Page1專題11菱形的性質與判定【考點一】菱形的性質與判定綜合考例題：（浙江杭州·模擬預料）如圖，在四邊形中，，，對角線、交于，平分．(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點作交的延長線于點，連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)6【解析】【分析】（1）由平行線的性質，角平分線的定義可知，依據一組對邊平行且相等證明四邊形是平行四邊形，進而可證平行四邊形是菱形；（2）由菱形的性質可知，為線段的中點，則是斜邊上的中線，可知，在中，由勾股定理得，求出的值，進而可得的值．(1)證明：∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是菱形．(2)解：∵四邊形是菱形，，∴，，，∴為線段的中點∵，∴，∴是斜邊上的中線，∴，在中，，，由勾股定理得，∴，∴的長為6．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，平行四邊形的判定，菱形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等學問．解題的關鍵在于對學問的嫻熟駕馭與靈敏運用．【變式訓練】1．（吉林四平·八年級期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF，若∠CEF＝30°，BE＝2，干脆寫出四邊形ABCD的周長．【答案】(1)見解析(2)16【解析】【分析】（1）依據平行四邊形的性質可得∠B＝∠D，進而易證△ABE≌△ADF（ASA），即得出AB=AD，進而即可求證結論：?ABCD是菱形；（2）由菱形的性質可知BC=CD，進而可得CE=CF，再由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出∠ECF=120°，即求出∠B=60°，最終利用含30°角的直角三角形的性質即可求出AB的長，進而即可求出菱形的周長．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．(2)如圖，由（1）可知BC=CD，∵BE=DF，∴CE=CF，∴∠CFE=∠CEF=30°，∴∠ECF=180°?2∠CEF=120°，∴∠B=180°?∠ECF=60°，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴，∴菱形ABCD的周長為．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質以及含30°角的直角三角形的性質等學問．利用數形結合的思想是解答本題的關鍵．2．（貴州遵義·二模）如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作交BE于點G，連接CG．(1)求證：四邊形CEFG是菱形；(2)若，，求四邊形CEFG的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）依據折疊的性質得CE=EF，∠CEB=∠FEB，依據“SAS”易證△GEF≌△GEC，由全等三角形的性質可得GF=GC，∠FGE=∠CGE，易證四邊形CEFG是平行四邊形，由CE=EF即可求證結論；（2）由勾股定理和折疊的性質求得DF的長，設CE=x，由（1）結論在Rt△DEF中依據勾股定理列方程求解即可；(1)由折疊的性質可得CE=EF，∠CEG=∠FEG，又GE=GE，∴△GEF≌△GEC（SAS），∴GF=GC，∠FGE=∠CGE，∵FG∥CD，∴∠FGE=∠CEG，∴∠CGE=∠CEG，∴EC=GC，∴GF=EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE=EF，∴四邊形CEFG是菱形；(2)∵ABCD是矩形，AB=3，BC=5，∴BF=AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=90°，在Rt△ABF中，由勾股定理可得：∴，，設，則，在Rt△DEF中，，即，解得：，即，∴四邊形CEFG的面積．【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，菱形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理；駕馭相關性質是解題關鍵．3．（吉林四平·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點A作AE⊥BC于E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）依據菱形的性質得到AD∥BC且AD=BC，等量代換得到BC=EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，依據矩形的判定定理即可得到結論；（2）由菱形的性質得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出答案．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；(2)∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10－4＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理得:，在Rt△ACE中，由勾股定理得：，

∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質等學問，嫻熟運用菱形的性質和矩形的判定定理是解題的關鍵．4．（四川達州·九年級期末）如圖，在四邊形中，，是的中點，連接，，過點作交于點，且，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)6【解析】【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線性質得，，則，再證，則四邊形是平行四邊形，即可得出結論；（2）依據是的中點，得到，依據菱形的性質得到，求得，于是得到結論．(1)證明：∵，是的中點，∴，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．(2)解：∵是的中點，，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴與同底等高，∴，∴．∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質．嫻熟駕馭直角三角形斜邊上的中線性質，證明四邊形為菱形是解題的關鍵．5．（吉林四平·八年級期末）如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠ABC，點D是邊AB上的一個動點，且不與A、B兩點重合，過點D作DE⊥AC于點E，點F是射線ED上的點，且DF＝CB，連接BF、CD，得到四邊形BCDF．(1)求證：四邊形BCDF是平行四邊形；(2)若AB＝8，∠A＝30°，設AD，四邊形BCDF的面積為S，求S關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在（2）的條件下，是否存在這樣的點D，使四邊形BCDF為菱形？若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)S＝，0＜＜8(3)存在，【解析】【分析】（1）首先證明FE∥BC，然后依據平行四邊形的判定方法即可求證結論；（2）由題意，先求出BC和AC的長度，設AD=x，求出AE的長度，然后表示出CE的長度，即可求出答案；（3）由菱形的性質，得到BD=BC=DC，然后求出BD的長度，得到點D是AB的中點，即可得到答案．(1)證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AC，∴FE∥BC，∵DF＝CB，∴四邊形BCDF是平行四邊形；(2)∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠A＝30°，∴BC＝4，∴由勾股定理可得：，∵∠AED＝90°，AD＝，∴DE＝，AE＝∴，∴，∵點D不與A、B兩點重合，∴自變量x的取值范圍為：0＜＜8；(3)存在，若四邊形BCDF為菱形，∴BC＝DC，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△BCD為等邊三角形，∴BD＝BC＝DC，∵BC＝4，AB＝8，∴BD＝AD＝4，∴＝4，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，以及中位線定理，解題的關鍵是嫻熟駕馭所學的性質定理進行解題．留意駕馭數形結合的思想進行解題．6．（山東·薛城區北臨城中學模擬預料）在菱形ABCD中，，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點B的位置隨點P的位置變更而變更．(1)如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是______，CE與AD的位置關系是______；(2)當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明：若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種狀況予以證明或說理）(3)如圖4，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若，，求四邊形ADPE的面積．【答案】(1)BP=CE，CE⊥AD(2)成立，證明見解析(3)【解析】【分析】（1）連接AC，依據題意可得△ABC和△ADC為等邊三角形，從而AB=AC，又有△APE為等邊三角形，可得AP=AE，∠BAP=∠CAE，可證△ABP與≌ACE，得到BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，再依據等邊三角形的性質可得CE⊥AD，即可解答；（2）依據題意可得△ABC和△ADC為等邊三角形，從而AB=AC，又有△APE為等邊三角形，可得AP=AE，∠BAP=∠CAE，可證△ABP與≌ACE，得到BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，再依據等邊三角形的性質可得CE⊥AD，即可解答；（3）連接AC，CE，設AD與CE交于點M，AC與BD交于點O，由（2）可得∠BCE=90°，依據勾股定理求出CE，然后分別求出和，即可求解．(1)解：（1）如圖，連接AC，延長CE交AD于點H，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=30°，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC和△ADC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，AB=AC，∵△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC，即∠BAP=∠CAE，在△ABP與△ACE中，，∴△ABP與≌ACE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAD=60°，，∴CE⊥AD；故答案為：BP=CE，CE⊥AD；(2)解：成立，BP=CE，CE⊥AD；選擇圖2中的狀況，設CE與AD的交點為點H，證明如下：∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=30°，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC和△ADC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，AB=AC，∵△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC，即∠BAP=∠CAE，在△ABP與△ACE中，，∴△ABP與≌ACE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAD=60°，，∴CE⊥AD；選擇圖3中的狀況，證明同圖2方法一樣；故當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論照舊成立．(3)解：如圖，連接AC，CE，設AD與CE交于點M，AC與BD交于點O，由（2）可得BP=CE，CE⊥AD，∠ACE=∠ABP=30°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠BCE=∠ACB＋∠ACE=90°，∵BC=AB=，BE=2，∴CE=，∴BP=CE=8，∵△ADC為等邊三角形，AD=AB=AC=，∴，，∴EM=CE-CM=5，∴AE=，∵△AEP為等邊三角形，∴，∴AP邊的高為，，∵AB=，∴AO=，∴，∴BD=2OB=6，∴DP=BP-BD=8-6=2，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，勾股定理，能依據題意得到全等三角形，充分利用等邊三角形的性質是解題的關鍵．【考點二】菱形的折疊問題例題：（廣東河源·九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG＝2，AD＝6，則BE的長為（）A． B． C．3 D．3.5【答案】A【解析】【分析】作EH⊥BD于H，依據折疊的性質得到EG＝EA，依據菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到△ABD為等邊三角形，得到AB＝BD，依據勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作EH⊥BD于H，由折疊的性質可知，EG＝EA，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，設BE＝x，則EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，解得，x＝，∴BE＝，故選：A．【點睛】此題考查了菱形的性質，折疊的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理，熟記各學問點并綜合運用是解題的關鍵．【變式訓練】1．（山西·模擬預料）如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的點，將沿EF折疊，使點的對應點落在邊上，若，則的長為______．【答案】##【解析】【分析】依據菱形性質和，可得，，，過點作于點，于點，過點于點，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：在菱形中，，，，，如圖，過點作于點，于點，過點于點，得矩形，如圖所示：，，，，，，由翻折可知：，，，，，，解得，，在中，，，，，，，，在中，依據勾股定理，得：，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理求線段長，涉及到翻折變換的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理，嫻熟駕馭翻折變換的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．2．（遼寧錦州·一模）如圖，在菱形中，F為邊上一點，將沿折疊，點C恰好落在延長線上的點E處，連接交于點G，若，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】依據折疊的性質得CF=EF，DF⊥BC，代入相關數據可得CF=5，BC=7，由菱形的性質得DC=7，最終依據勾股定理可得DF的長．【詳解】解：由折疊得，CF=EF，DF⊥BC，∵BE=3，BF=2∴EF=BE+BF=3+2=5∴CF=5∴BC=BF+FC=2+5=7∵四邊形ABCD是菱形∴DC=BC=7在Rt△DFC中，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了折疊的性質，菱形的性質以及勾股定理等學問，依據折疊的性質得到CF=EF，DF⊥BC是解答本題的關鍵．3．（全國·九年級專題練習）如圖，點E是菱形ABCD邊AB的中點，點F為邊AD上一動點，連接EF，將△AEF沿直線EF折疊得到△A'EF，連接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，當△A'CD為直角三角形時，線段AF的長為______．【答案】2或【解析】【分析】分當時和當時兩種狀況探討求解即可．【詳解】解：如圖1所示，當時，取CD中點H，連接，∴，∵四邊形ABCD是菱形，E為AB中點，∴，∠A=180°-∠B=60°，，由折疊的性質可知，，∴，連接EH，∵，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴，，∵由三角形三邊的關系可知，當點不在線段EH上時，必有，這與沖突，∴E、、H三點共線，∴，∴△AEF為等邊三角形，∴；如圖2所示，當時，連接BD，ED，過點F作FG⊥AB于G，∵∠ABC=120°，四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∵E是AB中點，∴DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴∠EDC=90°，∴此時三點共線，由翻折的性質可得，∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，∴AF=2AG，EG=FG，∴，∵，∴，∴，故答案為：2或．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，折疊的性質，三角形三邊的關系，含30度角的直角三角形的性質，平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等等，利用分類探討的思想求解是解題的關鍵．4．（全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E為AD邊上的一個動點，連接BE，將AB沿著BE折疊得到A'B，A的對應點為A'，連接A'D，當A′B⊥AD時，∠A'DE的度數為______．【答案】15°##15度【解析】【分析】由菱形的性質可得，可證是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得垂直平分，，由折疊的性質可得，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，垂直平分，，，，將沿著折疊得到，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，等邊三角形的判定和性質，證明是等邊三角形是解題的關鍵．5．（安徽·合肥市五十中學新校二模）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕為EF且交BC于點F．（1）∠DEF＝________；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為________．【答案】

90°

2.8【解析】【分析】（1）由折疊得∠，再依據平角的定義可得結論；（2）首先證明B、G、D在同一條直線上，再運用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解由折疊得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案為：90°；（2）∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵點E為AB的中點，且AB=2∴∵點A與點G重合，∴∵點B與點H重合∴又∴∴點G與點H重合∵∠∴三點在同一條直線上過點D作，交BC的延長線于點O，如圖，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折疊得，，設，則∴，在中，∴解得，∴故答案為2.8【點睛】本題主要考查了菱形的性質，折疊的性質，勾股定理等學問，正確作出幫助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．【考點三】菱形的動點問題例題：（新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中學八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上一動點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F．若菱形ABCD的周長為20，面積為24，則PE＋PF的值為(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】連接BP，通過菱形的周長為20，求出邊長，菱形面積為24，求出SABC的面積，然后利用面積法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．【詳解】解：連接BP，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面積為24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故選：B．【點睛】本題主要考查菱形的性質，解題關鍵在于添加幫助線，通過面積法得出等量關系，求出PF+PE的值．【變式訓練】1．（山東德州·二模）如圖，菱形ABCD的邊長為9，面積為18，P、E分別為線段BD、BC上的動點，則PE＋PC的最小值為______．【答案】2【解析】【分析】如圖，連接AP，過點A作AH⊥BC于H．說明PA＝PC，再依據垂線段最短，解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接AP，過點A作AH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴A，C關于BD對稱，∴PA＝PC，∴PE＋PC＝AP＋PE，∵AP＋PE≥AH，∴PE＋PC≥AH，∵S菱形ABCD＝BC?AH，∴AH2，∴PE＋PC≥2，∴PE＋PC的最小值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查軸對稱=最短問題，菱形的性質，垂線段最短等學問，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考?？碱}型．2．（全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，對角線AC、BD交于點O，BD＝4，點E為OD的中點，點F為AB上一點，且AF＝3BF，點P為AC上一動點，連接PE、PF，則PF﹣PE的最大值為___．【答案】1【解析】【分析】取OB中點E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點P'．則PE＝PE'，當P與P'重合，P'、E'、F三點在同始終線上時，PF﹣PE'有最大值，即為FE'的長．【詳解】解：如圖，取OB中點E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點P'．則PE＝PE'，∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，當P與P'重合，P'、E'、F三點在同始終線上時，PF﹣PE'有最大值，即為FE'的長，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．∴AB＝BD＝AD＝4．∴OD＝OB＝2．∵點E'為OB的中點，E'B＝1，AF＝3BF，∴BFAB＝1，∵∠ABD＝60°，∴△BE'F為等邊三角形，∴E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最大值問題、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質，嫻熟運用軸對稱的性質和三角形三邊關系是解題的關鍵．3．（廣西貴港·二模）如圖，在邊長為2的菱形中，，動點P在對角線上，連接，則的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】過點P作于E，過點A作于F．依據題意由菱形的性質結合含30度角的直角三角形的性質可得出，即得出．從而可說明當A、P、E共線時，最小，即為AF的長．求出AF的長即可．【詳解】如圖，過點P作于E，過點A作于F，∵四邊形ABCD為菱形，且，∴，∴，∴．∵兩點之間線段最短，∴當A、P、E共線時，最小，即為AF的長．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等學問．正確的作出幫助線并推斷出AF的長為的最小值是解題關鍵．4．（陜西·商南縣富水鎮初級中學九年級期中）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠ADC=120°，點E是AD上一動點（不與點A，D重合），點F是CD上一動點，且AE+CF=4，則△BEF面積的最小值為______________.【答案】【解析】【分析】首先證明△BEF是等邊三角形，當BE⊥AD時面積最?。驹斀狻拷猓哼B接BD，∵菱形ABCD邊長為4，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，∴△ABD與△BCD都為等邊三角形，∴∠FDB=∠EAB=60°，∵AE+CF=4，而DF+CF=4，∴AE=DF，∵AB=BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴當BE⊥AD時，△BEF的面積最小，在Rt△ABE中，AE=AB=2，由勾股定理得BE=2，同理可得等邊△BEF的邊BE上的高為×2=3，△BEF面積的最小值=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、垂線段最短等學問，解題的關鍵是學會添加常用幫助線，構造全等三角形解決問題．5．（福建·莆田擢英中學一模）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），于點E，于點F，若，，則EF的最小值為______．【答案】【解析】【分析】連接OP，依據菱形的性質得到AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，依據勾股定理得到AB＝，依據矩形的性質得到EF＝OP，依據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接OP，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，∴AB＝，∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵當OP取最小值時，EF的值最小，∴當OP⊥AB時，OP最小，∴S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，垂線段最短，菱形的性質，嫻熟駕馭垂線段最短是解題的關鍵．6．（上海市奉賢區育秀試驗學校八年級階段練習）已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，點P是射線BC上的一個動點，∠PAQ=60°，交射線CD于點Q，設點P到點B的距離為x，PQ=y．(1)求證：△APQ是等邊三角形；(2)求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；(3)假如PD⊥AQ，求BP的值．【答案】(1)見解析；(2)y＝（x≥0）；(3)BP＝0或BP＝8【解析】【分析】（1）先推斷出△ABC是等邊三角形，進而推斷出△BAP≌△CAQ，即可得出AP＝AQ，即可得出結論；（2）先表示出AH，PH，利用勾股定理即可得出結論；（3）分兩種狀況，①推斷出點P和點B重合，②推斷出∠PAB＝90°即可得出結論．(1)證明：如圖1，連接AC∵四邊形ABCD為菱形∴AB＝BC，ABCD∵∠B＝60°∴△ABC是等邊三角形，∠BCD＝180°－∠B＝120°∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠ACQ＝∠BCD－∠ACB＝60°，∠PAQ＝∠BAC＝60°∴∠B＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ∴△BAP≌△CAQ，∴AP＝AQ∴△APQ是等邊三角形(2)解：如圖2，作PH⊥AB于點H，則∠BHP＝90°，∵∠B＝60°∴∠BPH＝30°，∴BH＝x，PH＝＝x，∵AB＝4，∴AH＝4﹣x∵△APQ是等邊三角形∴PQ＝AP＝y在Rt△AHP中，AP2＝AH2+PH2，∴y2＝（x）2+（4﹣x）2＝，∴y＝（x≥0）(3)解：①當點P在邊BC上，PD⊥AQ時，點P與點B重合，x＝0，即BP＝0．②如圖3，當點P在邊BC的延長線上，PD⊥AQ于點M，同（1）的方法得，△APQ為等邊三角形．∴∠PAQ＝60°，∵PD⊥AQ，∴AM＝QM，PM垂直平分AQ∴△DAQ是等腰三角形∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ADQ＝120°，∴∠DAQ＝＝30°，∴∠DAP＝30°∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°，∴AB＝BP∵AB＝4∴BP＝8，∴BP＝0或BP＝8【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，菱形的性質，含30°角的直角三角形的性質，推斷出△PAQ是等邊三角形是解本題的關鍵．7．（重慶永川·八年級期末）如圖1，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點分別在x軸、y軸上，其中C，D兩點的坐標分別為，．兩動點P、Q分別從A、C同時動身，點P以每秒1個單位的速度沿線段AB向終點B運動，點Q以每秒2個單位的速度沿折線CDA向終點A運動，設運動的時間為t秒．(1)求菱形ABCD的高h和面積s的值；(2)當點Q在CD邊上運動時，t為何值時直線PQ將菱形ABCD的面積分成1：2兩部分；(3)設四邊形APCQ的面積為y，求y關于t的函數關系式（要寫出t的取值范圍）；在點P、Q運動的整個過程中是否存在y的最大值？若存在，求出這個最大值，并指出此時點P、Q的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)24，(2)當時，直線PQ將菱形面積分成1：2兩部分(3)，存在最大值18，此時點P運動到AB的中點，點Q運動到與點D重合【解析】【分析】（1）先依據C、D的坐標求出，，即可利用勾股定理求出，再由菱形的性質可得，則；（2）如圖1．由已知可得：，，則，求出，再由直線PQ將菱形的面積分成1：2兩部分，則或，由此求解即可；（3）分當Q在CD上，即時和當Q在AD上，即時兩種狀況探討求解即可．(1)解：∵，，∴，．∵，∴．∵四邊形ABCD是菱形，∴菱形面積．∴菱形的高；(2)解：如圖1．由已知可得：，，則．則若直線PQ將菱形的面積分成1：2兩部分，則或．即，或．解得：或（舍去）．∴當時，直線PQ將菱形面積分成1：2兩部分．(3)當Q在CD上，即時，見圖2．∴此時，y隨t的增大而增大．∴當時，取得最大值．當Q在AD上，即時，見圖3．∴此時y隨t的增大而減小，無最大值．∴，在點P、Q運動的整個過程中，y有最大值18，此時點P運動到AB的中點，點Q運動到與點D重合．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，菱形的性質，勾股定理，一次函數的性質，解題的關鍵在于能夠嫻熟駕馭相關學問．8．（遼寧沈陽·九年級期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊APE（A，P，E按逆時針排列），點E的位置隨點P的位置變更而變更．（1）如圖1，當點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，則BP與CE的數量關系是，BC與CE的位置關系是；（2）如圖2，當點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；（3）當點P在直線BD上時，其他條件不變，連接BE．若AB＝2，BE＝2，請干脆寫出APE的面積．【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）照舊成立，見解析；（3）31【解析】【分析】（1）連接AC，依據菱形的性質和等邊三角形的性質證明△BAP≌△CAE即可證得結論；（2）（1）中的結論成立，用（1）中的方法證明△BAP≌△CAE即可；（3）分兩種情形：當點P在BD的延長線上時或點P在線段DB的延長線上時，連接AC交BD于點O，由∠BCE＝90°，依據勾股定理求出CE的長即得到BP的長，再求AO、PO、PD的長及等邊三角形APE的邊長可得結論．【詳解】解：（1）如圖1，連接AC，延長CE交AD于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案為：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的結論：BP＝CE，CE⊥AD照舊成立，理由如下：如圖2中，連接AC，設CE與AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的結論：BP＝CE，CE⊥AD照舊成立；（3）如圖3中，當點P在BD的延長線上時，連接AC交BD于點O，連接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD

BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝2，BC＝AB＝2，∴CE＝＝8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP＝＝＝2，∵△APE是等邊三角形，∴S△AEP＝×（2）2＝7，如圖4中，當點P在DB的延長線上時，同法可得AP＝＝＝2，∴S△AEP＝×（2）2＝31，【點睛】此題是四邊形的綜合題，重點考查菱形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等學問點，解題的關鍵是正確地作出解題所須要的幫助線，將菱形的性質與三角形全等的條件聯系起來，此題難度較大，屬于考試壓軸題．【考點四】菱形中無刻度作圖問題例題：（江西吉安·九年級期末）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，延