東莞威遠職中文化課數學教案：函數

一、基礎知識

定義1映射，對于任意兩個集合A,B,依對應法則/,若對A中的任意一個元

素x,在3中都有唯一一個元素與之對應，則稱3為一個映射。

定義2單射，若-3是一個映射且對任意都有八則稱

之為單射。

定義3滿射，若是映射且對任意都有一個使得八x)=y,則

稱/:A-3是A到8上的滿射。

定義4一一映射，若/:A-3既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一

映射存在逆映射，即從3到A由相反的對應法則尸構成的映射，記作尸:公一瓦

定義5函數，映射/:4一3中，若A,3都是非空數集，則這個映射為函數。A

稱為它的定義域，若且｛x)=y(即x對應3中的y),則y叫做x的

象，x叫y的原象。集合伏x)heA｝叫函數的值域。通常函數由解析式給出，止匕

時函數定義域就是使解析式有意義的未知數的取值范圍，如函數尸3&-1的定

義域為｛xlxNO,x?R｝.

定義6反函數，若函數(通常記作y/x))是一一映射，則它的逆映

射尸:A-3叫原函數的反函數，通常寫作y=「a).這里求反函數的過程是：在解

析式y=/(x)中反解x得行尸。)，然后將互換得y=P(x)，最后指出反函數的定

義域即原函數的值域。例如：函數產’的反函數是y=l-工(xwO).

1-XX

定理1互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱。

定理2在定義域上為增(減)函數的函數，其反函數必為增(減)函數。

定義7函數的性質。

(1)單調性：設函數在區間/上滿足對任意的X1,X2?/并且對<了2，總有

f(Xi)<f(X2)(f(X)>f(X2)),則稱外)在區間/上是增(減)函數，區間/稱為單調增(減)

區間。

(2)奇偶性：設函數y=/a)的定義域為D,且D是關于原點對稱的數集，若對

于任意的xGD,都有八j)=-?x),則稱八x)是奇函數；若對任意的xdD,都有

f（-x）=f（x）,則稱大x）是偶函數。奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y

軸對稱。

（3）周期性：對于函數八x）,如果存在一個不為零的常數T,使得當x取定義域

內每一個數時，八x+Q/x）總成立，則稱八x）為周期函數，T稱為這個函數的周期,

如果周期中存在最小的正數To,則這個正數叫做函數人x）的最小正周期。

定義8如果實數a<b,則數集｛xla<x<。,x?R｝叫做開區間，記作（a,b）,集合｛xla

記作閉區間集合｛xla<xWb｝記作半開半閉區間（。,勿，集合｛xla

Wx<b｝記作半閉半開區間［a,b）,集合｛xlx>a｝記作開區間（a,+8）,集合｛xlxWa｝

記作半開半閉區間

定義9函數的圖象，點集｛Q,y）ly=/a）,xGD｝稱為函數y=/（x）的圖象，其中D為

八x）的定義域。通過畫圖不難得出函數y/x）的圖象與其他函數圖象之間的關系

（a力>0）；（1）向右平移。個單位得到的圖象；（2）向左平移。個單位得

到y/x+a）的圖象;（3）向下平移b個單位得到y=f（x）-b的圖象;（4）與函數y=f（-x）

的圖象關于y軸對稱；（5）與函數尸爪-x）的圖象關于原點成中心對稱；（6）與

函數方尸⑴的圖象關于直線y=X對稱；（7）與函數尸蟲犬）的圖象關于x軸對稱。

定理3復合函數方4g（x）］的單調性，記住四個字：“同增異減"。例如尸上,

u=2-x在（-8,2）上是減函數，y='在（0,+°°）上是減函數，所以一在

u2-x

（-8,2）上是增函數。

注：復合函數單調性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導之后是顯

然的。

1.數形結合法。

1X

例1求方程卜11=4的正根的個數.

X

【解】分別畫出y=bll和產工的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程

X

有一個正根。

例2求函數危)=A/X4-3X2-6X+13-y/x4-x2+1的最大值。

2222

［解］?=7(X-2)+(X-3)-J(%2—1尸+(%—0)2,記點p8x-),A(3,2),

B(0,1),則/(x)表示動點P到點A和3距離的差。

因為1以1-解忘1431=*2+(2-1)2="5,當且僅當P為AB延長線與拋物線y=x2

的交點時等號成立。

所以危)皿產J市.

2.函數性質的應用。

…、幾…口[(1)2+1997(1)=-1.

例3設x,yCR,且滿足1,求x+y.

(y-爐+1997(y-1)=1

【解】設g)=P+1997t,先證加)在(-8,+oo)上遞增。事實上，若a<b,則

八。)十。)=/城+19973-4)=(。0(/+加+/+1997)>0,所以加)遞增。

由題設於-1)=-141-)0,所以x-l=l-y,所以x+y=2.

例4奇函數次0在定義域(-1,1)內是減函數，又八1-。)式1-/)<0,求。的取

值范圍。

【解】因為八X)是奇函數，所以大1也2)=蟲/一1),由題設大

又危)在定義域(-1,1)上遞減，所以解得0<0<1。

例5設八X)是定義在(-8,+oo)上以2為周期的函數，對左?Z,用4表示區

間(2hl,2A+l],已知當尤GTo時,f(x)=x,求八x)在。上的解析式。

【解】設xe/k，則2hl<xW2A+l,

所以大x-24)=(x-24F

又因為大刈是以2為周期的函數，

所以當x?4時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

例6解方程：(3%-1)(,9——6x+5+l)+(2x-3)(j4>2—12x+13+l)=0.

【解】令m=3x-1,n=2x-3,方程化為

m(J”？+4+1)+“(J"2+4+1)=0.①

若m=0,則由①得九=0,但m,不同時為0,所以mwO,

i)若m>0,則由①得〃<0,設加)=f(J/+4+1),則加)在(0,+8)上是增函數。

……4

又所以m=-n9所以3x-l+2x-3=0,所以x=<

4

ii)若m<0,且n>0o同理有m+〃=0,x=y,但與m<0矛盾。

綜上，方程有唯一實數解x=g

3.配方法。

例7求函數y=x+J2x+1的值域。

【解】y=x+V27+l=1[2x+l+2J2x+1+1]-1

=1(V2x+l+l)-l^1-l=--|.

當時，y取最小值一工，所以函數值域是卜工，+8)。

222

4.換元法。

例8求函數yiVm+Fi+ZxTi=Z+l),xG[O,l]的值域。

【解】令+因為x?[0,1],所以2WU2=2+2,1--W4,所以后W

uW2,所以正士2?犯匚W2,1W4W2,所以產士,「?[行+2,8]0

2222

所以該函數值域為[2+正，8]0

5.判別式法。

例9求函數產一的值域。

x+3x+4

【解】由函數解析式得(y-l)7+3(y+l)x+4y-4=0.①

當ywl時，①式是關于x的方程有實根。

所以△=9(丹1尸-16(廣1)220,解得)WyWL

又當尸1時，存在x=0使解析式成立，

所以函數值域為6，7]o

6.關于反函數。

例10若函數y/x)定義域、值域均為R,且存在反函數。若大x)在(-8,+8)上

遞增，求證：戶尸。)在(-8,+8)上也是增函數。

【證明】設X1<X2,且乃4^⑴),竺=^。2)，則不4》)，也不必)，若月三”，則因為

八%)在(-8,+8)上遞增，所以為2%2與假設矛盾，所以乃<>2。

即y才(X)在(-8,+8)遞增。

4x+l

例11設函數八%)=W解方程：f(x)=f\x).

3%+2

71

【解】首先八X)定義域為(-8,-()U[-i,+8)；其次，設凡必是定義域

一匹)

口24x2+1411+1_5(X2

內變量,修<%2<---；---------

33X2+23/+2(3X2+2)(3%1+2)

71

所以八%)在(-8，一_)上遞增，同理八》)在,+8)上遞增。

34

在方程外)刁*1(尤)中,記危)才(x)=y,則yNO,又由/(x)=y得")=%,所以了2

0,所以+8).

4

若xRy,設x<y,貝Uf(x)=y<f(y)=x,矛盾。

同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.

即/(x)=x,化簡得34+2/-4%-1=0,

fiP(X-1)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,

因為無NO,所以3/+5/+5%2+5%+1>0,所以x=l.

三、基礎訓練題

1.已知X={-1,0,1},y={-2,-i,o,1,2},映射/：x-y滿足：對任意的％ex,它

在y中的象人X)使得X4/(X)為偶數，這樣的映射有個。

2.給定A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射/：X-y,若/為單射，則/有

個；若/為滿射，則/有______個；滿足州%)]=/區)的映射有個。

3.若直線y4(x-2)與函數y=/+2x圖象相交于點(-1,-1),則圖象與直線一共有

個交點。

4.函數y=/(x)的值域為二,-],則函數g(x)=/a)+Jl-2/(%)的值域為。

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5.已知八