2．1直線的傾斜角與斜率2．1.1傾斜角與斜率素養目標?定方向

1．理解直線的斜率和傾斜角的概念．(重點)2．理解直線的方向向量和向量坐標表示．(重點)3．掌握過兩點的直線斜率的計算公式，會應用斜率公式求直線的斜率．(難點)

1．通過傾斜角概念的學習，提升數學抽象的數學素養．2．通過斜率和直線方向向量的學習，培養邏輯推理和數學運算的數學素養.必備知識?探新知

直線的傾斜角知識點11.傾斜角的定義(1)當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸_______與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為_______________.思考1：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？提示：由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．正向0°≤α<180°做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)與x軸垂直的直線，其傾斜角為90°.(

)(2)與x軸平行的直線，其傾斜角不存在．(

)(3)不存在傾斜角相同的直線．(

)√××直線的斜率知識點21.直線的斜率把一條直線的傾斜角α的_________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝______________.2．過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝______.提醒：所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率．當直線的傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，但并不是該直線不存在，此時直線垂直于x軸(或平行于y軸或與y軸重合)．正切值tanα思考2：當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時，其斜率如何變化？提示：當傾斜角為銳角時，其斜率為正值，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大，當傾斜角為鈍角時，其斜率為負值，斜率隨著傾斜角的增大而增大，當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．做一做：直線l過(1,0)和(1,2)兩點，則其傾斜角和斜率分別是(

)A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在[解析]

因為直線l過(1,0)和(1,2)兩點，則直線l的斜率不存在，則其傾斜角為90°.C直線的斜率與方向向量的關系知識點3(1)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量的坐標為_____________.(2)若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，則直線l的斜率k＝______.做一做：若直線l的傾斜角為135°，則直線l的一個方向向量的坐標為_______________.[解析]

直線l的斜率k＝tan135°＝－1，則直線l的一個方向向量的坐標為(1，－1)．(1，k)(1，－1)關鍵能力?攻重難1．(1)下列說法正確的是(

)①直線傾斜角的范圍是[0，π)；②斜率相等的兩條直線的傾斜角一定相等；③任何一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角；④任何一條直線都有傾斜角和斜率．A．①② B．①④C．①②④ D．①②③題型探究題型一直線的傾斜角A(2)(多選題)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°AB[解析]

(1)由于直線傾斜角的范圍是[0，π)，故①正確；由于斜率相等的兩條直線的傾斜角一定相等，故②正確；由于不是所有直線都有斜率，例如和x軸垂直的直線斜率不存在，但它的傾斜角為90°，故③不正確；根據和x軸垂直的直線斜率不存在，可得④錯誤．(2)根據題意，畫出圖形，如圖所示，通過圖象可知，當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選AB.[規律方法]

直線傾斜角、斜率的概念的幾個關注點(1)傾斜角越大，直線的傾斜程度越大；(2)當傾斜角是銳角時，斜率大于0，當傾斜角是鈍角時，斜率小于0；(3)根據直線的旋轉、圖形的角度關系可以求傾斜角．(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(

)A．30°

B．60°C．30°或150°

D．60°或120°(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為___________.對點訓練?D135°[解析]

(1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.(2)設直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.題型二已知兩點坐標求傾斜角和斜率2．(1)過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于(

)A．1

B．5C．－1

D．－5(2)已知直線l經過點P(3，m)和點Q(m，－2)，直線l的方向向量為(2,4)，則直線l的斜率為______，實數m的值為______.D2[規律方法]

直線斜率的計算方法(1)判斷兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在．對點訓練?C－2題型三斜率與傾斜角的應用角度1求斜率的范圍3．已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．(1)要使直線l與線段AB有公共點，則k≤－1或k≥1，即直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.角度2三點共線問題4．若三點A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一條直線上，則實數k＝_____.6[規律方法]

1.用斜率公式解決三點共線的方法2．直線的斜率與傾斜角的函數關系直線的斜率k＝tanα，0°≤α<180°且α≠90°.(1)若三點A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直線上，則實數b等于(

)A．2 B．3C．9 D．－9(2)已知點P(－1，－1)，另有兩點A(1,0)，B(0,1)，若過點P的直線l與線段AB有交點，則直線l的斜率取值范圍為_________.對點訓練?D易錯警示忽視傾斜角是90°的直線斜率不存在致誤5．求經過A(m,3)、B(1,2)兩點的直線的斜率，并指出傾斜角α的取值范圍．[辨析]

當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象進行分類討論，然后對每一類分別研究，得出每一類結果，最終解決整個問題．本題的討論分兩個層次：第一個層次是討論斜率是否存在；第二個層次是討論斜率的正、負．也可以分為m＝1，m>1，m<1三種情況進行討論．[誤區警示]

在解決與斜率有關的問題時，要根據題目條件對斜率是否存在做出判斷，以免漏解．課堂檢測?固雙基1．已知直線l經過A(1,2)，B(3,5)，則直線l的一個方向向量為(

)A