高等學校數學專業課程《數理統計》參數估計第七章數學教研室統計推斷估計假設檢驗非參數估計參數估計點估計區間估計矩法估計極大似然估計對總體的數字特征進行估計對總體分布中的參數進行估計【例如】設X~E(1/

),其中

未知，對

進行估計。前言本章目錄§7.1參數的點估計§7.3點估計的評價標準§7.4區間估計§7.5正態總體均值與方差的區間估計§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計§7.7單側置信區間上一頁下一頁返回§7.1

參數的點估計§7.1

參數的點估計一、問題的提法二、點估計的求法三、小結1、矩法估計法2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計一、問題的提法設總體X的分布函數形式,但它的一個或多個參數為未知,借助于總體X的一個樣本來估計總體未知參數的值的問題稱為點估計問題.【引例1】用樣本均值來估計總體的均值

E(X).【解】§7.1

參數的點估計點估計問題的一般提法§7.1

參數的點估計如何構造樣本的函數〔即統計量〕是解決問題的關鍵！常用構造估計量的方法:〔矩法估計〕〔極大似然估計〕矩法最大似然法1.矩估計法【引例2】設X~E(

),其中

未知，求

的點估計。【分析】從總體X中取樣本X1,X2,…,Xn

，于是可用樣本均值替代總體均值即辛欽大數定律則有樣本矩總體矩矩法估計§7.1

參數的點估計(X為連續型)(X為離散型)矩估計的一般情形§7.1

參數的點估計1、矩估計依據“辛欽大數定律”有：樣本矩作為相應總體矩的估計量；樣本矩的連續函數作為相應總體矩的連續函數的估計量.矩估計的基本思想：（K·皮爾遜）（1857-1936）§7.1

參數的點估計1、矩估計Step1:

總體X的

j階原點矩E(Xj)記為mj,j=1,2,

,k設總體X的分布函數中含有k個未知參數

Step2:

算出

j階樣本原點矩Step3:

令,得關于

1,2,,k的方程（組）Step4:

解上述方程（組），其解記為一般地,mj（j=1,2,

,k）是總體分布中的參數

1,2,,k的函數，記為mj(

1,2,,k),(m=1,2,

,k)矩估計的根本步驟§7.1

參數的點估計1、矩估計【例1】【解】解方程組得到a,b的矩估計量分別為§7.1

參數的點估計1、矩估計解方程組得到矩估計量分別為【例2】【解】§7.1

參數的點估計1、矩估計【解】由矩法,從中解得的矩估計.即為【例3】設總體X的概率密度為是未知參數,其中X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參數的矩估計.§7.1

參數的點估計1、矩估計【例4】設X~E(

),其中

未知，求

的矩法估計。【解】采用二階矩，有即

那么有即所以〔選用一階矩時，見引例2〕

矩法估計的結果不唯一！替換原那么：盡可能采用低階矩替換。§7.1

參數的點估計1、矩估計矩法估計的優缺點：缺點——當總體類型時，沒有充分利用分布提供的信；一般場合下,矩估計量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應樣本矩代替帶有一定的隨意性.優點——簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布§7.1

參數的點估計1、矩估計1922年，英國統計學家費希爾重新發現了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質。適用范圍：總體分布類型時。1821年，德國數學家高斯首先提出該方法（Gauss，1777－1855）R.A.Fisher費希爾（1890～1962）然而，這個方法常歸功于統計學家費希爾2.極大似然估計法§7.1

參數的點估計極大似然法的根本思想【引例1】一只野兔從前方竄過…某位同學與一位獵人一起外出打獵…你認為最有可能是誰打中的呢？只聽一聲槍響，野兔應聲倒下.這個例子所作的推斷已經表達了極大似然法的根本思想.2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計【引例2】設總體X~b(1,p），即現已知p=0.8或p=0.2，到底是哪個，需要作出推斷（選擇）？【分析】取樣本(X1,X2)，那么其具有聯合分布列設樣本值為(1,1)，那么當p=0.8時，(1,1)出現的概率為0.64當p=0.2時，(1,1)出現的概率為0.04若基于(1,1)，則選擇p=0.8.參數（p）的選擇應對所出現的觀察結果最有利，即參數（p）的選擇應使觀察結果出現的概率最大。【極大似然法的基本思想】2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計設X是離散型總體，其分布律為p(x;)，X1,X2,…Xn是取自X的一個樣本，那么其聯合分布律為：【極大似然法的根本原理】似然函數：關于

的函數2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計設X是連續型總體，其密度函數為f(x;)，X1,X2,…Xn是取自X的一個樣本，那么其聯合密度函數為：關于

的函數

人們通常更習慣于由對數似然函數lnL(

)出發尋找

的極大似然估計。

當L(

)是可微函數時，求導是求極大似然估計最常用的方法，對lnL(

)求導更加簡單些。即，如果某統計量滿足

則稱

是

的極大似然估計，2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計極大似然法就是用使達到最大值的作為的估計.【極大似然估計的一般方法及步驟】Step3:

解上述方程或方程組。Step2:

取對數似然函數

，對其求導或偏導數，并令導數或偏導數為0，建立方程或方程組，如Step1:

根據總體分布，構造似然函數或似然方程組似然方程2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計【例5】設X1,X2,…Xn是取自總體

X~B(1,p)

的一個樣本，求參數p的極大似然估計。【解】似然函數為:L(p)=f(x1,x2,…xn;p)對數似然函數為：對p求導并令其為0，=0得〔這一估計量與矩估計量是相同的〕2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計【例6】道總體X~N(,2)，和2均未知，求這兩個參數的極大似然估計。【解】似然函數為:對數似然函數為:建立似然方程組：解方程組得：〔與矩估計量相同〕2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計【解】其似然函數為：對數似然函數為：似然方程為：解之，得【思考】2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計【例7】總體X~U[

1,

1+

2]，求參數

1,

2的極大似然估計。

【解】X的密度函數為似然函數為：求導方法無法確定函數的極大值一方面，要使

達到最大，要盡可能小另一方面，必須取最大運用極大似然思想確定：2、極大似然估計法§7.1

參數的點估計三、小結兩種求點估計的方法:矩估計法最大似然估計法在統計問題中往往先使用最大似然估計法,在最大似然估計法使用不方便時,再用矩估計法.§7.1

參數的點估計本章目錄§7.1參數的點估計§7.3點估計的評價標準§7.4區間估計§7.5正態總體均值與方差的區間估計§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計§7.7單側置信區間上一頁下一頁返回§7.3

點估計的評價標準一、無偏性二、有效性三、相合性§7.3

點估計的評價標準四、小結(2)如何評價多個估計量之間，哪個更“好”？這就需要討論以下幾個問題:(1)“好的”估計量具有什么特性？(3)如何求得合理的估計量？對同一個參數，估計的采用方法不同或方法相同但形式不同，可能導致估計的結果不一。無偏性有效性相合性無偏性有效性§7.3

點估計的評價標準【定義1】估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值.我們希望估計值在未知參數真值附近擺動，即希望其期望值等于未知參數的真值：一、無偏性則稱為的無偏估計

.設是未知參數的估計量，若科學技術中，稱為系統誤差。無偏估計的實際意義就是無系統誤差。1、無偏性§7.3

點估計的評價標準【例1】【證明】1、無偏性§7.3

點估計的評價標準于是有【例2】設總體X服從參數為

的指數分,其概率密度為未知,X1,X2,…Xn是取自總體的一個樣本,試證明：都是參數的無偏估計量.和【證明】所以是的無偏估計.因為求得可求得的概率密度即也是參數的無偏估計量.于是1、無偏性§7.3

點估計的評價標準§7.3

點估計的評價標準若和都是參數

的無偏估計量，的大小與比較由于如何選擇？【定義2】2、有效性二、有效性【定義】一般地，矩法估計量都具有一致性。由大數定律知道，樣本均值、樣本方差分別是總體均值、總體方差的一致估計量。【定理】§7.3

點估計的評價標準3、相合性三、相合性四、小結對于一個未知參數可以提出不同的估計量,因此自然提出比較估計量的好壞的問題，這就需要給出評定估計量好壞的標準.評定估計量好壞的三個標準:無偏性、有效性和相合性：則稱為的無偏估計.§7.3

點估計的評價標準【思考1】設總體X的方差存在，EX=a，DX=

2,(X1,X2)是來自X的樣本，試檢驗以下兩個估計量的無偏性和有效性：§7.3

點估計的評價標準【思考2】【參考答案】本章目錄§7.1參數的點估計§7.3點估計的評價標準§7.4區間估計§7.5正態總體均值與方差的區間估計§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計§7.7單側置信區間§7.4

區間估計一、區間估計的概念二、求置信區間的一般步驟§7.4

區間估計三、小結對于一個未知量，人們在測量或計算時，常不以得到近似值為滿足，還需要顧及誤差，即要求知道近似值的精確程度〔即所在范圍〕。引言對于未知參數，除了求得其點估計外，還希望估計出一個范圍（區間），并希望知道這個范圍包含參數真值的可信程度。置信區間置信度——區間估計置信區間置信度——以概率表示，通常記為——以樣本的函數作為上下限，通常記為例如：估計某個人的年齡，如果估計為30歲——此為點估計如果估計為29歲到31歲之間——此為區間估計.一、區間估計的概念【定義】§7.4

區間估計【關于定義的說明】定義式【解釋一】【解釋二】假設獲得了樣本〔X1,X2,…,Xn〕的N個試驗值:于是得到N個區間則有

的把握斷定，這N個區間中共有個包含參數.§7.4

區間估計二、求置信區間的一般步驟§7.4

區間估計樞軸量給定置信度，求置信區間區間估計問題：【解】【例1】§7.4

區間估計不是隨機區間其包含的可信度為95%【問題1】同一置信度的置信區間唯一嗎？此時，置信區間為【問題2】上述兩個置信區間選哪個更好？不唯一

與計算得兩區間的長度分別為√§7.4

區間估計其長度,得數據如下(單位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.【解】【例2】§7.4

區間估計你有什么結論？三、小結點估計不能反映估計的精度,故而本節引入了區間估計.§7.4

區間估計§7.1參數的點估計§7.3點估計的評價標準§7.4區間估計§7.5正態總體均值與方差的區間估計§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計§7.7單側置信區間§7.5

正態總體均值與方差的區間估計本章目錄§7.5

正態總體均值和方差的區間估計一、單個正態總體的情形二、兩個正態總體的情形三、小結這里我們主要討論總體分布為正態的情形。假設樣本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數的區間估計。§7.5

正態總體均值和方差的區間估計1.標準正態分布2.t分布3.卡方分布4.F分布§7.5

正態總體均值和方差的區間估計一、單個正態總體的情形由上節例2可知:1.§7.5

正態總體均值和方差的區間估計推導過程如下:〔見P143第六章定理三)§7.5

正態總體均值和方差的區間估計【解】有一大批糖果,現從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設袋裝糖果的重量服從正態分布,試求總體均值的置信度為0.95的置信區間.【例1】解釋結果？

估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.【結果解釋】誤差的可信度為95%.§7.5

正態總體均值和方差的區間估計推導:〔見P143第六章定理二)§7.5

正態總體均值和方差的區間估計【解】有一大批糖果,現從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設袋裝糖果的重量服從正態分布,試求總體方差的置信度為0.95的置信區間.【例2】代入公式得標準差的置信區間§7.5

正態總體均值和方差的區間估計1、均值之差：

1-

2的區間估計；2、方差之比：

12/22的區間估計.二、兩個總體的情況只討論兩個整體總體均值差和方差比的估計問題，即§7.5

正態總體均值和方差的區間估計推導:于是得證.§7.5

正態總體均值和方差的區間估計〔見P143第六章定理四)§7.5

正態總體均值和方差的區間估計【例3】【解】§7.5

正態總體均值和方差的區間估計推導：根據F分布的定義,知§7.5

正態總體均值和方差的區間估計§7.5

正態總體均值和方差的區間估計【解】【例4】§7.5

正態總體均值和方差的區間估計三、小結§7.5

正態總體均值和方差的區間估計§7.5

正態總體均值和方差的區間估計§7.5

正態總體均值和方差的區間估計【思考題2】為比較兩個小麥品種的產量，選擇18塊條件相似的試驗田，采用相同的耕作方法做實驗，結果播種甲品種的8塊試驗田的單位面積產量和播種乙品種的10塊試驗田的單位面積產量〔單位：kg〕分別為：甲品種：628583510554612523530615乙品種：535433398470567480498560503426假定每個品種的單位面積產量均服從正態分布且方差相同，試求這兩個品種平均單位面積產量差的置信區間〔a=0.05).注：參考數據【思考題1】為了估計一件物體的重量

,將其稱了1O次,得到的重量(單位：千克)為:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.設所稱出的物體重量X服從N(

,2)。求:該物體重量

的置信度為0.95的置信區間.注：參考數據本章目錄§7.1參數的點估計§7.3點估計的評價標準§7.4區間估計§7.5正態總體均值與方差的區間估計§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計§7.7單側置信區間§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計一、置信區間公式二、典型例題§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計一、置信區間公式§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計推導如下:因為(0–1)分布的均值和方差分別為因為容量n較大,于是有〔依據中心極限定理〕將上述統計量作為樞軸量，那么有，§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計二、典型例題【例1】設從一大批產品的100個樣品中,得一級品60個,求這批產品的一級品率

p的置信水平為0.95的置信區間.【解】一級品率p是(0-1)分布的參數,p的置信水平為0.95的置信區間為§7.6〔0-1〕分布參數的區間估計本章目錄§7.1參數的點估計§7.3點估計的評價標準§7.4區間估計§7.5正態總