一線三等角模型解決全等、相似問題微專題一階

認識模型模型分析1.模型特點：∠1，∠2，∠3的頂點在同一條直線上，且∠1＝∠2＝∠3.基本圖形：

一線三等角

一線三垂直2.一線三等角模型的結論：(1)△APC和△BDP的關系是________________；(2)若在(1)中的條件下，增加條件____________________________，可以得到△APC≌△BDP.△APC∽△BDPPC＝PD(或AP＝BD或AC＝BP)一線三等角例1

(北師八下P35第17題改編)如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，連接DE，EF，且∠DEF＝60°.若BD＝4，E為BC的中點，求CF的長．例1題圖解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠DEF＝60°，∴∠BDE＋∠BED＝120°.∴∠CEF＋∠BED＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF，∴.∵E為BC的中點，△ABC為等邊三角形，∴BE＝CE＝3，∴，解得CF＝

.例1題圖例2如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E為AD上一點，連接CE，過點E作EF⊥EC交AB于點F，若EF＝CE，求四邊形BCEF的周長．例2題圖解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∴∠AFE＋∠AEF＝90°.∵EF⊥CE，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF和△DCE中，例2題圖∴△AEF≌△DCE(AAS)，∴AE＝CD＝6，∴AF＝DE＝AD－AE＝2，∴EF＝CE＝

，∴BF＝AB－AF＝4，∴四邊形BCEF的周長為4＋8＋2＋2＝12＋4.

引入模型2022成都26題圖二階

構造模型方法點撥條件：如圖，△AOB是等腰直角三角形，直角頂點O在直線MN上．

輔助線作法：分別過A，B兩點作AC⊥MN于點C，BD⊥MN于點D.結論：△AOC≌△OBD，CD＝BD＋AC.模型拓展條件：如圖，△AOB是直角三角形，直角頂點O在直線MN上，且AO≠OB.

輔助線作法：分別過A，B兩點作AC⊥MN于點C，BD⊥MN于點D.結論：△AOC∽△OBD.例3如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是邊CD的中點，且EF⊥AE，EF＝AE，連接CF，求CF的長．例3題圖

解：如圖，過點F作FG⊥DC交DC的延長線于點G.G∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝4，∠D＝90°.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝∠GEF＋∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠GEF.在△ADE和△EGF中，例3題圖G∴△ADE≌△EGF(AAS)，∴AD＝EG＝4.∵E為CD的中點，∴DE＝CE＝GF＝

CD＝2，∴CG＝EG－EC＝2，∴在Rt△CGF中，CF＝

.例4如圖，在△ABC中，D是BC上一點，連接AD，E是AD上一點，連接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，求DE的長．例4題圖解：∵∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，∠BDE＋∠ADC＝180°，∴∠BAC＝∠BED＝∠BDE.∵∠BDE＝∠ACD＋∠DAC，∠BAC＝∠BAE＋∠DAC，∴∠ACD＝∠BAE.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAE，∠BDE＝∠DAC＋∠ACD，∴∠DAC＝∠EBA，∴△ACD∽△BAE，∴.∵AE＝1，BE＝CD＝2，∴AD＝4，∴DE＝AD－AE＝3.例4題圖三階

應用模型1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB邊上方一點，連接CE.AD⊥CE于點D，BE⊥CE于點E，若DE＝2BE，求cos∠CAD的值．第1題圖解：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∠BED＝∠ADC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC.在△BCE和△CAD中，

∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CD＝BE，∵DE＝2BE，∴CE＝3BE，∴BC＝

，∴cos∠CAD＝cos∠BCE＝

.第1題圖2.如圖，在菱形ABCD中，P是邊AD上一點，連接CP，在線段CP上取點E，F，分別連接BE，DF，使得∠BEC＝∠ADC，∠CDF＝∠CPD.(1)求證：△BCE≌△CDF；第2題圖(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，BC＝CD，∴∠BCE＝∠CPD.∵∠CDF＝∠CPD，∴∠BCE＝∠CDF.∵∠BEC＝∠ADC，∠CBE＝180°－∠BCE－∠BEC，∠DCF＝180°－∠CPD－∠ADC，∴∠CBE＝∠DCF.在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF(ASA)；第2題圖(2)若菱形的邊長為

，且BE＝4，求PF的長．第2題圖(2)解：由(1)知△BCE≌△CDF，則CF＝BE＝4，∵∠CDF＝∠CPD，∠DCF＝∠DCP，∴△CDF∽△CPD，∴

，即CD2＝CF·CP＝4CP.∵菱形的邊長為2，∴CD2＝(2)2＝28，∴CP＝7，∴PF＝CP－CF＝7－4＝3.3.如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是AB邊上一點，過點E作EF⊥DE，交BC邊于點F，且∠EFD＝60°，求AE的長．第3題圖一題多解法解法一：如圖，過點F作FM⊥AB于點M，過點D作DN⊥BA，交BA的延長線于點N.MN∵∠MEF＋∠DEN＝∠NDE＋∠DEN＝180°－90°＝90°，∴∠MEF＝∠NDE.∵∠EMF＝∠DNE＝90°，∴△EMF∽△DNE.一題多解第3題圖MN∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠B＝60°，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∴∠NAD＝∠B＝60°，∴AN＝

AD＝2，DN＝

AD＝2.∵∠DFE＝60°，∠DEF＝90°，∴，∴，∴EM＝2.設AE＝x，則BM＝AB－AE－EM＝1－x，NE＝2＋x，在Rt△BMF中，MF＝

BM＝

－

x，∴，解得x＝，∴AE＝.解法二：如圖，延長BC至點G，連接DG，使∠G＝60°.第3題圖G∵∠B＝∠EFD＝60°，∴∠BFE＋∠BEF＝∠BFE＋∠DFC＝120°，∴∠BEF＝∠DFC.∵∠B＝∠G＝60°，∴△BEF∽△GFD，∴.∵∠DFE＝60°，∠DEF＝90°，∴DF＝2EF，第3題圖G∴.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD＝3，∴∠