2024成都中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)逆襲卷專(zhuān)題六圓考點(diǎn)1圓周角定理及其推論針對(duì)考向1圓周角定理及其推論的有關(guān)計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十一第1，8題、小卷十二第3題)1.(診斷小卷十一第1題變式練—結(jié)合內(nèi)接三角形)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，連接CD，若CD＝AO，則∠ABC的度數(shù)為()A.30°B.45°C.60°D.90°第1題圖2.(診斷小卷十二第3題變式練—變?yōu)閳A心角的倍數(shù)關(guān)系)如圖，△ABC中，∠ABC＝108°，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，若∠AOB＝3∠BOC，則∠BAC的度數(shù)為()A.12°B.15°C.18°D.20°第2題圖3.(結(jié)合角平分線)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，若∠BDC＝30°，⊙O的半徑為3，則BD的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C.2eq\r(3)D.3eq\r(3)第3題圖4.(診斷小卷十一第8題變式練—變?yōu)榍箐J角三角函數(shù))如圖，AB，AC為⊙O的弦，BD為⊙O的直徑，連接OC，若∠A＝60°，則cos∠DOC的值為_(kāi)_______.第4題圖5.(結(jié)合等腰三角形)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OB，OC，若∠BOC＝68°，∠OCA＝20°，則∠ABO＝________°.第5題圖6.(創(chuàng)新考法·閱讀理解)如圖①，若AD為△ABC的邊BC邊上的高，且AD＝BC，則稱(chēng)△ABC是等高底三角形，BC叫作等底．如圖②，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若△ABC是等高底三角形，BC為等底，S△ABC＝24，則⊙O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______.第6題圖針對(duì)考向2圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十一第4題、小卷十二第2題)7.(診斷小卷十一第4題變式練—變?yōu)榍蠼嵌?如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接OA，OC，若∠AOC＝100°，則∠CBE的度數(shù)是()A.50°B.80°C.100°D.130°第7題圖8.(診斷小卷十二第2題變式練—變?yōu)榍箝L(zhǎng)度)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若⊙O的半徑為4，且∠C＝3∠A，連接BD，則BD的長(zhǎng)為()第8題圖A.4eq\r(3)B.4eq\r(2)C.6eq\r(2)D.3eq\r(3)9.(結(jié)合角平分線)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且BE＝AD，點(diǎn)F在上(不與點(diǎn)B，C重合)，連接CE，CF，BF，若∠E＝36°，則∠BFC的度數(shù)為_(kāi)_______．第9題圖針對(duì)考向3與圓性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十二第10題)10.(診斷小卷十二第10題變式練—變圖形)如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)，連接DF，BF，CF，AD，DF交AB于點(diǎn)G，∠BFD＝60°.(1)求證：DF平分∠BFC；(2)若⊙O的半徑為1，當(dāng)DE＝EG時(shí)，求CF的長(zhǎng)．第10題圖11.(結(jié)合菱形判定)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且＝，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，連接BD，∠C＝∠BED.(1)求證：四邊形BCDE為菱形；(2)若⊙O的半徑為3，eq\f(AB,AD)＝eq\f(5,3)，求AD的長(zhǎng)．第11題圖12.(結(jié)合銳角三角函數(shù))如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC與⊙O分別交于點(diǎn)D，E，且OD∥BC，連接BD，DE.(1)求證：DE＝DC；(2)若AC＝6，EC＝2，求sin∠ODB的值．第12題圖考點(diǎn)2與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十一第2題、小卷十二第5題)1.(診斷小卷十一第2題變式練)如圖，AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接OC，已知⊙O的半徑為3，OC＝4，∠ACO＝30°，則弦AB的長(zhǎng)為()A.4eq\r(5)B.2eq\r(5)C.4D.2第1題圖2.(結(jié)論判斷)如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，連接OA，OB，OC，BC，BC與OA交于點(diǎn)D，BD＝CD，若BD＝eq\r(3)OD，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()第2題圖A.OA⊥BCB.∠AOB＝∠AOCC.AD＝ODD.∠COD＝3∠C3.(診斷小卷十二第5題變式練—變?yōu)榍箐J角三角函數(shù))如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接OC，AD，若OE＝1，CE＝2，則tan∠ADE的值為()A.eq\f(\r(5),2)＋1B.eq\f(\r(5),2)－1C.eq\f(\r(5)＋1,2)D.eq\f(\r(5)－1,2)第3題圖4.(結(jié)合線段等量關(guān)系)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是AB異側(cè)⊙O上的兩點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，CD⊥AB.若CD＝BE，⊙O的半徑為5，則△BCD的面積為()第4題圖A.32B.35C.38D.405.(結(jié)合弧相等)如圖，AB為⊙O的直徑，＝，連接AC，AD，CD，CD交AB于點(diǎn)E，若∠ACD＝22.5°，AB＝4，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第5題圖6.(創(chuàng)新考法·數(shù)學(xué)文化)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，圖①是筒車(chē)的實(shí)景圖，圖②是筒車(chē)抽象成的平面示意圖，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，若運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)C到弦AB的距離為1米，則⊙O的半徑為_(kāi)_______米．第6題圖

考點(diǎn)3與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算針對(duì)考向1單切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十一第3，10題、小卷十二第11題)1.(診斷小卷十一第3題變式練—結(jié)合垂直關(guān)系)如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)C，OD⊥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，若∠B＝40°，則∠BAD的度數(shù)為()A.110°B.80°C.70°D.40°第1題圖2.(結(jié)合銳角三角函數(shù))如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連接BC，若∠ABC＝30°，則sin∠ACD的值為()第2題圖A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)3.(結(jié)合勾股定理)如圖，在△ABC中，BC＝8，AB＝16，點(diǎn)O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)C，則⊙O的半徑為_(kāi)_______．第3題圖4.(結(jié)合平行線)如圖，AB為⊙O的直徑，AC，CD為⊙O的兩條弦，且AB與CD交于點(diǎn)E，連接OD，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且BF∥CD，若∠ACD＝67.5°，BF＝4，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第4題圖5.(診斷小卷十一第10題變式練)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上且不與點(diǎn)A，B重合，CD是⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接AC，BC.(1)求證：點(diǎn)C是的；(2)若BD＝4，cos∠ABD＝eq\f(1,3)，求⊙O的半徑．第5題圖6.(診斷小卷十二第11題變式練—變?yōu)樽C線段位置關(guān)系)如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)弦BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)E.(1)求證：CE⊥AD；(2)若⊙O的半徑為4，AE＝2，求BC的長(zhǎng)．第6題圖針對(duì)考向2雙切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十二第4題)7.(診斷小卷十二第4題變式練—變?yōu)榍蠼嵌?如圖，AB為⊙O的直徑，AC，BD，CD分別與⊙O相切于A，B，E三點(diǎn)，連接OC，OD則∠COD的度數(shù)為()A.100°B.90°C.85°D.80°第7題圖8.(結(jié)合切線的判定)如圖，AB是⊙O的直徑，AC⊥AB于點(diǎn)A，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠ACD＝60°，AC＝2eq\r(3)，則BD的長(zhǎng)為()A.1B.eq\r(3)C.2D.2eq\r(3)第8題圖9.(結(jié)合直角三角形)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O為AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作⊙O與直角邊BC，AC分別相切于D，E兩點(diǎn)，連接OD，OE，若四邊形OECD的面積為12，則⊙O的半徑為_(kāi)_______．第9題圖10.(結(jié)合等邊三角形)如圖，等邊△ABC外切于⊙O，連接OA,若AO＝6，則△ABC的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．第10題圖

考點(diǎn)4與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十一第11題)【典例學(xué)方法】例(結(jié)合全等三角形)如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形OBCD是平行四邊形，DA與⊙O相切于點(diǎn)A，BC與⊙O相交于點(diǎn)E，連接DE.例題圖(1)求證：DE是⊙O的切線；思維模型解題過(guò)程(2)若sin∠ODE＝eq\f(1,2)，CE＝2，求的長(zhǎng)．【思路引導(dǎo)】要求的長(zhǎng)，需要知道圓心角∠BOE的度數(shù)和半徑的長(zhǎng)度，根據(jù)sin∠ODE＝eq\f(1,2)，由特殊角的三角函數(shù)值，可得到∠ODE＝30°，根據(jù)平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，求得∠BOE的度數(shù)和半徑OB的長(zhǎng)即可求解．針對(duì)訓(xùn)練1.(診斷小卷十一第11題變式練—變圖形)如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD，DE，DB＝DE，過(guò)點(diǎn)D作∠BDF＝∠BCD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若DF＝2eq\r(2)，tanF＝eq\f(\r(2),4)，求AC的長(zhǎng)．第1題圖2.(結(jié)合平行線的性質(zhì))如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD，BD與AC相交于點(diǎn)E.(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若AE＝4，CE＝6，求BC的長(zhǎng)．第2題圖3.(結(jié)合相似三角形)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作⊙O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為E.連接AO，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC交AB于點(diǎn)D，且AD＝OD.(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并證明；(2)若eq\f(OD,AC)＝eq\f(2,3)，BE＝1，求BD的長(zhǎng)．第3題圖

考點(diǎn)5與輔助圓有關(guān)的問(wèn)題針對(duì)考向利用輔助圓求最值(針對(duì)診斷小卷十一第9題、小卷十二第9題)類(lèi)型1定點(diǎn)定長(zhǎng)作輔助圓典例學(xué)方法例(結(jié)合圖形折疊)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，P是邊AB的中點(diǎn)，Q是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△APQ沿PQ所在直線折疊，得到△A′PQ，連接A′C，A′D，則△A′CD面積的最小值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(診斷小卷十一第9題變式練—變圖形)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P是以A為圓心，2為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，若點(diǎn)D是PC的中點(diǎn)，連接BD，則BD的最小值為_(kāi)_______．第1題圖類(lèi)型2定弦定角作輔助圓典例學(xué)方法例(結(jié)合等腰三角形)如圖，在△ABC中，BC＝4eq\r(2)，∠BAC＝45°，點(diǎn)D是邊BA上一點(diǎn)，連接CD，CD＝AD，則△BCD面積的最大值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(診斷小卷十二第9題變式練—變圖形)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，點(diǎn)F是射線AE上一點(diǎn)，連接BF，DF，若∠ABF＝∠DCE，AB＝2，則DF的最小值為_(kāi)_______．第1題圖類(lèi)型3定角定高作輔助圓典例學(xué)方法例(結(jié)合矩形)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，∠MPN＝45°，則MN的最小值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(結(jié)合等腰三角形)如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是BC邊上的高，若AD＝4，則△ABC面積的最小值為_(kāi)_______.第1題圖

類(lèi)型4最大張角作輔助圓典例學(xué)方法例(結(jié)合平行四邊形)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠BAD＝60°.點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE，BE，當(dāng)∠AEB的值最大時(shí)，sin∠AEB的值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(結(jié)合直角)如圖，已知∠MON＝90°，點(diǎn)A，B是射線ON上兩點(diǎn)，OA＝2，AB＝6，點(diǎn)C是射線OM上一點(diǎn)，連接AC，BC，當(dāng)∠ACB的值最大時(shí)，OC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第1題圖

類(lèi)型5四點(diǎn)共圓作輔助圓典例學(xué)方法例(結(jié)合中位線)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，DC的中點(diǎn)，則EF的最大值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(結(jié)合角平分線)如圖，在四邊形ABCD中，AC＝4eq\r(2)，AC平分∠BAD，若∠BAD與∠BCD互補(bǔ)，則四邊形ABCD的面積的最大值為_(kāi)_______．第1題圖

類(lèi)型6利用阿氏圓轉(zhuǎn)化線段典例學(xué)方法例(結(jié)合等腰直角三角形)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，點(diǎn)D是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且BD＝2，連接AD，CD，則eq\f(1,2)AD＋CD的最小值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(結(jié)合菱形折疊)如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2eq\r(3)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF折疊得到△A′EF，連接A′C，A′D，則A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D的最小值為_(kāi)_______．第1題圖

拓展考向與圓有關(guān)的最值問(wèn)題類(lèi)型1點(diǎn)圓最值典例學(xué)方法例(結(jié)合等腰直角三角形)如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，且∠APB＝45°，以AB為斜邊向AB右側(cè)作等腰直角△ABC，連接CP.若AB＝2eq\r(2)，則CP的最大值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì))如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，連接EF，PF，則EF＋PF的最小值為_(kāi)_______．第1題圖類(lèi)型2線圓最值典例學(xué)方法例(結(jié)合面積最值)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°，AB＝5eq\r(3)，點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，若AD＝2eq\r(3)，則△PBC面積的最小值為_(kāi)_______．例題圖思維模型解題過(guò)程針對(duì)訓(xùn)練1.(結(jié)合線段最值)如圖，在半徑為4的⊙O中，BC是⊙O的弦，A是⊙O上一點(diǎn)，連接AB，AC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，若∠BAC＝45°，則AD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．第1題圖

考點(diǎn)6弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算針對(duì)考向1與弧長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十一第6題)1.(診斷小卷十一第6題變式練—結(jié)合弧的中點(diǎn))如圖，在半徑為3的⊙O中，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，AD是⊙O的直徑，連接AC，BC，若∠A＝40°，則劣弧的長(zhǎng)為()A.2πB.πC.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)第1題圖2.(結(jié)合圓周角定理)如圖，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，B是的中點(diǎn)，若∠ADB＝30°，的長(zhǎng)為eq\f(4\r(3)π,3)，則⊙O的半徑為()第2題圖A.eq\r(3)B.2C.2eq\r(3)D.3eq\r(3)3.若扇形的弧長(zhǎng)為eq\f(4,3)π，圓心角為60°，則該扇形的半徑為_(kāi)_______．4.(結(jié)合圖形的旋轉(zhuǎn))如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1.將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△AB1C1，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1恰好落在BC邊的中點(diǎn)處，B1C1交AC于點(diǎn)D，eq\o(CC1,\s\up8(︵))是點(diǎn)C到點(diǎn)C1所經(jīng)過(guò)的路徑，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．第4題圖針對(duì)考向2與扇形面積有關(guān)的計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十二第1題)5.(診斷小卷十二第1題變式練—結(jié)合圓周角定理)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC，若OA＝6，扇形AOC的面積為6π，則∠ABC的度數(shù)為()A.50°B.40°C.30°D.20°第5題圖6.(結(jié)合等邊三角形)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，OC，若∠A＝60°，S扇形EOC＝eq\f(2π,3)，則⊙O的半徑為()第6題圖A.eq\r(2)B.2C.4D.87.(結(jié)合菱形)如圖，菱形ABCD對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為4，4eq\r(3)，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則扇形ABC的面積為()第7題圖A．πB.eq\f(4π,3)C.2πD.eq\f(8π,3)8.(結(jié)合弧長(zhǎng))若扇形的半徑為4，面積為eq\f(16π,3)，則該扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______．針對(duì)考向3與圓錐有關(guān)的計(jì)算(針對(duì)診斷小卷十二第6題)9.(診斷小卷十二第6題變式練—結(jié)合圓柱)如圖，以圓柱的上面為底面，下底面的圓心為頂點(diǎn)的圓錐的母線長(zhǎng)為5，若圓柱的底面積為9π，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．第9題圖10.(創(chuàng)新考法·跨學(xué)科)錐形漏斗是化學(xué)實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的一種儀器，它的主要作用是在其內(nèi)部放上濾紙以達(dá)到過(guò)濾的效果．如圖，為一個(gè)錐形漏斗示意圖，若其錐形部分的底面直徑AB為12cm，側(cè)面積為60πcm2，則該錐形漏斗的錐形部分的高PQ為_(kāi)_______cm.第10題圖

考點(diǎn)7陰影部分面積的計(jì)算針對(duì)考向1添加輔助線構(gòu)造圖形和差求陰影部分面積(針對(duì)診斷小卷十二第8題)1.(結(jié)合三等分點(diǎn))如圖，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝135°，以點(diǎn)O為圓心，1為半徑作分別交OA，OB于點(diǎn)C，D，點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，且＜，則圖中陰影部分的面積是()A.eq\f(5π,4)＋eq\f(\r(2),2)B.eq\f(5π,8)＋eq\f(\r(2),2)C.eq\f(5π,8)＋eq\r(2)D.eq\f(5π,4)＋eq\r(2)第1題圖2.(結(jié)合平行四邊形)如圖，在?ABCD中，AD＝1，∠A＝60°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧恰好過(guò)點(diǎn)E.則圖中陰影部分的面積為()第2題圖A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)3.(診斷小卷十二第8題變式練—變圖形)如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝6，四邊形CDEF是內(nèi)接于⊙O的矩形，將⊙O沿CD，EF分別折疊，使點(diǎn)A，B恰好落在圓心O處，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．第3題圖針對(duì)考向2等積轉(zhuǎn)化求陰影部分面積(針對(duì)診斷小卷十一第5題)4.(診斷小卷十一第5題變式練—變圖形)如圖，半圓O的直徑AB＝4，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，連接AC，BC，且AC＝BC，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作弧，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接OC，則圖中陰影部分的面積為()A.π－2B.π＋2C.2π－2D.4－π第4題圖5.(結(jié)合半圓的三等分點(diǎn))如圖，點(diǎn)C，D是以AB為直徑的半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑AB上任一點(diǎn)，若AB＝10，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．第5題圖6.(結(jié)合菱形)如圖，在扇形ADC中，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)B在上，其兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交DC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BD＝2，則圖中陰影部分的面積是________．第6題圖拓展考向直接圖形和差求陰影部分面積1.(結(jié)合實(shí)物)折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，用時(shí)須撒開(kāi)，成半規(guī)形，聚頭散尾．如圖是某公司生產(chǎn)的一種扇骨為竹木，扇面為韌紙的折扇，已知整個(gè)折扇完全展開(kāi)(扇形AOB)的面積為300π，外側(cè)兩竹木OA，OB之間的夾角為120°，AC長(zhǎng)為20cm，則折扇貼紙部分的面積為()A.100πB.800πC.eq\f(100,3)πD.eq\f(800,3)π第1題圖2.(創(chuàng)新考法·數(shù)學(xué)文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱(chēng)為“弦圖”．如圖，已知⊙O內(nèi)切于大正方形ABCD，直角三角形的兩直角邊AH和DH分別為6和2，則圖中陰影部分的面積為()第2題圖A.5πB.5π－8C.8－eq\f(5,2)πD.83.(結(jié)合直角三角形旋轉(zhuǎn))如圖，在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝eq\r(3)，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFE，線段AE與交于點(diǎn)G，連接CG，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．第3題圖考點(diǎn)8正多邊形與圓(針對(duì)診斷小卷十一第7題、小卷十二第7題)1.(診斷小卷十一第7題變式練—變?yōu)榍筮厰?shù))如圖，AB，AC分別為⊙O的內(nèi)接正十二邊形、正三角形的一邊，BC是圓內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為()A.4B.5C.6D.7第1題圖2.(結(jié)論判斷)如圖，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)Q是⊙O上不與點(diǎn)A，B重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，BQ，下列說(shuō)法正確的是()第2題圖A.當(dāng)點(diǎn)Q的位置變化時(shí)，∠BQA的度數(shù)不變B.當(dāng)點(diǎn)Q在劣弧上時(shí)，∠BQA＝144°C.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，BQ的長(zhǎng)度最大D.△BQA面積的最大值為正五邊形ABCDE面積的三分之一3.(結(jié)合陰影部分面積)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接AC，若⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(4π,3)－eq\r(3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(2π,3)＋eq\r(3)第3題圖4.(結(jié)合三角形面積)如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AF，BF，若⊙O的半徑為2，則△ABF的面積為()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4第4題圖5.(診斷小卷十二第7題變式練—變圖形)如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點(diǎn)F，G分別是邊AB，BC與⊙O的切點(diǎn)，H，M是⊙O上的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)F，G重合)，連接FH，MH，若M是的中點(diǎn)，則∠FHM的度數(shù)為_(kāi)_______．第5題圖6.(創(chuàng)新考法·填空雙空)如圖，點(diǎn)F為正六邊形OABCDE上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OF長(zhǎng)為半徑作圓．第6題圖(1)若點(diǎn)F在OE上，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA交于點(diǎn)H，點(diǎn)G為劣弧的中點(diǎn)，連接GF，GH，且GH＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑為_(kāi)_______；(2)若點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，連接BD，此時(shí)⊙O的半徑為4，則點(diǎn)O到BD的距離為_(kāi)_______．

參考答案與解析考點(diǎn)1圓周角定理及其推論針對(duì)考向1圓周角定理及其推論的有關(guān)計(jì)算C【解析】如解圖，連接OC，∵CD＝AO，AD是⊙O的直徑，∴OA＝OC＝OD＝CD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ABC＝∠ODC＝60°(同弧所對(duì)的圓周角相等).第1題解圖2.C【解析】∵＝，∴∠AOB＝2∠ACB(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝3∠BOC，∴2∠ACB＝3×2∠BAC，∴∠ACB＝3∠BAC，在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴108°＋∠BAC＋3∠BAC＝180°，∴4∠BAC＝72°，∴∠BAC＝18°.(一題多解)如解圖，在優(yōu)弧上任意選取一點(diǎn)D(不與點(diǎn)A，C重合)，連接AD，CD，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形ABCD，∵∠ABC＝108°，∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－108°＝72°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，∴∠AOC＝2∠D＝2×72°＝144°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∵∠AOB＝3∠BOC，∴∠AOC＝4∠BOC，∴∠BOC＝eq\f(1,4)∠AOC＝eq\f(1,4)×144°＝36°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×36°＝18°.第2題解圖3.D【解析】如解圖，連接AD，∵∠ACB＝90°，∴AB為⊙O的直徑(90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑)，∠ADB＝90°(同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等)，∵∠BDC＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°(同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等)，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝60°(直角三角形兩銳角互余)，∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵⊙O的半徑為3，∴AB＝6，∴在Rt△ABD中，cos∠ABD＝eq\f(BD,AB)，∴BD＝AB·cos∠ABD＝6cos30°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).第3題解圖4.eq\f(1,2)【解析】∵∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∴∠DOC＝180°－∠BOC＝180°－120°＝60°，∴cos∠DOC＝cos60°＝eq\f(1,2).5.14【解析】∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝68°，∴∠OBC＝∠OCB＝eq\f(1,2)(180°－∠BOC)＝56°，∵∠OCA＝20°，∴∠ACB＝∠OCB＋∠OCA＝76°，∵∠BOC＝68°，∴∠A＝eq\f(1,2)∠BOC＝34°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，在△ABC中，∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－34°－76°＝70°，∴∠ABO＝∠ABC－∠OBC＝70°－56°＝14°.第5題解圖(一題多解)如解圖，連接AO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∵∠BOC＝68°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝34°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∴∠OAB＝∠BAC－∠OAC＝34°－20°＝14°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝14°.6.4【解析】∵△ABC是等高底三角形，BC為等底，AD⊥BC，∴BC＝AD，∵S△ABC＝24，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)BC2＝24，解得BC＝4eq\r(3)(負(fù)值已舍去)，如解圖，連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠BOE＝eq\f(1,2)∠BOC＝60°，BE＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(3)，在Rt△OBE中，sin∠BOE＝eq\f(BE,OB)，∴OB＝eq\f(BE,sin60°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，即⊙O的半徑長(zhǎng)為4.第6題解圖針對(duì)考向2圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算7.A8.B【解析】如解圖①，連接BO，DO，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C＋∠A＝180°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，∵∠C＝3∠A，∴∠A＝45°，∴∠BOD＝90°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∵⊙O的半徑為4，∴在Rt△BOD中，BD＝eq\f(BO,cos45°)＝4eq\r(2).第8題解圖①(一題多解)如解圖②，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，第8題解圖②∵DE為⊙O的直徑，∴∠DBE＝90°(直徑所對(duì)的圓周角為90°)，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C＋∠A＝180°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，∵∠C＝3∠A，∴∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°(同弧所對(duì)的圓周角相等)，∵⊙O的半徑為4，∴DE＝8，在Rt△DBE中，sinE＝eq\f(BD,DE)，∴BD＝DE·sinE＝8×eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2).9.144°【解析】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝(在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)應(yīng)的弧相等)，∴BC＝CD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，∵∠EBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∵AD＝EB，∴△ACD≌△ECB(SAS)，∴∠CAD＝∠E＝36°，∴∠BAC＝∠CAD＝36°，∴∠BFC＝180°－∠BAC＝180°－36°＝144°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)).針對(duì)考向3與圓性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算10.(1)證明：∵CD⊥AB，∴＝(垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧)，∠AED＝90°，∵∠BFD＝∠DAB＝60°(同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等)，∴∠ADC＝30°，∵＝2，∴∠CFD＝2∠ADC＝60°，∴∠CFD＝∠BFD，∴DF平分∠BFC；(2)解：如解圖①，連接OD，CG，第10題解圖①由(1)得∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形)，∵CD⊥AB，OA＝1，∴CE＝DE，AE＝OE＝eq\f(1,2)，∴AB是CD的垂直平分線，∴CG＝DG，∴∠DCG＝∠EDG，在Rt△ADE中，DE＝AE·tan∠EAD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∵DE＝EG，CD⊥AB，∴△DEG是等腰直角三角形，∴∠EDG＝45°，DG＝eq\r(2)DE＝eq\f(\r(6),2)，∴∠DCG＝∠EDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∠CGD＝90°，∴CG＝DG＝eq\f(\r(6),2)，∴在Rt△CFG中，sin60°＝eq\f(CG,CF)，∴CF＝eq\f(CG,sin60°)＝eq\f(\f(\r(6),2),\f(\r(3),2))＝eq\r(2).(一題多解)由已知條件計(jì)算出CD的長(zhǎng)為eq\r(3)，當(dāng)DE＝EG時(shí)，在Rt△DEG中，易得∠EDG＝45°，由(1)知∠CFD＝60°，則可將CF放在△CFD中通過(guò)作CH⊥DF于點(diǎn)H(如解圖②)，直接構(gòu)造含45°和含60°的直角三角形，解直角三角形即可(此時(shí)不需連接CG并證明CG⊥DF).第10題解圖②11.(1)證明：∵DE∥BC，∴∠BED＋∠EBC＝180°，∵∠C＝∠BED，∴∠EBC＋∠C＝180°，∴CD∥BE，∴四邊形BCDE是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠A＝∠AED，∴AD＝ED，∵＝，∴AD＝CD，∴CD＝ED，∴四邊形BCDE為菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)；(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，則AF＝EF(等腰三角形三線合一)，連接CE交BD于點(diǎn)G，連接OD，第11題解圖∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(5,3)，∴設(shè)AB＝5k，AD＝3k，∴AD＝ED＝BE＝3k，∴AE＝2k，AF＝EF＝k，∴BF＝4k，在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝2eq\r(2)k，∴在Rt△BDF中，BD＝eq\r(DF2＋BF2)＝2eq\r(6)k，∵四邊形BCDE是菱形，∴EC垂直平分BD(菱形的對(duì)角線互相垂直且平分)，則點(diǎn)E，O，G，C四點(diǎn)共線，在Rt△CDG中，CD＝AD＝3k，GD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(6)k，∴CG＝eq\r(DC2－DG2)＝eq\r(3)k，∴OG＝OC－CG＝3－eq\r(3)k，在Rt△OGD中，OG2＋DG2＝OD2，即(3－eq\r(3)k)2＋(eq\r(6)k)2＝32，解得k＝eq\f(2\r(3),3)或k＝0(舍去)，∴AD＝3k＝2eq\r(3).12.(1)證明：如解圖，連接AE，第12題解圖∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵OD∥BC，OA＝OB，∴AD＝DC，即點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴ED＝DC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)；(一題多解)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵OD∥BC，OA＝OB，∴AD＝DC，∴BD是AC的垂直平分線，∴AB＝BC，∴△ABC為等腰三角形，∴BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∴AD＝DE，∴DE＝DC；(2)解：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，由(1)知AD＝CD，∵AC＝6，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝3，∵∠A＋∠BED＝180°，∠DEC＋∠BED＝180°，∴∠A＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴eq\f(CD,CB)＝eq\f(CE,CA)，∴eq\f(3,CB)＝eq\f(2,6)，∴CB＝9，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°， ∴sin∠ODB＝sin∠DBC＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).考點(diǎn)2與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算1.B【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，則AD＝BD(垂直于弦的直徑平分弦)，∵OC＝4，∠ACO＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OC＝2(30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)，∵⊙O的半徑為3，∴AD＝eq\r(OA2－OD2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，∴AB＝2AD＝2eq\r(5).第1題解圖2.D【解析】逐項(xiàng)分析如下：選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤A∵OA是⊙O的半徑，BD＝CD，∴OA⊥BC(平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦)，不符合題意×B∵OA是⊙O的半徑，BD＝CD，∴＝(平分弦(非直徑)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧)，由同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等可得∠AOB＝∠AOC，不符合題意×C∵OA⊥BC，∴∠BDO＝90°，由BD＝eq\r(3)OD，可設(shè)OD＝x(x>0)，則BD＝eq\r(3)x，在Rt△BOD中，由勾股定理得OB＝eq\r(（\r(3)x）2＋x2)＝2x，∴OA＝OB＝2x，∴AD＝OA－OD＝2x－x＝x，∴AD＝OD，不符合題意×D∵BD＝CD，BD＝eq\r(3)OD，∴CD＝eq\r(3)OD，在Rt△COD中，tanC＝eq\f(OD,CD)＝eq\f(OD,\r(3)OD)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C＝30°，由直角三角形兩銳角互余可得∠COD＝60°，∴∠COD＝2∠C≠3∠C，符合題意√3.C【解析】∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴DE＝CE＝2(垂直于弦的直徑平分弦)，在Rt△OCE中，OC＝eq\r(OE2＋CE2)＝eq\r(5)，∴OA＝OC＝eq\r(5)，∴AE＝1＋eq\r(5)，∴tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\f(\r(5)＋1,2).4.A【解析】由CD⊥AB可知S△BCD＝eq\f(1,2)CD·BE，由CD＝BE，⊙O的半徑為5可知，要求△BCD的面積，即結(jié)合垂徑定理利用勾股定理列方程求解OE即可．如解圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE＝DE＝eq\f(1,2)CD(垂直于弦的直徑平分弦)，∵⊙O的半徑為5，則OB＝OC＝5，設(shè)OE＝x，則BE＝OB＋OE＝5＋x，∵CD＝BE，∴CE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(5＋x,2)，在Rt△COE中，由勾股定理可得CE2＋OE2＝OC2，即(eq\f(5＋x,2))2＋x2＝52，解得x＝－5(舍去)或x＝3，∴CD＝BE＝5＋x＝8，∴S△BCD＝eq\f(1,2)CD·BE＝eq\f(1,2)×8×8＝32.第4題解圖5.2－eq\r(2)【解析】如解圖，連接OC，∵AB＝4，∴OC＝OA＝eq\f(1,2)AB＝2，∵＝，∴∠ADC＝∠ACD＝22.5°(同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等)，∴∠AOC＝2∠ADC＝45°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∵＝，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，∴AB⊥CD，∴在Rt△OCE中，cos∠COE＝eq\f(OE,OC)，∴OE＝OC·cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，∴AE＝OA－OE＝2－eq\r(2).第5題解圖5【解析】如解圖，設(shè)⊙O的半徑為R，連接OA，OC，OC交AB于點(diǎn)D，∵點(diǎn)C是的最低點(diǎn)，∴OC垂直平分AB，∴OD＝R－1，AD＝eq\f(1,2)AB＝3，在Rt△AOD中，R2＝(R－1)2＋32，解得R＝5，∴⊙O的半徑為5米．第6題解圖考點(diǎn)3與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算[逆襲必備]1.切線性質(zhì)：(1)切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓心到切線的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；2.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；3.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可引出圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．針對(duì)考向1單切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算1.C【解析】如解圖，連接OA，∵AB是⊙O的切線，∴∠OAB＝90°(圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑).∵∠B＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝140°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝eq\f(1,2)(180°－∠AOD)＝20°，∴∠BAD＝∠OAB－∠OAD＝90°－20°＝70°.第1題解圖2.C【解析】如解圖，連接OB，∵AB是⊙O的切線，∴∠OBA＝90°(圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑)，∴∠OBC＝∠OBA－∠ABC＝60°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝60°，∵CD⊥AB，∠OBA＝90°，∴CD∥OB，∴∠ACD＝∠BOC＝60°，∴sin∠ACD＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).第2題解圖3.6【解析】如解圖，連接OC，設(shè)OC＝x，則OA＝OC＝x，∵AB＝16，∴OB＝16－x，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴OC⊥BC(圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑)，∵BC＝8，∴在Rt△OCB中，x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，∴⊙O的半徑為6.第3題解圖4.4eq\r(2)【解析】如解圖，連接OC，∵AB為⊙O的直徑，BF與⊙O相切于點(diǎn)B，∴AB⊥BF(圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑)，∵BF∥CD，∴CD⊥AB，∴CE＝DE，＝(垂直于弦的直徑平分弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧)，∵∠ACD＝67.5°，∴∠A＝90°－∠ACD＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵＝，∴∠BOD＝∠BOC＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OB＝BF＝4，∴OD＝OB＝4，在Rt△ODE中，sin∠DOE＝eq\f(DE,OD)，∴DE＝OD·sin∠DOE＝4×sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴CD＝2DE＝4eq\r(2).第4題解圖5.(1)證明：如解圖，連接AE，OC相交于點(diǎn)F，∵AB是⊙O的直徑，第5題解圖∴∠AEB＝90°，∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∴AE∥CD.∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴OC⊥AE.∵OC是⊙O的半徑，∴點(diǎn)C是的中點(diǎn)(垂徑定理)；(2)解：由(1)可知∠DCF＝∠D＝∠AED＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴CF＝DE，OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOF，∴cos∠ABD＝cos∠AOF＝eq\f(OF,OA)＝eq\f(1,3).設(shè)OF＝x，則OC＝OA＝3x，∴DE＝CF＝OC－OF＝2x，∵OA＝OB，OC∥BD，∴OF是△ABE的中位線，∴BE＝2OF＝2x，∴BD＝DE＋BE＝4x，∴4x＝4，解得x＝1，∴OC＝3，即⊙O的半徑為3.6.(1)證明：如解圖，連接OC，第6題解圖∵OA＝OB，BC＝CD，∴OC是△ABD的中位線，∴OC∥AD.∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，∴CE⊥AD；(2)解：如解圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.∵BC＝CD，∴AC是BD的垂直平分線，∴AD＝AB＝8，∴DE＝AD－AE＝8－2＝6.由(1)得CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CED∽△ACD，∴eq\f(ED,CD)＝eq\f(CD,AD)，∴eq\f(6,CD)＝eq\f(CD,8)，解得CD＝4eq\r(3)(負(fù)值已舍去)，∴BC＝CD＝4eq\r(3).針對(duì)考向2雙切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算7.B【解析】如解圖，連接OE，∵AB為⊙O的直徑，OE為⊙O的半徑，AC，BD，CD分別與⊙O相切于A，B，E三點(diǎn)，∴∠CAO＝∠DBO＝∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC平分∠ACE，OD平分∠BDE(切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可引出圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角)，∠CAO＋∠DBO＝180°，∴AC∥BD，∴∠ACE＋∠BDE＝180°.∵OC平分∠ACE，OD平分∠BDE，∴∠OCE＝eq\f(1,2)∠ACE，∠ODE＝eq\f(1,2)∠BDE，∴∠OCE＋∠ODE＝eq\f(1,2)∠ACE＋eq\f(1,2)∠BDE＝eq\f(1,2)(∠ACE＋∠BDE)＝eq\f(1,2)×180°＝90°，在△COD中，∠COD＝180°－(∠OCE＋∠ODE)＝180°－90°＝90°.第7題解圖8.C【解析】∵AB為⊙O的直徑，AC⊥AB，∴AC是⊙O的切線，∠CAB＝90°，又∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴CA＝CD(切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可引出圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等)，∵∠ACD＝60°，∴△ACD是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形)，∴∠CAD＝60°，AD＝AC＝2eq\r(3)，∴∠DAB＝∠CAB－∠CAD＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，tan∠DAB＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝2.9.2eq\r(3)【解析】∵⊙O與直角邊BC，AC分別相切于D，E兩點(diǎn)，∴∠OEC＝∠ODC＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形ODCE是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)，∵OE＝OD，∴四邊形ODCE是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)，∵四邊形OECD的面積為12，即OE2＝12，∴OE＝2eq\r(3)(負(fù)值已舍去)，即⊙O的半徑為2eq\r(3).10.6eq\r(3)【解析】如解圖，設(shè)AB與⊙O的切點(diǎn)為D，連接OD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∵等邊△ABC的邊AB，AC與⊙O相切，∴∠ADO＝90°，∠DAO＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∵在Rt△ADO中，OA＝6，cos∠DAO＝eq\f(AD,OA)，∴AD＝OA·cos30°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，連接OB，∵等邊△ABC的邊AB，BC與⊙O相切，∴∠DBO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∴△ABO為等腰三角形，∴BD＝AD＝3eq\r(3)，∴AB＝AD＋BD＝6eq\r(3)，∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6eq\r(3).第10題解圖考點(diǎn)4與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算[逆襲必備]切線判定的兩種形式有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直：若直線與圓的公共點(diǎn)已知，則先連接過(guò)這點(diǎn)到圓心的半徑，再證明這條半徑與直線垂直即可；無(wú)公共點(diǎn)，作垂線，證相等：若直線與圓的公共點(diǎn)位置未知，則先過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)度等于圓的半徑即可．例(1)①∠EOD；【解法提示】∵四邊形OBCD是平行四邊形，∴OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠EOD＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠AOD＝∠EOD.②OA＝OE，OD＝OD；(2)解：∵在Rt△OED中，sin∠ODE＝eq\f(1,2)，∴∠ODE＝30°，∴∠AOD＝∠EOD＝60°，∴∠BOE＝180°－∠AOD－∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∵四邊形OBCD是平行四邊形，∴OD∥BC，OB＝CD，∠C＝∠BOD＝120°，∴∠CED＝∠ODE＝30°，∴∠CDE＝180°－∠DEC－∠C＝30°，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝2，∴OB＝CD＝2，∴的長(zhǎng)為eq\f(60π×2,180)＝eq\f(2,3)π.1.(1)證明：如解圖，連接OD.∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC.第1題解圖∵∠BDF＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BDF.∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即∠BDO＋∠ODC＝90°，∴∠BDO＋∠BDF＝90°，即∠ODF＝90°.∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；(2)解：∵DB＝DE，∴∠BCD＝∠DCE.∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°.又∵CD＝CD，∴△ADC≌△BDC(ASA)，∴AC＝BC.∵在Rt△ODF中，tanF＝eq\f(OD,DF)＝eq\f(\r(2),4)，∴OD＝DF·tanF＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),4)＝1，∴BC＝2OD＝2，∴AC＝BC＝2.2.(1)證明：如解圖，連接OA，OC，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，第2題解圖∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC(SSS)，∴∠OAB＝∠OAC，∴AH⊥BC.∵AD∥BC，∴AH⊥AD.∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；(2)解：由(1)知，AH⊥BC，∴HB＝HC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(AD,CB)＝eq\f(4,6)，∴eq\f(AD,BH)＝eq\f(AD,\f(1,2)BC)＝eq\f(4,3).又∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BHO，∴△AOD∽△HOB，∴eq\f(AD,HB)＝eq\f(AO,HO)＝eq\f(4,3)，∴設(shè)OA＝4k，則OH＝3k，OB＝4k，∴BH＝eq\r(OB2－OH2)＝eq\r(7)k.在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴BH2＋AH2＝AB2，∵AH＝OA＋OH＝7k，AB＝AC＝AE＋CE＝10，∴(eq\r(7)k)2＋(7k)2＝102，∴k＝eq\f(5\r(14),14)(負(fù)值已舍去)，∴BC＝2BH＝2eq\r(7)k＝5eq\r(2).3.解：(1)AB與⊙O相切．證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，∵OD∥AC，第3題解圖∴∠OAC＝∠AOD，∵AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD，∴∠OAC＝∠OAD，∵∠ACB＝90°，OM⊥AB于點(diǎn)M，∴OC＝OM，∵OC為⊙O的半徑，∴OM為⊙O的半徑，∴AB與⊙O相切；(2)∵OD∥AC，∴△ODB∽△CAB，∴eq\f(OD,CA)＝eq\f(BO,BC)，即eq\f(BE＋OE,BE＋CE)＝eq\f(2,3)，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝OE＝r，∴eq\f(1＋r,1＋2r)＝eq\f(2,3)，解得r＝1，∴BO＝BE＋OE＝2，OM＝r＝1，在Rt△OMB中，eq\f(OM,OB)＝eq\f(1,2)，∴∠B＝30°，∵OD∥AC，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，在Rt△DOB中，cosB＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(2,BD)＝eq\f(\r(3),2)，∴BD＝eq\f(4\r(3),3).考點(diǎn)5與輔助圓有關(guān)的問(wèn)題針對(duì)考向利用輔助圓求最值類(lèi)型1定點(diǎn)定長(zhǎng)作輔助圓例①2；②6.例題解圖【解法提示】如解圖，∵AB＝6，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴PA＝PB＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝90°，∴四邊形PBCE是矩形，∴PE＝BC＝5，∴EF＝PE－PF＝5－3＝2，∴△A′CD面積的最小值為eq\f(1,2)CD·EF＝eq\f(1,2)×6×2＝6.1.4【解析】第一步：確定動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡：如解圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，∵點(diǎn)D為PC的中點(diǎn)，∴OD為△APC的中位線，∴OD＝eq\f(1,2)AP＝1，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，作⊙O.第二步：確定最值的依據(jù)，分析線段取得最小值時(shí)的位置，并畫(huà)出圖形：連接BO，則BD≥BO－OD，∴當(dāng)B，O，D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)D位于點(diǎn)B，O之間時(shí)，BD取得最小值，為BO－OD(點(diǎn)圓最值).第三步：結(jié)合已知條件及圖形性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴BO＝eq\f(1,2)AC＝5，∴BD最小＝BO－OD＝5－1＝4.第1題解圖類(lèi)型2定弦定角作輔助圓例①2eq\r(2)；②8.例題解圖【解法提示】∵CD＝AD，∠BAC＝45°，∴∠DCA＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，如解圖，設(shè)O為BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，BC長(zhǎng)為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線交BC于點(diǎn)E，連接OD，當(dāng)△BCD的高DE＝DO時(shí)，△BCD的面積最大(線圓最值).∵BC＝4eq\r(2)，∴DE＝DO＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(2)，∴S△BCD的最大值＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8.1.eq\r(5)－1【解析】∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，∴∠BAD＝90°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DAE＝∠DCE，又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°，∴∠AFB＝90°，∵AB為定值，∴點(diǎn)F在以AB為直徑的圓弧(即AB右側(cè)的)上運(yùn)動(dòng)．如解圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑作⊙O，連接OD，當(dāng)點(diǎn)F在OD與⊙O的交點(diǎn)處時(shí)，DF最小(點(diǎn)圓最值).∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，∴AD＝AB＝2，∴OA＝OF＝1，∴OD＝eq\r(OA2＋AD2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴DF＝OD－OF＝eq\r(5)－1，即DF的最小值為eq\r(5)－1.第1題解圖類(lèi)型3定角定高作輔助圓例①eq\f(\r(2),2)；②eq\r(2)；③eq\f(\r(2),2)；④6－3eq\r(2)；⑤6eq\r(2)－6.1.eq\f(16\r(3),3)【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×BC×4＝2BC，∴要求S△ABC的最小值，即求BC的最小值，如解圖，作△ABC的外接圓，圓心為點(diǎn)O，設(shè)半徑為R，連接AO，BO，CO，過(guò)點(diǎn)O作BC的垂線交BC于點(diǎn)E，∴AO＝BO＝CO＝R，BE＝CE(垂徑定理)，∴△BOC為等腰三角形，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝eq\f(1,2)∠BOC＝60°(等腰三角形三線合一)，在Rt△BOE中，BE＝OB·sin∠BOE＝eq\f(\r(3),2)R，OE＝OB·cos∠BOE＝eq\f(1,2)R，∴BC＝2BE＝eq\r(3)R，要求BC的最小值，即求R的最小值，∵AO＋OE≥AD，即R＋eq\f(1,2)R≥4，解得R≥eq\f(8,3)，則R的最小值為eq\f(8,3)，BC的最小值為eq\r(3)R＝eq\r(3)×eq\f(8,3)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC的最小值為2BC＝eq\f(16\r(3),3).第1題解圖類(lèi)型4最大張角作輔助圓例①eq\f(1,2)；②eq\f(1,2)；③4；④eq\f(1,2)；⑤3eq\r(3)；⑥3eq\r(3)－R；⑦eq\f(43\r(3),18)；⑧eq\f(24\r(3),43)；⑨eq\f(24\r(3),43).1.4【解析】如解圖，作△ABC的外接圓⊙P.當(dāng)點(diǎn)C為⊙P與OM相切的切點(diǎn)時(shí)，∠ACB的值最大，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AB于點(diǎn)D，連接PC，PA，∵PD⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝3(垂直于弦的直徑平分弦)，∵OM為⊙P的切線，∴∠OCP＝90°，又∵∠MON＝90°，∴四邊形OCPD為矩形，∴OC＝DP，CP＝OD＝OA＋AD＝2＋3＝5，∵CP＝AP＝5，在Rt△ADP中，DP＝eq\r(AP2－AD2)＝eq\r(52－32)＝4，∴OC＝DP＝4.第1題解圖類(lèi)型5四點(diǎn)共圓作輔助圓例①eq\f(1,2)；②eq\r(5)；③eq\r(5)；④eq\r(5)；⑤eq\f(\r(5),2).1.16【解析】如解圖，∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A,B，C，D四點(diǎn)共圓，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′DC，使得CB與CD重合，∴∠ADC＋∠B＝∠ADC＋∠A′DC＝180°，即A，D，A′三點(diǎn)共線，∴S四邊形ABCD＝S△ACA′.∵A′C＝AC＝4eq\r(2)，∴當(dāng)AC⊥A′C時(shí)，△ACA′的面積最大，∴四邊形ABCD面積的最大值為eq\f(1,2)×4eq\r(2)×4eq\r(2)＝16.第1題解圖類(lèi)型6利用阿氏圓轉(zhuǎn)化線段例①eq\f(1,2)；②eq\r(17)；③eq\r(17).【解法提示】∵eq\f(BD,AB)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,2)，∠DBE＝∠ABD(公共角)，∴△DBE∽△ABD，∴eq\f(DE,AD)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(1,2)AD；如解圖，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝1，∴CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(17)，∴DE＋CD的最小值為eq\r(17)，即eq\f(1,2)AD＋CD的最小值為eq\r(17).例題解圖1.4【解析】如解圖，連接DB，DE，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝CD＝2eq\r(3)，∵∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∴DE＝AE·tan∠BAD＝eq\r(3)×eq\r(3)＝3，∵△A′EF由△AEF沿EF折疊得到，∴A′E＝AE＝eq\r(3)，在線段DE上取一點(diǎn)G，使EG＝eq\f(\r(3),3)A′E＝1，連接A′G，∵A′E＝eq\f(\r(3),3)DE，∠A′EG＝∠DEA′，∴△A′EG∽△DEA′，∴A′G＝eq\f(\r(3),3)A′D，∴A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D＝A′C＋A′G，要求A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D的最小值，即求A′C＋A′G的最小值，連接CG，在△A′CG中，A′C＋A′G≥CG，∴當(dāng)C，A′，G三點(diǎn)共線時(shí)，A′C＋A′G的值最小，最小值為CG的長(zhǎng)．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠CDG＝∠AED＝90°，∵DE＝3，EG＝1，∴DG＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝eq\r(DG2＋CD2)＝eq\r(22＋（2\r(3)）2)＝4，∴A′C＋A′G的最小值為4，即A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D的最小值為4.第1題解圖拓展考向與圓有關(guān)的最值問(wèn)題類(lèi)型1點(diǎn)圓最值[逆襲必備]已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和⊙O上一動(dòng)點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間的距離為d，⊙O半徑為r.位置關(guān)系點(diǎn)D在⊙O內(nèi)點(diǎn)D在⊙O上點(diǎn)D在⊙O外圖示DE的最大值d＋r2d(或2r)d＋r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)EDE的最小值r－d0d－r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E點(diǎn)E與點(diǎn)D重合連接OD交⊙O于點(diǎn)E例①2；②90；③eq\f(1,2)；④eq\r(2)；⑤2eq\r(2)；⑥2；⑦2；⑧2＋2eq\r(2)；⑨2＋2eq\r(2).1.3eq\r(5)－2【解析】第一步：理清動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)，確定最值依據(jù)：點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，要求EF＋PF的最小值，考慮利用軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化線段：如解圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E′為DC的中點(diǎn)，連接E′F，E′P，則EF＝E′F，∴EF＋PF＝E′F＋PF≥E′P，∴當(dāng)E′，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，EF＋PF＝E′P，此時(shí)EF＋PF最小，∴要求EF＋PF的最小值，即求E′P的最小值．第二步：點(diǎn)E′為定點(diǎn)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，考慮點(diǎn)圓最值，確定最值位置：連接E′B，∵點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴E′P≥E′B－BP，當(dāng)E′，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，E′P取得最小值，最小值為E′B－BP.第三步：結(jié)合已知條件及圖形性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算：∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，E′C＝eq\f(1,2)×6＝3，BC＝6，∴E′B＝eq\r(BC2＋E′C2)＝3eq\r(5)，∴E′P最小＝E′B－BP＝3eq\r(5)－2，即EF＋PF的最小值為3eq\r(5)－2.第1題解圖類(lèi)型2線圓最值[逆襲必備]已知⊙O及直線l，⊙O的半徑為r，圓心O到直線l之間的距離為d，點(diǎn)Q為⊙O上一點(diǎn)．位置關(guān)系直線與⊙O相離直線與⊙O相切直線與⊙O相交圖示點(diǎn)Q到直線l距離的最大值d＋r2d(或2r)d＋r此時(shí)點(diǎn)Q的位置過(guò)點(diǎn)O作直線l的垂線，其反向延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)，即為點(diǎn)Q點(diǎn)Q到直線l距離的最小值d－r00此時(shí)點(diǎn)Q的位置過(guò)點(diǎn)O作直線l的垂線，與⊙O的交點(diǎn)即為點(diǎn)Ql與⊙O的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q的位置例①4eq\r(3)；②2；③4eq\r(3)－2；④10eq\r(3)－5.【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°，AB＝5eq\r(3)，∴AC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(5\r(3),\f(\r(3),2))＝10，BC＝AC·sin30°＝10×eq\f(1,2)＝5，如解圖，連接DE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∵AD＝2eq\r(3)，∠A＝30°，∴AE＝eq\f(AD,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，例題解圖∴OA＝eq\f(1,2)AE＝2，∴OC＝AC－OA＝10－2＝8，∵∠ABC＝∠OMC＝90°，∴AB∥OM，∴∠MOC＝∠A＝30°，∴OM＝OC·cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)，∵OP＝OA＝2，∴點(diǎn)P到BC距離的最小值為OM－OP＝4eq\r(3)－2，∴△PBC面積的最小值為eq\f(1,2)×5×(4eq\r(3)－2)＝10eq\r(3)－5.4＋2eq\r(2)【解析】如解圖，連接AO，過(guò)點(diǎn)O作OD′⊥BC交BC于點(diǎn)D′，延長(zhǎng)D′O交⊙O于點(diǎn)A′.∵A′D′＝A′O＋OD′＝AO＋OD′≥AD，∴AD的最大值為A′D′的長(zhǎng)，連接OB，OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OD′⊥BC，∴∠BOD′＝45°，∵OB＝4，∴OD′＝2eq\r(2)，∴A′D′＝4＋2eq\r(2)，∴AD長(zhǎng)的最大值為4＋2eq\r(2).第1題解圖考點(diǎn)6弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算[逆襲必備]1.弧長(zhǎng)公式：l＝eq\f(nπr,180)；2.扇形面積公式：S扇形＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)lr；針對(duì)考向1與弧長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算1.D【解析】如解圖，連接OB，OC，∵∠A＝40°，∴∠COD＝2∠A＝80°(一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半)，∴∠AOC＝180°－∠COD＝100°，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝20°，∴由弧長(zhǎng)公式：eq\f(nπr,180)可得，劣弧的長(zhǎng)為eq\f(20π×3,180)＝eq\f(π,3).第1題解圖2.C【解析】如解圖，連接OA，OB，OC，∵∠ADB＝30°，∴∠AOB＝2∠ADB＝60°(一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)，∵B是的中點(diǎn)，∴∠AOC＝2∠AOB＝120°，∵的長(zhǎng)為eq\f(4\r(3)π,3)，∴由弧長(zhǎng)公式可得的長(zhǎng)為eq\f(120π·OA,180)＝eq\f(4\r(3)π,3)，解得OA＝2eq\r(3)，即⊙O的半徑為2eq\r(3).第2題解圖3.4【解析】設(shè)扇形的半徑為r，由題意和弧長(zhǎng)公式得eq\f(60πr,180)＝eq\f(4,3)π，解得r＝4，∴該扇形的半徑為4.4.eq\f(\r(3)π,3)＋3【解析】∵在Rt△ABC中，點(diǎn)B1是BC的中點(diǎn)，∴AB1＝BB1＝CB1(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB1＝AB，∴AB1＝BB1＝CB1＝AB＝1，∴△ABB1是等邊三角形(三條邊相等的三角形是等邊三角形)，BC＝BB1＋CB1＝2，∴∠B＝∠BAB1＝60°(等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°)，∴∠DAC1＝∠BAB1＝60°(對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都相等)，在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得AC＝eq\r(3)，∴eq\o(CC1,\s\up8(︵))l＝eq\f(60π×\r