5.4三角函數的圖象與性質

5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象

【學習目標】1.了解正弦函數、余弦函數的圖象2會用五點法畫正弦函數、余弦函數的圖

象.3.能利用正弦函數、余弦函數的圖象解決簡單問題.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一正弦函數的圖象

1.正弦曲線的定義

正弦函數〉=&11%,xGR的圖象叫正弦曲線.

2.正弦函數圖象的畫法

⑴幾何法：

①利用單位圓上點T（xo,sinxo）畫出y=sin_x,xG『0,2無』的圖象；

②將圖象向左、向右平行移動（每次2兀個單位長度）.

（2）五點法：

①畫出正弦曲線在『0,2兀』上的圖象的五個關鍵點（0,0）,6，1），（兀，0），（咨，一1），（2兀，

0）.用光滑的曲線連接；

②將所得圖象向左、向右平行移動（每次271個單位長度）.

思考為什么把〉=51僦，xd『0,2兀』的圖象向左、向右平移2兀的整數倍個單位長度后圖象

形狀不變？

『答案』由公式sin（x+2fat）=sinx,kGZ可得.

知識點二余弦函數的圖象

1.余弦曲線的定義

余弦函數〉=。05X，xGR的圖象叫余弦曲線.

-要?-要■-粵■?y=cosGR

-2Kz一一￡i

-41T-3177-2IT_elIT3TT5IT7TT

2ZT于〒

2.余弦函數圖象的畫法

（1）要得到y=cosx的圖象，只需把y=sin尤的圖象向左平移胃個單位長度即可，這是由于

⑵用“五點法”：畫余弦曲線y=cos尤在『0,2兀』上的圖象時，所取的五個關鍵點分別為包

停0）,（兀，一1）,俘0），（2K,1）,再用光滑的曲線連接.

■思考辨析判斷正誤

1.正弦函數的圖象向左右是無限伸展的.（V）

2.正弦函數了=$11?的圖象在xe『2防t,2E+2兀』，/GZ）上的圖象形狀相同，只是位置不

同.（J）

1T

3.函數y=sinx的圖象向右平移1個單位得到函數y=cosx的圖象.（X）

4.函數y=cosx的圖象關于x軸對稱.（X）

題型探究探究重點素養提升

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一、正弦函數、余弦函數圖象的初步認識

例1（1）下列敘述正確的個數為（）

@y=sinx9%￡『0,2兀」的圖象關于點尸（兀，0）成中心對稱；

@y=cosx,『0,2兀』的圖象關于直線冗=兀成軸對稱；

③正、余弦函數的圖象不超過直線y=l和y=—1所夾的范圍.

A.OB.1個C.2個D.3個

『答案』D

『解析』分別畫出函數y=sinx,X￡『0,2兀」和y=cosx,%￡『0,2兀」的圖象，由圖象（略）

觀察可知①②③均正確.

（2）函數y=sin|x|的圖象是（）

『答案』B

[sinx,

『解析』y=sin|x|={結合選項可知選B.

S1ILX,X<0,

反思感悟解決正、余弦函數圖象的注意點

對于正、余弦函數的圖象問題，要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線，掌握兩者的形狀相同,

只是在坐標系中的位置不同，可以通過相互平移得到.

跟蹤訓練1關于三角函數的圖象，有下列說法：

①y=sinx+l.l的圖象與x軸有無限多個公共點；

②y=cos(—x)與y=cos|x|的圖象相同；

③yTsiarl與y=sin(—尤)的圖象關于x軸對稱；

④y=cosx與y=cos(一尤)的圖象關于v軸對稱.

其中正確的序號是.

『答案』②④

『解析』對②，J=cos(—x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其圖象相同；

對④，y=cos(—x)=cos無，故其圖象關于y軸對稱；作圖(略)可知①③均不正確.

二、用“五點法”作簡圖

例2用“五點法”作出下列函數的簡圖：

(l)y=siiu—1,『0,2兀』；

(2)y=2+cosx,xG『0,2兀』.

解⑴列表：

K3兀

X0712兀

2~2

sirix010-10

sinx—1-10-1-2-1

描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖.

(2)列表:

匹3兀

X0712兀

2~2

cosx10-101

2+cosx32123

描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖.

y

O7T7T3TT27rX

~2

反思感悟作形如y=〃sinx+Z?(或y=〃cosx+。)，］￡『0,2兀』的圖象的三個步驟

在［O,2F］內先分別找出確定所求函數圖象的五

列表一

I個關鍵點；在表中列出相應的五點的坐標

根據所列出的五個關鍵點的坐標，在坐標系中描

|描點上

出相應的點

p-J—?用平滑的曲線將所描出的五個關鍵點連接起來,

I連線L便得到所求函數的圖象

跟蹤訓練2利用“五點法”作出函數y=l—sinx(04W27i)的簡圖.

解(1)取值列表:

更3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

1—sinx10121

(2)描點連線，如圖所示.

三、正弦(余弦)函數圖象的應用

例3利用正弦函數和余弦函數的圖象，求滿足下列條件的x的集合.

(l)sinx2吏(2)cosxWg.

解(1)作出正弦函數y=sinx,『0,2兀』的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x

71571

的集合為d+2E,不+2左兀,fcez.

(2)作出余弦函數y=cosx,xe『0,2兀』的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的

「715兀

集合為］+2%兀，丁+2E,fcGZ.

反思感悟用三角函數圖象解三角不等式的步3聚

(1)作出相應的正弦函數或余弦函數在『0,2兀』上的圖象;

(2)寫出不等式在區間『0,2兀』上的解集；

(3)根據公式一寫出定義域內的解集.

跟蹤訓練3在『0,2兀』上，使cosxW-T成立的尤的取值集合為

』nfI2兀——4兀]

『答案』卜月4W至j

『解析』畫出y=cosx在『0,2兀』上的簡圖，如圖所示.

I127r4

由圖象可知，在『0,2兀』上，使cosxW/成立的角尤的取值集合為卜號學

-核心素養之直觀想象*

根據函數圖象求范圍

典例函數兀r)=sinx+2kiiw|,『0,2兀』的圖象與直線>=上有且僅有兩個不同的交點，則

k的取值范圍是.

『答案』(1,3)

『解析』用數形結合法判斷上的取值范圍.

[3sinx,OWxWn,

fix)=\,圖象如下圖所示.

[―smx,27t.

結合圖象可知1<R3.

『素養提升』關于方程根的個數問題，往往運用數形結合的方法構造函數，轉化為函數圖

象交點的個數問題來解決.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

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jr37r

1.函數〉=一sinx,xd[一可)的簡圖是()

『答案』D

『解析』函數y=—sinx與y=sinx的圖象關于x軸對稱，故選D.

2.在同一平面直角坐標系內，函數y=sinx,xG『0,2兀』與y=sinx,xG『2兀,47d的圖象（）

A.重合

B.形狀相同，位置不同

C.關于y軸對稱

D.形狀不同，位置不同

『答案』B

『解析』根據正弦曲線的作法可知函數y=sinr,xG『0,2兀』與y=sinx,xG『2兀，4兀』

的圖象只是位置不同，形狀相同.

3.用“五點法”畫函數y=2-3siiw的圖象時，首先應描出五點的橫坐標是（）

*A兀兀3無cc713兀~

A.0,a，2'