的中點，求點的坐標；（2）若直線與交于點，記內(nèi)切的半徑為，求的取值范圍.19.（本小題滿分17分）黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個重要猜想，它被許多數(shù)學家視為是最重要的數(shù)學猜想之一.它與函數(shù)為常數(shù)）親密相關，請解決下列問題：（1）當時，探討的單調(diào)性；（2）當時，①證明：有唯一極值點；②記的唯一極值點為，探討的單調(diào)性，并證明你的結論.長郡中學2025屆高三模擬考試（一）數(shù)學參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.D2.B3.D4.A5.C6.B7.D8.D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.ABC10.BCD11.BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.713.14.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【解析】（1）連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以.因為，所以，所以，所以，所以，所以.所以正四棱柱的體積.（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，，則，令，則，則平面的法向量為.設平面的法向量為，，則，令，則，則平面的法向量為..所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.16.【解析】（1）的可能取值為，，，，所以的分布列為123.（2），，則.17.【解析】（1）均是周期數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或隨意正整數(shù)）.因為，所以.所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）.（2）當是奇數(shù)時，首先證明不存在數(shù)列滿意條件.假設，即對于，都有.因為，所以，即，及.又時，，所以，與的最小值是沖突.其次證明存在數(shù)列滿意條件.取及對于，都有.當是偶數(shù)時，首先證明時不存在數(shù)列滿意條件.假設，即對于，都有.因為，所以，即，及.又時，，所以，與的最小值是沖突.其次證明時存在數(shù)列滿意條件.取及對于，都有.綜上，當是奇數(shù)時，的最大值為；當是偶數(shù)時，的最大值為.18.【解析】（1）由題意知，設點，因為點是線段的中點，所以，又點都在拋物線上，所以，解得，所以點的坐標為或.（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，由點在點的左側，則，設，直線與軸交于點，聯(lián)立，得，由，得，，所以，所以直線的斜率存在，由題可得，所以直線的方程為，與聯(lián)立得，，化簡得，解得或，因為直線的斜率存在，所以，所以軸.所以，的周長為，所以，所以.令，則，因為在上均單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.19.【解析】（1），令，，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減.（2）①（1）得：，令令，可得：，依題意：當時，，當時