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空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略

利用空間向量的方法解決立體幾何中空間元素的位置關(guān)系、空間角、空間距

離等問題，關(guān)鍵是依托圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將直線的方向向量、平

面的法向量用坐標(biāo)表示，通過向量運(yùn)算完成.如何建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)

的坐標(biāo)是前提，下面主要介紹空間直角坐標(biāo)系建系的幾種策略.

策略一利用共頂點(diǎn)且互相垂直的三條棱

瘠近如圖所示，在直三棱柱A8C4BC1中，AB±AC,

AB=AC=2,AAi=4,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).

(1)求異面直線43與CQ所成角的余弦值；

(2)求平面ADC\與平面ABA\夾角的正弦值.

【解】

(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AC,A4i所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則A(0,0,0),3(2,0,0),C(0,2,0),Ai(0,0,4),0(1,1,0),Ci(0,

2,4),

所以府=(2,0,-4),GD=(1,-1,-4),

“、，/f府京3?

所以cos〈A18x,,

\A?B\\GD\

又異面直線所成角的范圍是(0,I,

所以異面直線A18與C1￡)所成角的余弦值為殳得烏

(2)AC=(0,2,0)是平面ABAi的一個法向量.

設(shè)平面ADC\的法向量為〃=(x,y,z),

因?yàn)锳b=(i,i,o),Aci=(o,2,4),

/rAQ=x+y=0,x=2z,

所以J.即j_

n-AC\=2y+4z=Q,^=~2z>

取〃=(2,—2,1).

設(shè)平面ADC\與平面AB4的夾角為仇

則cos0=|cos(AC,〃〉|=I"。/=段,所以sin8=W，

|AC||n|

所以平面ADC\與平面ABA\夾角的正弦值為當(dāng)

策略二利用面面垂直關(guān)系

加州2](2021?新高考I卷改編)如圖，在三棱錐

A-8CZ)中，平面A3。，平面BCD,AB=AD,0為BD的

中點(diǎn).

(1)證明：OA1CD；

(2)若△0C。是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AO上，DE=2EA,且二

面角E-BC-D的大小為45°,求0A.

【解】(1)因?yàn)锳B=A￡>,。為8。的中點(diǎn)，所以。4_LBO,

又平面4?。，平面BCO,且平面ABDA平面8C￡>=3DA0u平面A8D,所

以AO,平面BCD,

又COu平面BCD,所以AOLCD

(2)如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,。4所在直線分

別為x,z軸，在平面BCD內(nèi)，以過點(diǎn)。且與8。垂直的

直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)椤鱋CO是邊長為1的正三角形，

且。為B。的中點(diǎn)，

所以O(shè)C=03=00=1.

所以8(1,0,0),D(-l,0,0),

2>坐,°)?

設(shè)A(0,0,a),a>0,因?yàn)椤=2E4,所以~y°>金?

由題意可知平面5c。的一個法向量為〃=(0,0,1).

設(shè)平面BCE的法向量為/%=(%,y,z),

因?yàn)榍?(_,,坐,0),施=(_*0,y),

cf3VI

TW-BC=0,_?X+2)=0，

所以《一即｛,9

\<mBE=0,一§元+拳=o,

令x=l,則產(chǎn)小,z=(,所以加=(1,小，|

因?yàn)槎娼荅-BC-D的大小為45°,

2

innay[2

所以cos45°==I=2，

得a=1,即Q4=1.

策略三利用線面垂直關(guān)系

函13］如圖，在四棱錐PABCD中，出_L底面ABC。，

AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=^,M為線段A。上一

點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).求直線AN與平面PMN所

成角的正弦值.

【解】取BC的中點(diǎn)E,連接AE.

由AB=AC得AE_L3C,

從而AELAD,

AE^y/AB2-BE1;,/人"一倍)=小.所以AE,AD,AP兩兩垂直,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Axyz.

由題意知，A(0,0,0),尸(0,0,4),

坐,1,2),

M(0,2,0),C辟,2,0),

PM=(0,2,-4),

前=惇，1,-2)，俞=停，1'2).

[n-PM=0,(2y—4z=0,

設(shè)〃=(x,y,z)為平面PMN的法向量，則j_即

[〃-PN=0,[2x+y_2z=0,

可取〃=(0,2,1).

于是|cos5,京〉|=國=^.

\n\m心

設(shè)A7V與平面PMN所成的角為0,

則sin,

所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為緩.

策略四利用底面的高及中心

314］如圖，在正四棱錐S-A8C。中，43=2,SA=3,

P為側(cè)棱SO上的點(diǎn).若平面R1C,求平面鞏C與平面

D4C夾角的余弦值.

【解】如圖，連接80,交AC于點(diǎn)。，連接SO,

由題意，知S。，平面ABC。，ACLBD,

所以O(shè)S,OB,0C兩兩垂直.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OS的方向分別為x

軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

因?yàn)锳B=2,SA=3,所以5。=巾.

由題意得5（0,0,幣）,0（一也，0,0）,

所以西=（72,0,小）.

因?yàn)镾O_L平面PAC,

所以平面玄。的一個法向量為丞=（啦，0,巾）.

又平面D4C的一個法向量為旃=（0,0,巾）,

/,k笈DSOS

所以cos<DS,OS>=__7_—亞

|網(wǎng)。S|3X市'

所以平面B4C與平面DAC夾角的余弦值為￡.

。嘗試訓(xùn)練

1.如圖，在直三棱柱ABC-4B1G中，CA=CB=\,ZBCA

=90°,棱A4i=2,M,N分別為48”4A的中點(diǎn).

（1）求8N的長；

⑵求84與CB夾角的余弦值；

(3)求證：航是平面GMN的一個法向量.

解：(1)如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C4,CB,CCi

所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,

依題意得3(0,1,0),Ml,0,1),

所以I前(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=

小，

所以線段BN的長為小.

(2)依題意得4(1,0,2),C(0,0,0),3(0,1,2),

所以麗i=(l,-1,2),CBi=(0,1,2),

所以房1?而i=1X0+(-1)X1+2X2=3.

又1|=#,|吊i|=下,

d、，號\BArCBi

所以cos/(.B/TAt\,CBi〉~=I。.

|fiAi||CBi|

(3)證明：依題意得4(1,0,2),Ci(0,0,2),

Bi(0,1,2),N(l,0,1),8(0,1,0).

所以M；,I，2),

C?M=[^,I，0),GN=(1,0,—1),

的=(1,-1,1),

所以施?雨=；X1+；X(-1)+1XO=O,

aW-B^=lXl+0X(-l)+(-l)Xl=0,

所以反，前，GN±BN,

又CiMnCiN=Ci,

C\M,GNU平面C\MN,

所以涿U_平面C\MN,

所以雨是平面CiMN的一個法向量.

2.如圖，在四棱錐P-A8CO中，側(cè)面氏。，底面ABC。，PA=PD=y{i,

底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O為

A￡＞的中點(diǎn).

(1)求證：POJ_平面ABCD；

(2)求異面直線P3與CO所成的角的余弦值;

⑶求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

解：(1)證明：在△出。中，M=PD,。為AO的中點(diǎn)，所以PO_LAD

又因?yàn)閭?cè)面PADS.底面ABC。，平面出0rl平面ABCD=AD,POu平面%O,

所以平面ABCD.

(2)連接OC.由題意知OCLOO.以。為原點(diǎn)，分別以近，而，物的方

向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則4(0,-1,0),B(l,-1,0),C(l,0,0),0(0,

1,0),P(0,0,1