第二章平面向量

§2.1平面向量的實際背景及基本概念

班級姓名學號得分

一、選擇題

1.下列物理量中，不能稱為向量的是（）

A.質量B.速度C.位移D.力

2.設。是正方形48CD的中心，向量同、礪、函、歷是（）

A.平行向量B.有相同終點的向量C.相等向量D.模相等的向量

3.下列命題中，正確的是)

A.|a|=\b\=>a=bB.|a|>|Z>|=>a>Z>C.與8共線D.|a|=0=>a=0

4.在下列說法中，正確的是（）

A.兩個有公共起點且共線的向量，其終點必相同；

B.模為0的向量與任一非零向量平行；

C.向量就是有向線段；D.若同=網，則

5.下列各說法中，其中錯誤的個數為（）

（1）向量方的長度與向量0的長度相等；（2）兩個非零向量”與人平行，則a與6的方

向相同或相反；（3）兩個有公共終點的向量一定是共線向量；（4）共線向量是可以移動到同

一條直線上的向量；（5）平行向量就是向量所在直線平行

A.2個B.3個C.4個D.5個

*6.△NBC中，。、E、產分別為8C、CA、的中點，在以/、B、C、D、E、尸為端點的

有向線段所表示的向量中，與質共線的向量有（）

A.2個B.3個C.6個D.7個

二、填空題

7.在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共線向量一定相等；（4）相等

向量一定共線；（5）長度相等的向量是相等向量；（6）平行于同個向量的兩個向量是共線

向量中，說法錯誤的是.

8.如圖，。是正方形的對角線的交點，四邊形。4ED、OCRS是正方形，在圖中所

示的向量中，

（1）與血相等的向量有__________________________

（2）與前共線的向量有__________________________

（3）與前模相等的向量有

（4）向量前與否是否相等？答：.

9.O是正六邊形Z8CDEF的中心，且加=a,OB=b,

。為端點的向量中：

（1）與a相等的向量有；

（2）與6相等的向量有；

（3）與c相等的向量有.

*io.卜?列說法中正確是（寫序號）

（1）若。與b是平行向量，則a與Z（方向相同或相反;

（2）若在與歷共線，則點力、B、C、。共線；

（3）四邊形為平行四邊形，則刀=而；

(4)若a=b,b=c,則a=c；

(5)四邊形ABCD中，荏=反且|而|=|Z51，則四邊形/BCD為正方形;

(6)a與b方向相同且|a|=|四與a=6是一致的；

三、解答題

11.如圖，以”3方格紙中兩個不同的格點為起點和終點的所有向量中，有多少種大小不

同的模？有多少種不同的方向？

12.在如圖所示的向量a、氏c、d、e中(小正方形邊長為1)是否存在共線向量？相等向

量？模相等的向量？若存在，請-一舉出.

13.某人從/點出發向西走了200根達到8點，然后改變方向向西偏北60°走了450機到達

C點,最后又改變方向向東走了200m到達。點

(1)作出向量在、BC.CD(1c加表示200團)；

(2)求為的模.

,14.如圖，中國象棋的半個棋盤上有一只“馬”，開始下棋時它位于A點，這只“馬”第一步

有幾種可能的走法？試在圖中畫出來；若它位于圖中的P點，則這只“馬”第一步有幾種

可能的走法？它能否走若干步從A點走到與它相鄰的B點處？

AB

§2.2.1向量加減運算及幾何意義

班級姓名學號得分

一、選擇題

1.化簡麗-麗+而所得的結果是()

A.MPB.NPC.0D.MN

2.設況=a,OB=bJl.|a|=|ft|=6,ZAOB=\20°,貝|口一6|等于()

A.36B.12C.6D.6石

3.a,5為非零向量，且口+例=|a|+曲，則()

A.0與力方向相同B.a=bC.a=—bD.a與方方向相反

4.在平行四邊形N8CD中，^\BC+BA\=\BC+AB\,則必有()

A.48CD為菱形B./BCD為矩形C.488為正方形D.以上皆錯

5.已知正方形力8C。邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c,貝ll|a+b+c|等于（)

A.0B.3C.2V2D.6

*6.'^.（AB+CD）+（BC+DA）=a,而b是一非零向量，則下列個結論:（1）。與b共線;(2)

a+b=a；(3)a+6=ft；(4)|a+b\<\a|+網中正確的是()

A.⑴⑵B.⑶(4)C.⑵(4)D.(1)(3)

二、填空題

7.在平行四邊形488中，AB=a,而=b,則爹=,BD=_______.

8.在a=”向北走20hw'',人="向西走20hn”，貝lja+。表示_________

9.若|而|=8,|充|=5,貝Ui宓|的取值范圍為_____________.

*10.一艘船從A點出發以2石也?防的速度向垂直于河岸的方向行駛，而船實際行駛速度的

大小為4km/h,則河水的流速的大小為.

三、解答題

11.如圖，O是平行四邊形ABCD外一點，用刀、無、雙表示歷.

12.如圖，在任意四邊形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，求證：AB+DC=EF+EF.

BC

13.飛機從甲地按南偏東10°方向飛行2000人加到達乙地，再從乙地按北偏西70°方向飛行

2000A”?到達丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距離甲地多遠？

*14.點。、E、尸分別是△N8C三邊/8、BC、C4上的中點,

求證：(1)AB+BE=AC+CE；

(2)EA+FB+DC=0.

§2.2.2向量數乘運算及其幾何意義

班級姓名學號得分

一、選擇題

1.已知向量回=e「2e2,b=2ei+ez,其中ei、e2不共線，貝!Ja+b與c=6e「2e2的關系為（）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

2.已知向量e1、不共線，實數（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6ei+3e2,則x—y的值等于（）

A.3B.-3C.0D.2

3.若刀=3a,而=一5”,且|力|=|脛則四邊形ABCD是（）

A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰梯形

4.AD,8E分別為△48C的邊BC、/C上的中線，且赤F,詬=6,那么就為（）

A.—a+—hB.—a——bC.—a——hD.——a+—h

33333333

5.已知向量a力是兩非零向量，在下列四個條件中，能使a力共線的條件是（）

①2a-36=4e且a+2b=-3e

②存在相異實數2,〃，使癡-油=。

@xa+yb=O（其中實數x,y滿足,r+y=O）

④已知梯形/8C。，其中方=a,而切

A.①②B.①③C.②D.③④

*6.已知△N8C三個頂點/、B、C及平面內一點尸，若方+麗+斤=而，貝IJ（）

A.P在△4BC內部B.P在A4BC外部

C.P在N8邊所在直線上D.尸在線段BC上

二、填空題

7.若|a|=3力與a方向相反，且例=5,貝ija=b

8.已知向量ei,e2不共線，若2e|—ez與e1一加2共線,則實數4=

9.a,h是兩個不共線的向量，且萬=%+涉，麗=?+3），麗=2a—力，若/、8、D三點共線,

則實數k的值可為

,10.已知四邊形N8CD中，而=a-2c,麗=5a+6ft-8c對角線4C、8。的中點為E、F,

則向量而=

三、解答題

11.計算：⑴(-7)x3=

⑵4(0+5)—3(Q—g一8。=

(3)(5a—4Z>+c)—2(3a—2ft+c)=

12.如圖，設/初是△48C的中線，AB=a,~AC=b,^.AM

13.設兩個非零向量。與小不共線，

⑴若/月=?+/>,8C=2a+8Z>,8=3(。-A),求證：/、B、。三點共線;

⑵試確定實數晨使妨+/>和a+汕共線.

*14.設為，歷不共線，尸點在AB上，求證:麗=7刃+〃歷且/l+xie〃GR).

§2.3.1平面向量基本定理及坐標表示(1)

班級姓名學號得分

一、選擇題

1.下列向量給中，能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是()

A.白=(0,0),。2=(1,一2);B.6=(-1,2)M=(5,7);

C.^1=(3,5),e2=(6,10);D.0=(2,-3)色=(；,-1)

2.已知向量〃、b,且Z6=a+2b,8。=-50+6力，C￡)=7a-2"則一定共線的三點是()

A.A、B、DB?A、B、CC.B、C、DD.A、C、D

3.如果臼、?是平面。內兩個不共線的向量，那么在下列各說法中錯誤的有()

①朧]+〃e2(2,〃￡R)可以表示平面a內的所有向量；

②對于平面a中的任響量〃，使。=如+〃。2的兒〃有無數多對；

③若向量九q+"道2與22。1+〃2。2共線，則有且只有一個實數匕使22。1+〃2。2=%(九幻+〃口)；

④若實數A,〃使為+〃e2=tf,則2=〃=0.

A.①②B.②③C.③④D.僅②

4.過△48C的重心任作一直線分別交AB、/C于點。、E,AD=xAB,AE=yAC

則的值為()

xy

A.4B.3C.2D.1

5.若向量。=(1,1)力=(1,?1)片(-2,4),則。=()

A.-a+3bB.3a-hC.a-3bD.-3a+b

*6.平面直角坐標系中，。為坐標原點,已知兩點4(3,1),8(-1,3),若點C(x,y)滿足

OC=aOA+(iOB,其中a/GR且a+￡=l，則xj所滿足的關系式為()

A.3x+2y-ll=0B.(x-l)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=O

二、填空題

7.作用于原點的兩力F,=(1,1),F2=(2,3),為使得它們平衡，需加力尸3=:

8.若4(2,3),8(x,4),C(3y),且荏=2方，則尸,尸_______;

9.已知4(2,3),8(1,4)且;AB=(sina,cos/?),a,[iG(?~《),則a+/?=

*10.已知0=(1,2)力=(-3,2),若版+6與Q-3b平行，則實數k的值為

三、解答題

11.已知向量6與向量a=(5,-12)的方向相反，且例=26,求力

12.如果向量方=7/，比=+時,其中八_/分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定

實數”的值使/、B、C三點共線。

13.已知/、B、C三點坐標分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2),AE=^AC,BF=^BC,

求證：EF//AB

,14.已知4(2,3)、8(5,4)、C(7,10),若萬=萬+4萬(4e7?),試求2為何值時，點尸在第

三象限內？

§2.3.2平面向量的基本定理及坐標表示⑵

班級姓名學號得分

一、選擇題

1.三點/出,乃),仇＞2,"),。(》3,刈)共線的充要條件是)

A.xy2rzy1=0B.X1^3-X3J/|=O

c.(X2-X1)(y3-?1)=(^3-X\)(y2-y\)D.(X2-X!)(x3-x,)=02-^1)(P3-^1)

2.已知4,8,C三點共線，且力(3,-6),8(-5,2),若點C橫坐標為6,則C點的縱坐標為()

A.-13B.9C.-9D.13

3.若三點P(l,l),A(2,-4),8(x,-9)共線，則()

9

A.x=-1B.x=3C.x=-D.51

2

4.下列各組的兩個向量，共線的是()

A.a,=(-2,3),/>i=(4,6)B.做=(2,3),岳=(3,2)

D.4=(-3,2),d=(6,-5)

C.a3=(1,-2),*3=(7,-14)。

31

5.設a=(],sina),b=(cosa,-)9且。〃方，則銳角a為()

A.30°B.60°C.45°D.75°

*6.已知△48C的兩個頂點4(3,7)和8(25),若4c的中點在x軸上，3C的中點在y軸上,

則頂點C的坐標是()

A.(2,-7)B.(-7,2)C.(-3,-5)D.(5,3)

二.填空題

7.△48C的三條邊的中點分別為(2,1)和G3,4),(-1,-1),則△Z3C的重心坐標為.

8.已知向量a=(2x,7),辦=(6/+4),當x=時,al1b.

9.若|a|=2,b=(-1,3),且a/力，貝lja=_________.

*10.設點M(2,—2),此(―2,6),點M在此必的延長線上，K|MiM\=^\MM2\,則點M的

坐標是.

三.解答題

11.設向量宓=(后,12),無=(4,5),前=(10?),當一為何值時,48。三點共線?

12.已知點3(1,0)是向量a的終點，向量瓦c均以原點。為起點，且』=(-3,—4),c=(l,l)與

向量。的關系為a=3b-2c,求向量a的起點坐標.

13.已知三個力尸1=(3,4),尸2=(2,-5),尸3=(x,y)的合力吊+尸2+尸3=。,求尸3的坐標?

*14.已知4(-1,-1),3(1,3),C(4,9)

(1)求證：48,C三點共線；

(2)求九=生和石=絲，并解釋a,及的兒何意義。.

CBAC

§2.4平面向量的數量積

班級姓名學號得分

一、選擇題：

1.已知，例=4,且。與?的夾角為g，貝IIab的值是()

A.1B.±1C.2D.±2

2.△ZBC中，AB-BC>0，則△NBC是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.已知且a=2i+3j,b=ki-由，若小兒則女的值是()

A.6B.-6C.3D.-3

4.已知〃，人。為非零向量，7為實數，則下列命題正確的是()

A.|。?"=同例B.(a協)?c=a?(b?c)C.ta*b=tb-aD.a*b-a-c=b-c

5.已知兩個力B,尸2的夾角為90°,它們的合力的大小為10N,合力與尸i的夾角為60°,則

品的大小為()

A.5初NB.5NC.10ND.5&N

*6.已知。2=1,62=2,3-e.0=0,則。與0的夾角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

二.填空題：

7.已知下列各式：①②—^=—③他獷4./④（a+力）2^2+2^3+62淇中正確的等

aa

式的序號是___________

8.已知|。|=2,叫=4,〃山=3,則（2。-3b）?（7z+〃）=

9.已知向量次=（-1,2）,為=（8,相）,若刀，萬，則加=

*10.若a=（九4）,b=（-3,5）,且a與b的夾角為鈍角，則2的取值范圍是

三.解答題：

11.已知a,b都是非零向量，且。+3》與7a-5b垂直,a-4分與7a-2b垂直，求a與b的夾角.

12.已知向量。也c滿足a+〃+c=0,且同=3,例=5,|c|=7,求a,b的夾角0.

13.以原點和點4(3,1)為兩個頂點作等腰直角三角形△048,N8=90°、求點B的坐標.

1萬

*14.已知向量。=(6,-1>〃=(5，萬~),若存在非零實數左J使得戶a+任2-3)方，y=?Aa+也且x_Ly,

試求："的最小值.

§2.5平面向量應用舉例

班級姓名學號得分

一、選擇題

1.如果△43C的頂點坐標分別是4(4,6),B(?2,1),C(4,-1),則重心的坐標是()

A.（2,l）B.（2,2）C.（l,2）D.（2,4）

2.人騎自行車的速度為n風速為也，則逆風行駛的速度大小為（）

\vI

A.V|-V2B.V|+i>2C.|v）|-\i>21D.

lI

3.在菱形N8CD中，下列關系中不正確的是（）

\.7B//CDB.（AB+BC）-L（BC+CD）

C.（AB-^D）（BA-BC）=OD.7B-7D=BCCD

4.某人在高為6米的樓上水平拋出一石塊，速度為v,則石塊落地點與拋出點的水平位移的

大小是（）

A.V楞BM樣C.v網D.M廊

5.兩個大小相等的共點力科、尸2，當它們間夾角為90°時合力大小為20N,則當他們的夾角

為120°時，合力的大小為（）

A.40NB.10&NC.2072ND.10>/3N

6.(06廣東)如圖所示,。是AJBC的邊.48上的中點.則向M：而

A.-BC+—RIB.-BC--BA

22

—I—

C.DBC+-at

二、填空題

7.某人以時速“km向東行走，此時正刮著時速akm的南風，那么此人感到的風向是,

風速為.

8.已知方=a也祝=2a也網=3,步|=4，。與b的夾角為60°,則△/8C的三邊的長分別是

9.一艘船從/點出發以6/6的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為

2km/h，則船實際航行的速度的大小和方向是.

10.已知向量a=(xi，yO,b=(X2,y2),c=(x3,y3),定義運算”*"的意義為a*b=(xly2>x2yi).

則下列命題:①.若a=(l,2),b=(3,4),則a*b=(6,4)；②.a*b=b*a；③.(a*b)*c=a*(b*c)；

(a+b)*c=(a*c)+(b*c)中，正確的命題序號是*

三、解答題

11.已知/為△/BC的邊BC的中點，求證:力82+/。2=2（/1+8"）.

12.在等腰△ABC中方。、CE是兩腰上的中線，且BDLCE,求頂角N的余弦值.

13.某一天，一船從南岸出發，向北岸橫渡.根據測量，這一天水流速度為3回7色方向正東,風的方

向為北偏西30°,受風力影響，靜水中船的漂行速度為3h〃色若要使該船由南向北沿垂直與河

岸的方向以26km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.

14.設3、B是兩個不共線的非號向量(WR).

(1)起點相同，，為何值時，a,tb,1(a+b)響箕的終點在H線上？

(2)|-|gI‘北火角為60。,那么，為何值時一"I的值最?。?/p>

數學必修(4)同步練習參考答案

§2.1平面向量的實際背景及基本概念

一、ADCBAD

二、7.⑴⑵⑶⑸⑹

8.(1)BF；(2)BF、C(XDE；(3)荏、的、而、的、而、麗、瓦；(4)不相等

9.(l)OD,FE,BC；(2)FA.EO,DC；(3)FO.OC^D

*10.(4)

三、11.有6種大小不同的模，有16種不同的方向.

12.有共線的向量：a與d；力與e；

沒有相等的向量；

有模相等的向量:\a\=\c\=\d\.

13.(1)如圖所示

(2)由題意可知，ABCD是平行四邊形，A|DA|=|BC|=450m

*14.若開始時位于A點，則它的第一步有3種可能的走法；

若開始時位于P點，則它的第一步有8種可能的走法；

能從/點走到與它相鄰的B點.

§2.2.1向量加減運算及幾何意義

-、CDABCD

二、7.-(Q+A)；b~a

8.向西北走205/Ikm

9.[3,13]

*10.2km/h

三、11.OC-OB=BC,OD-OA=AD,

又前=X6,

OC-OB=OD-6A

AOD=OA+OC-OB

12.?/EF=EA+AB+BF,

EF=ED+DC+CF,

■一一.'?—?—?

EF+EF=EA+AB+BF+ED+DC+CF

=(EA+ED)+(BF+CF)+AB+DC

=AB+DC

13.由題可知，甲、乙、丙三地構成正△,

，內地距離甲地2000km,

由圖可得，型場地州南偏西50°方向.

,14.(1)vAB+JE=JE,

AC+CE=AE,

：.AB+BE=AC+CE

(2)由向量加法的平行四邊形法則可得：

EA+FB+DC

=(EF+ED)+(FD+FE)+(DF+DE)

=(EF+FE)+(FD+DF)+(ED+DE)

=0

§2.2.2向量數乘運算及其幾何意義

一、BACAAD

二、7.8.±1;9.-8;10.3a+3Z>-5c

5

三、ll.(D-42a(2)-7a+7f>(3)-a-c

-----1——1,......——..........1

12.BM=-BC=-(b-a),則力〃=46+8河=](〃+》)

13.W：BD=BC+CD=5(a+b)=5AB=2DC：.AB、麗共線，又它們有公

共點，

所以A、B、C三點共線

⑵依題：存在實數人使履+4加+助即出川=(〃力/

:?k4=2k-\=0/.k=±1

*14證明:VPAB±,AP=tAB(t€R)

工OP=OA+AP=OA+iAB=OA+t(OB-。4)=。4(1一Z)+ZOB

令2=1?1,〃=t故OA=AOA+〃。及且；I+〃=1

§2.3.1平面向量基本定理及坐標表示(1)

—,BABBCD

二、7.(-3,-4)；8.4,-；9.又或-工；10.--

2623

三、11.V|*|=|2||a|,/.A=-2,則4(-10,24)

12.?.1、B、C三點共線,.?.存在實數君=2反，即(1,-2)=41"),；.m=-2

、一?1—?2212

13.設Eg,乃)風電,及)，；AE=QAC,，(xi+l,yi)=(三,工),.*.xi=--,^i=-,

JJDOJ

—i—?77,?2

乂BF二鼻BC,,次+D=(--JXx2=—，外力，則EF=

__oo2?__?__

由于在=(4,-1)==^EF，所以而〃聲

14.設P(x,y),則AP=(x-2,y-3),而在+AAC=(3+51,1+72),

../3+5/l=x-j即卜=5+51,因為「在第三象限，所以5+52V0且4+7"0,，次-1.

[^-3=1+72[歹=4+74

§2.3.2平面向量的基本定理及坐標表示(2)

一、CCBCCA

二、7.(一總；8.3或一7；9.(一明卑),(孚一率)；10.(3,-4)

三、11.由在=(4次,-7),AC=(10-k,h12)得,(4d)(k12)-(-7)(10次尸0,4-2或仁11

12.設a的起點坐標為A(x,y)，則N8=(l-x,-y)=(-ll,-14),解得x=12,尸14.

13.尸i+尸2+尸3力得F3=-(F|+F2)=(-5,1)

14.(1)由48=(2,4),/C=(5,10)得,=所以/,8,C共線；(2)