10.1隨機事件與概率10.1.4概率的性質

第1課時回顧與引入

在上一節中，我們學習了概率的定義以及一種重要的概率模型

——

古典概型，試回顧一下些方面的知識：

(1)事件的概率：對隨機事件發生可能性大小的度量.

(2)古典概型的特點:

①有限性:②等可能性:樣本空間的樣本點只有有限個;每個樣本點發生的可能性相等.(3)古典概型概率計算公式：n(A),

n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω所含的樣本點個數.(4)求解古典概型問題的一般思路:

①明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當的符號

(字母、數字、數組等)表示試驗的可能結果(必要時可借助圖、表);

②根據實際問題情境判斷樣本點的等可能性，確定試驗是古典概型;

③計算樣本點總個數及某事件包含的樣本點個數，求出事件的概率.

一般而言,給出了一個數學對象的定義,就可以從定義出發研究這個數學對象的性質.

例如,在給出指數函數的定義后,我們從定義出發研究了指數函數的定義域、值域、單調性、特殊點的函數值等性質,這些性質在解決問題時可以發揮很大的作用.

類似地,在給出了概率的定義后,我們來研究概率的基本性質.由于在研究概率的基本性質的過程中要涉及到事件的運算和關系，

因此，首先請大家再回憶一下事件的運算和關系：事件的關系或運算含義符號表示包含A發生導致B發生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發生AUB或A+B交事件(積事件)A與B同時發生A∩B或

AB互斥(互不相容)A與B不能同時發生A∩B=Φ互為對立A與B有且僅有一個發生A∩B=Φ且AUB=Ω知識探究問題1：

你認為可以從哪些角度研究概率的性質?

概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系；等等

問題2：

我們知道，“事件的概率是對隨機事件發生可能性大小的度量”，由此，你能得出概率的什么的性質?(1)概率的取值范圍

對任意的事件A，都有0≤

P(A)≤1.性質1:

(2)特殊事件的概率性質2:

必然事件的概率為1，

不可能事件的概率為0,即

P(Ω)=1，P(Φ)=0.

問題3：設事件A與事件B

互斥，那么和事件A∪B

的概率與事件A、B

的概率之間具有怎樣的關系?

試以P234例6來探討這個問題.

一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2

個紅色球(標號為1和2)，2

個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”.思考(2):

P(R)

,P(G

),P(

R∪G)各是多少,它們之間有何關系？

試驗的樣本空間可表示為

Ω={(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}n(Ω)=12事件R

與G

互斥，R∪G=“兩次摸到球顏色相同”.

思考(1):

事件R

與G

是什么關系，事件

R∪G

的含義是什么？∵R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)}∴

R∪G={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}即

n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=4

一般地，若事件A、B互斥，則A與B不含有相同的樣本點，

所以n(A∪B)=n(A)+n(B),

這等價于

P(A∪B)=P(A)+P(B).性質3:如果事件A

與事件B

互斥，那么

P(A∪B)=P(A)＋P(B).

即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件的概率之和.

我們把這個公式叫互斥事件的概率加法公式.

推廣：

如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m

個事件分別發生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

問題4:

若事件A

和事件B

互為對立事件，則它們的概率有什么關系?

你能舉例說明嗎？∵事件A和事件B互為對立事件，∴A∪B=是必然事件，即P(A∪B)=1.又∵P(A∪B)=P(A)+P(B)∴P(A)+P(B)=1即對立事件的概率和為1

例如，在擲一枚骰子的試驗中，設A=“得到3點”，B=“得不到3點”，

則A，B對立.且

P(A)=1/6,P(B)=5/6。

∴P(A)+P(B)=1性質4:如果事件A

與事件B

互對立，那么P(A)+P(B)=1,即

P(B)＝1－P(A)，P(A)=1－P(B).

問題5：在古典概型中，對于事件A與事件B，如果A?B，那么P(A)與P(B)有什么關系？

你能舉例說明嗎？∵A?B，∴

n(A)≤

n(B)，性質5:

如果A?B，那么P(A)≤P(B)

例如，在擲一枚骰子的試驗中，設A=“得到3點”，B=“得到奇數點”，

則A?B.且

P(A)=1/6,P(B)=3/6。

∴P(A)≤P(B)=1

即若事件A

發生，則事件B

一定發生，則事件A

的概率不超過事件B

的概率.我們也把這個性質稱為概率的單調性.

問題5：在P234例6中，R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”,“兩個球中有紅球”=R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)

相等嗎?

如果不相等，請你說明原因，并思考如何計算P(R1∪R2).∵

R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},

R2={

(2,1),(3,1),(4,1),

(1,2),(3,2),(4,2)},∴

n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10.

這是因為R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠?，即事件R1和R2不互斥.事實上，由集合的知識知性質6:

設A，B是一個隨機試驗中的兩個(任意)事件，則有

P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB).概率的性質性質1

對任意的事件A，都有

0≤

P(A)≤1.性質2

必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0性質3

如果事件A與事件B互斥，那么性質4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即性質5

如果A?B，那么P(A)≤P(B).性質6

設A、B是一個隨機試驗中的兩個(任意)事件，則有推論

如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A)+P(B)=1P(A∪B)=P(A)+P(B)－

P(A∩B)P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)其中性質4

是性質3的特殊情況，性質3是性質6的特殊情況.返回練習

1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.

(1)如果B?A，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=______;

(2)如果A,B互斥，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=_____.2.指出下列表述中的錯誤:

(1)某地區明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率為0.5;

(2)如果事件A與事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.簡析:(1)∵B?A，∴

A∪B=A,A∩B=B∴

P(A∪B)=P(A)，P(AB)=P(B)(2)∵

A,B互斥，

∴

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8

P(AB)=P(?)=0(1)∵明天下雨與明天不下雨是對立事件,

∴明天不下雨的概率為1-0.4=0.6.

(2)∵互斥事件不一定不對立，

∴不一定有P(A)+P(B)=1.簡析:

3.在學校運動會開幕式上，100名學生組成一個方陣進行表演，他們按照性別(M(男)、F(女))及年級(G1(高一)、G2(高二)、G3(高三))分類統計的人數如下表:G1G2G3M182014F17247

若從這100名學生中隨機選一名學生，求下列概率:

P(M)=______，

P(F)=______，

P(M∪F)=______，

P(MF)=______，

P(G1)=______，

P(M∪G2)=_______，

P(FG3)=______.0.520.48100.350.760.07簡析:例析

例1.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張,設事件A=“抽到紅心”,事件B=“抽到方片”,

P(A)=P(B)=0.25.那么

（1）C=“抽到紅花色”，求P(C);

（2）D=“抽到黑花色”，求P(D).解:(1)由題意得

C=A∪B,且A與B是互斥事件，∴.根據互斥事件的概率加法公式得，

P(C)=P(A)＋P(B)=0.25＋0.25=0.5(2)由題意得，

C與D互為對立事件.

∴P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.

思考(1)：從題意來看，對于甲，下棋的結果有幾種？三種：甲勝(乙輸)，甲乙下和，甲輸(乙勝)。“甲獲勝“的對立事件是“甲不獲勝“，即“甲與乙下和“或“甲輸(乙勝)“。

思考(2)：直接求“甲獲勝”的概率不太容易，我們可以先求“甲獲勝”對立事件的概率，那么是什么“甲獲勝”對立事件是什么？思考(3)：如何才能簡潔規范地表達各個事件及其概率？一般應先將事件用字母表示出來

解:(1)

設事件A=“甲獲勝”,事件B=“甲與乙下和”,事件C=“甲輸(乙獲勝)”，則A,B,C

兩兩互斥，且

解:(2)

設事件D=“甲不輸”，則D=A∪B思考(4)：你還有別的解法嗎？設事件D=“甲不輸”，則由“甲不輸”的對立

事件為“甲輸(乙獲勝)”，即思考(5)：根據以過程，你能說說解決此類問題的一般步驟嗎？

首先將各個事件表示出來(一般用字母)，并明確各個事件的關系；

接下來分別求出各個事件的概率；

最后根據事件間的關系計算出所求的概率。

思考(6)：對于事件A的概率，如果直接計算比較困難，我們一般采取怎樣的策略？正難則反.

思考(7)：在利用互斥（或對立事件）的概率公式計算概率時，要注意什么問題？

先判斷兩個事件是否滿足性質和公式的的使用條件，如是否互斥，是否對立，滿足條件時才能用相應的性質和公式.計算事件概率的一般步驟返回

試計算在同一時期內，這條河流這一處的年最高水位在下列范圍內的概率：

(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).練習

年最高水位(m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)概率0.10.280.380.160.08

設該河流這一處的年最高水位在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分別為事件A，B，C，D，E，則

A，B，C，D，E

彼此互斥，且

P(A)=0.1,P(B)=0.28,P(C)=0.38,P(D)=0.16,P(E)=0.16

(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)

＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.

(2)P(A∪B)