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高考高中數學必考壓軸題答題模板及例題詳解

第2講

【模板特征概述】

數學解答題是高考數學試卷中的一類重要題型，通常是高考的把關題

和壓軸題，具有較好的區分層次和選拔功能.目前的高考解答題已經由單

純的知識綜合型轉化為知識、方法和能力的綜合型解答題.在高考考場上,

能否做好解答題，是高考成敗的關鍵，因此，在高考備考中學會怎樣解題,

是一項重要的內容.本節以著名數學家波利亞的《怎樣解題》為理論依據,

結合具體的題目類型，來談一談解答數學解答題的一般思維過程、解題程

序和答題格式，即所謂的“答題模板”.

“答題模板”就是首先把高考試題納入某一類型，把數學解題的思維過

程劃分為一個個小題，按照一定的解題程序和答題格式分步解答，即化整

為零.強調解題程序化，答題格式化，在最短的時間內擬定解決問題的最

佳方案，實現答題效率的瓊優化.

第2講

構建答題模板

模板1三角函數的周期性、單調性及最值問題

【例11已知函數/(x)=2cosx?

sinlx+^sin2x+sinxcosx+1.

(1)求函數人")的最小正周期；

(2)求函數作)的最大值及最小值；

(3)寫出函數/(x)的單調遞增區間.

審題路線圖不同角化同角f降解擴角f化fix)=NsinQx+(p)

+//f結合性質求解.

規范解答

第2講

解=2cosx-sinx+cosx-V3sin2x+sinx-cosx+1

=2sinxcosx+A/3(COS2X-sin2x)+1

=sin2x+\/3cos2x+1

n

=2sin2x+T

（1）函數?r）的最小正周期為彳=?r.

-1Wsin2x+T,

(2)V(J

:.-1^2sin2A-+?+1<3.

TTTT,

.二當2x+§=$+2E,左￡Z,即K=夜+女兀，左￡Z時，?v）取得最大值3;

兀7T5兀1

當2x+^=-2+2kjt,左GZ,即工=-五+左兀，左￡Z時，於）取得最小值-1

第2講

(3)由一不+2ATT〈2X++2上兀,kb

得一等++力兀，氏GZ.

JL/JL/

???函數上)的單調遞增區間為

57r.7T.1.

-TT+kn,TT+ZOT(〃￡Z).

第2講

構建答題模板第一步：三角函數式的化簡，一般化成衛=

/lsin(wx+(p)+h的形式或y=/cos3x+(/))+h的形式.

如：/(x)=2sin2x+j+1.

第二步：根據人工)的表達式求其周期、最值.

第三步：由sin工、cosx的單調性，將+看作一個整體，轉

化為解不等式問題.

第四步：明確規范表述結論.

第五步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點及解題規范.

第2講

模板2與平面向量綜合的三角函數問題

【例2】已知向量。=(cosy,siny),/>=(—sinp—cos》其中

工仁生，7r.

(1)若|“+b|=,,求x的值；

(2)函數八》=〃山+|°+。2,若c>/(x)恒成立，求實數c的取值范圍.

審題路線圖(1)|。+b\=A/3-*A2+lab+〃=3-*三角方程一求不.

(2)化fix)向量表示式為三角表達式一化簡fix)=/sin?x+(/>)+

h-\/(x)max-**C^/(X)niax.

規范解答

解(1)Vt7+/?=(cosy-sinI，siny-cos|),

\a+b\=yjcos苧-sin野+giny-cos曾

=，2-2sin2t,

第2講

構建答題模板第一步：根據向量運算將向量式轉化為三角式；

第二步：化簡三角函數式，一般化為y=4sin（s，+夕）+〃的形式；

第三步：解三角方程或求三角函數的單調區間、最值；

第四步：明確規范地寫出答案；

第五步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規范.如本題的易

錯點為易忽略匯￡去兀這一條件.

第2講

模板3由數列的前〃項和用與通項〃“的關系求通項明

[例3]已知數列｛斯｝的前n項和為Sn,〃尸1,斯十i=2S“+l(〃eN"),

等差數列｛瓦J中，^>O(/teN*),且兒+岳+必=15,又可+仇、

恁+慶、/+岳成等比數列.

Q)求數列｛%｝、｛?。耐椆?；

(2)求數列｛明協“｝的前〃項和Tn.

第2講

第2講

規范解答

解(1)丁%=1,即+i=2S〃+l(〃￡N*),

；?冊=25”-i+1(〃￡N二九22),

??%+i—=2(S“—Sn-1)5即時+1—。”=2〃“，

=

，斯+i=3。”(〃￡N*,〃22).而。2=2〃I+1=3,/.?23?i.

???數列｛斯｝是以1為首項，3為公比的等比數列，

工〃”=3"1(〃￡N)./.?!=1,。2=3,〃3=9,

在等差數列出〃｝中，???仇+岳+仇=15,???必=5.

又??Zi+M?+劣、的+優成等比數列，設等差數列出〃｝的公差為d

則有3+瓦)3+優)=Q+①丫.

A(1+5-4(9+5+m=64,解得d=-10或d=2,

VZ)?>0(wGN*),I.舍去。=-10,取d=2,

=3,.??，［=2/+1(〃￡N").

第2講

(2)由(1)知7；=3義1+5X3+7X32+…+(2n-l)3n-2+(2n+

①

???37；=3X3+5X3?+7X33+…+(2n-l)3n-1+(2n+1)3”,②

二①一②得一27；=3X1+2X3+2X32+2X33+???+2X3〃T-

(2n+1)3〃

=3+2(3+32+33+…+3”T)-(2n+1)3〃

3-3”

=3+-(In+1)3"=3"-(2n+1)3"=-2/r3〃，

/?Tn=nB".

第2講

構建答題模板第一步：令〃=1,由Sn=/(〃”)求出樂.

第二步：令〃22,構造〃“=S〃-S.1，用即代換S〃-S〃-I(或用S

S〃一I代換恁，這要結合題目特點)，由遞推關系求通項.

第三步：驗證當H=1時的結論是否適合當心2時的結論.

如果適合，則統一“合寫”；如果不適合，則應分段表示.

第四步：寫出明確規范的答案.

第五步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點及解題規范.本題的易錯點,

易忽略對n=l和n>2分兩類進行討論，同時忽視結論中對二者的合并.

第2講

構建答題模板第一步：利用條件求數列｛為｝的通項公式.

第二步：寫出1rt=必+必+???+bn的表達式.

第三步：分析表達式的結構特征、確定求和方法.（例如：公式法、

裂項法，本題用錯位相減法）.

第四步：明確規范表述結論.

第五步：反思回顧.查看關鍵點，易錯點及解題規范.如本題中在

求廝時，易忽視對〃=1,勿22時的討論.

第2講

模板5立體幾何中的基本關系與基本景問題

【例5】在如圖所示的空間幾何體中，平面4CDJ_平面AB=

BC=CA=DA=DC=BE=2fBE和平面ABC所成的角為60°,

且點E在平面ABC上的射影落在N4BC的平分線上.

(1)求證：刀E〃平面4BC；

(2)求多面體/笈CDE的體積.

審題路線圖在平面ABC內作輔助線。尸一證明OE〃。尸將多

面體4BCDE分割f分別求兩個三棱錐體積之和.

第2講

第2講

構建答題模板第一步：畫出必要的輔助線，根據條件合理轉化.

第二步：寫出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分.

第三步：明確寫出所證結論.

第四步：對幾何體進行合理轉化（分割或拼補）.

第五步：分別計算幾何體的體積并求和.

第六步：反思回顧，查看關鍵點，易錯點及答題規范.

第2講

模板6空間角或空間距離問題

【例6】如圖，在七面體4BCDMN中，四邊形4BCD是邊長為2

的正方形，M)_L平面ABCDf平面ABCD,且MD=29

NB=1,MB與ND交于尸點.

(1)在棱48上找一點Q,使。尸〃平面力MD,并給出證明

(2)求平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值.

第2講

證明：?.?MD_L平面4BCZ>,NB_L平面N8CD,：,MD//NB.

.BPNB1^QB1

,,麗=礪=5?又=1

.QB=BP

?Q一尸M

/.在/\MAB中，QP//AM.

又Q尸(Z面加〃)，力MU面4ATO,

???QP〃面AMD.

(2)

以。4、DC、DM所在直線分別為；v軸，＞軸，z軸建立空間直角坐

標系如圖，

第2講

則刀(0,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2),N(2,2,l).

/.O/=(0,-2,2),示=(2,0,1),DC=(0,2,0).

設平面CMN的法向量為〃i=(x,p,z).

2y+2z

則］_

771K=0.2x+z=0.

取XH1,/.7?1-=(1,-2,-2).

又NBL平面ABCD,:?NBLDC,又DC1,BC.

"CJ_平面BNC.

???平面BNC的法向量小m虎=(0,2,0),

-42

cos

(人m>=|同網-3X2~"3,

第2講

第2講

構建答題模板第一步：作出（或找出）具有公共交點的三條相互垂直

的直線.

第二步：建立空間直角坐標系，寫出特殊點坐標.

第三步：求（或找）兩個半平面的法向量.

第四步：求法向量〃1，如的夾角或COS〈小，“2〉（若為銳二面角則求

|cos〃2〉I）-

第五步：將法向量的夾角轉化為二面角的夾角.

第六步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點及解題規范.如本題求得

COS〈〃1，=-弓后易答當二面角的余弦值為-，而出錯，一定要

注意這一點.

第2講

模板7解析幾何中的探索性問題

［例7］已知定點。(一1,0)及橢圓f+3/=5,過點C的動直線與

橢圓相交于4,8兩點.

(1)若線段中點的橫坐標是:,求直線的方程;

(2)在x軸上是否存在點使曲而為常數？若存在，求出點

M的坐標；若不存在，請說明理由.

審題路線圖設的方程j，=A(x+l)f待定系數法求寫出

方程;設M存在即為(町0)-求疝?/笳一在疝?濃為常數的條件

下求m.

第2講

規范解答

解(1)依題意，直線"的斜率存在，設直線N3的方程為

y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x2+3j，=5,