Page13專題3.3方差和標準差姓名：__________________班級：______________得分：_________________留意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（嘉祥縣一模）若樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數為10，方差為4，則對于樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3，下列結論正確的是（）A．平均數為10，方差為2 B．眾數不變，方差為4 C．平均數為7，方差為2 D．中位數變小，方差不變【分析】利用平均數、中位數、眾數和方差的意義進行推斷．【解析】∵樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數為10，方差為4，∴樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均數為7，方差為4，眾數和中位數變小．故選：D．2．（鹿城區校級三模）小明參加射擊競賽，成果統計如表：成果（環）678910次數12331關于他的射擊成果，下列說法正確的是（）A．平均數是8環 B．眾數是8環 C．中位數是8環 D．方差是2環2【分析】依據平均數、標準差、眾數和中位數的概念逐一計算可得．【解析】A．這組數據的平均數＝8.1（環），此選項錯誤；B．眾數為8環和9環，此選項錯誤；C．中位數是＝8（環），此選項正確；D．方差×[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝（環2），此選項錯誤；故選：C．3．（蓮都區校級模擬）某校初中女子籃球隊共有11名隊員，她們的年齡狀況如表：年齡/歲12131415人數1334則對該籃球隊隊員年齡描述正確的是（）A．中位數是14 B．眾數是13 C．平均數是14 D．方差是2【分析】依據中位數的概念求解可得．【解析】∵一共有11個數據，其中位數為第6個數據，∴這組數據的中位數為14歲．故選：A．4．（鹿城區校級二模）方差是刻畫一組數據波動大小的量，對于一組數據x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式計算方差：S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是這組數據的（）A．最小值 B．平均數 C．眾數 D．中位數【分析】依據方差的定義可得答案．【解析】方差S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，中“3”是這組數據的平均數，故選：B．5．（路橋區一模）甲、乙、丙、丁四名學生近4次數學測驗成果的平均數都是110分，方差分別是S甲2＝36，S乙2＝24，S丙2＝25.5，S丁2＝6，則這四名學生的數學成果最穩定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】依據方差的意義求解即可．【解析】∵S甲2＝36，S乙2＝24，S丙2＝25.5，S丁2＝6，∴S丁2＜S乙2＜S丙2＜S甲2，∴這四名學生的數學成果最穩定的是丁，故選：D．6．（寧波模擬）某班記錄了甲、乙、丙、丁四位同學近幾次投籃測試的平均進球數和方差的狀況：甲乙丙丁平均進球數（個）8.698.69方差3.63.83.73.6依據表中數據，要從中選擇一名成果好且發揮穩定的同學參加學校競賽，應選擇（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的的同學參賽．【解析】∵乙和丁的平均數較大，∴從乙和丁中選擇一人參加競賽，∵丁的方差較小，∴選擇丁同學參賽，故選：D．7．（吳興區一模）已知某運動隊的甲、乙、丙、丁四名射擊運動員平常訓練的平均成果（單位：環）以及方差S2（單位：環2）如下表，現要選一名成果優秀且穩定的隊員參加某項競賽，則應選（）甲乙丙丁9.09.09.59.5S20.52.21.70.5A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】依據方差的意義先比較出4名同學射擊成果的穩定性，再依據平均數的意義即可求出答案．【解析】因為隊員甲和丁的方差最小，所以這倆人的成果較穩定，但隊員丁平均數較大，所以成果好，即隊員丁成果好又發揮穩定．故選：D．8．（越城區期末）某校八年級一、二班學生參加同一次數學考試，經統計成果后得到如表：班級參加人數中位數方差平均數一班557813575二班558112675任課張老師依據上表分析對本次考試得出如下結論：①一、二兩班學生的平均水平相同；②二班的優秀人數多于一班的優秀人數（成果≥80分為優秀）；③一班成果波動狀況比二班成果波動大．上述結論正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】依據表格可得一、二兩班學生的平均分都是55分，因此平均水平相同；一班中位數比80小，因此二班的優秀人數多于一班的優秀人數；一班方差大，因此一班成果波動狀況比二班成果波動大．【解析】①一、二兩班學生的平均水平相同，說法正確；②二班的優秀人數多于一班的優秀人數（成果≥80分為優秀），說法正確；③一班成果波動狀況比二班成果波動大，說法正確；故選：A．9．（覃塘區期末）假如將一組數據中的每一個數都減去5，那么所得的新一組數據與原組數據比較必有（）A．眾數變更，方差不變 B．眾數不變，平均數變更 C．中位數變更，方差變更 D．中位數不變，平均數不變【分析】由每個數都減去5，那么所得的一組新數據的眾數、中位數、平均數都削減5，方差不變，據此可得答案．【解析】假如將一組數據中的每個數都減去5，那么所得的一組新數據的眾數、中位數、平均數都削減5，方差不變，故選：A．10．（下城區期末）甲、乙兩人各射擊5次，成果如表．依據數據分析，在兩人的這5次成果中（）成果（單位：環）甲378810乙778910A．甲的平均數大于乙的平均數 B．甲的中位數小于乙的中位數 C．甲的眾數大于乙的眾數 D．甲的方差小于乙的方差【分析】計算甲乙的平均數可對A進行推斷；計算甲乙的中位數可對B進行推斷；計算甲乙的眾數可對C進行推斷；計算甲乙的方差可對D進行推斷．【解析】A、甲的成果的平均數＝（3+7+8+8+10）＝7.2（環），乙的成果的平均數＝（7+7+8+9+10）＝8.2（環），所以A選項說法錯誤，不符合題意；B、甲的成果的中位數為8環．乙的成果的中位數為8環，所以B選項說法錯誤，不符合題意；C、甲的成果的眾數為8環，乙的成果的眾數為7環；所以C選項說法正確，符合題意；D、＝[（3﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+2×（8﹣7.2）2+（10﹣7.2）2]＝5.36（環2），＝[2×（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.36（環2），所以D選項說法錯誤，不符合題意．故選：C．二．填空題（共8小題）11．（海曙區校級期末）已知一組數據的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么這組數據的總和為24．【分析】依據方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各個字母表示的意義，得出這組數據的平均數是6，數據個數是4，從而得出這組數據的總和．【解析】∵s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，∴這組數據的平均數是6，數據個數是4，∴這組數據的總和為4×6＝24；故答案為：24．12．（泗陽縣期末）在一次射擊競賽中，甲、乙兩名運動員10次射擊的平均成果都是7環，其中甲的成果的方差為1.2，乙的成果的方差為3.9，由此可知甲的成果更穩定．【分析】依據方差的定義，方差越小數據越穩定．【解析】因為S甲2＝1.2＜S乙2＝3.9，方差小的為甲，所以本題中成果比較穩定的是甲．故答案為：甲；13．（岳麓區校級模擬）現有甲、乙兩支球隊，每支球隊隊員身高數據的平均數為1.78m，方差分別為s甲2＝0.28，s乙2＝0.36，則身高較整齊的球隊是甲隊．【分析】依據方差的意義可作出推斷．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．【解析】∵s甲2＝0.28，s乙2＝0.36，∴s甲2＜s乙2，∴身高較整齊的球隊是甲；故答案為：甲．14．（鹿城區校級月考）甲、乙兩位同學在五次數學測試中，平均成果均為85分，方差分別為S甲2＝0.7，S乙2＝1.8，甲、乙兩位同學中成果較穩定的是甲同學．【分析】依據方差的意義：方差越小，它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好，據此求解可得．【解析】∵S甲2＝0.7，S乙2＝1.8，∴S甲2＜S乙2，∴成果較穩定的是甲．故答案為：甲．15．（浙江模擬）南孔同學依據朗誦競賽中9位評委給出的分數，制作了此表．假如去掉一個最高分和一個最低分，則表中數據確定不發生變更的是中位數．平均數中位數眾數方差8283840.35【分析】利用方差、中位數、平均數和眾數的定義進行推斷．【解析】去掉一個最高分和一個最低分，表中數據確定不發生變更的是中位數．故答案為：中位數．16．（南湖區校級期中）為了比較甲乙兩種水稻秧苗是否出苗更整齊，每種秧苗各取10株分別量出每株長度，發覺兩組秧苗的平均長度一樣，甲、乙方差分別是3.9、15.8，則甲（填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齊．【分析】依據方差是反映一組數據的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好，進而推斷即可．【解析】∵甲、乙方差分別是3.9、15.8，∴S2甲＜S2乙，∴甲秧苗出苗更整齊；故答案為：甲．17．（甌海區期中）甲、乙兩同學近四次數學測試成果的平均分都為80分，且，則成果比較穩定的是乙．【分析】依據方差的定義，方差越小數據越穩定．【解析】∵S甲2＝22，S乙2＝14，∴S甲2＞S乙2，∴成果比較穩定的是乙；故答案為：乙．18．（吳興區期末）甲、乙、丙、丁四個小組參加體育測試，他們成果的平均分均為26分，方差分別為：S甲2＝2.5，S乙2＝15.7，S丙2＝9，S丁2＝11.2，則這四個小組體育測試成果最穩定的是甲組．【分析】依據方差的意義即可得出答案．【解析】∵S甲2＝2.5，S乙2＝15.7，S丙2＝9，S丁2＝11.2，∴S甲2＜S丙2＜S丁2＜S乙2，∴這四個小組體育測試成果最穩定的是甲組，故答案為：甲．三．解答題（共6小題）19．（海曙區校級期末）某中學開展歌詠競賽，九年級（1）、（2）班依據初賽成果，各選出5名選手參加復賽，復賽成果（滿分為100分）如圖所示．（1）依據圖示填寫下表：班級平均數（分）中位數（分）眾數（分）九（1）858585九（2）8580100（2）已知九年級（2）班復賽成果的方差為160，計算九年級（1）班復賽成果的方差，并分析哪個班的復賽成果穩定．【分析】（1）依據統計圖得到九（1）的5個成果，再利用平均數的定義求解；然后依據眾數的定義求九（1）的眾數，依據中位數的定義確定九（2）班的中位數；（2）先依據方差公式分別計算出九年級（1）班的方差，然后依據方差的意義推斷哪個班級的復賽成果穩定．【解析】（1）九年級（1）班的平均數＝＝85（分），九（1）班的眾數為85，九年級（2）班5名選手的復賽成果為：70，75，80，100，100，∴九年級（2）班5名選手的復賽成果的中位數為80；故答案為：85，85，80；（2）S12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，S22＝160，因為S12＜S22，所以九（1）班的復賽成果穩定．20．（嘉興一模）某校組織了一次“交通法規”學問競賽，滿分100分，成果達到60分及以上為合格，達到90分及以上為優秀．這次競賽中A，B兩組學生成果如下（單位：分）A組：40，60，60，60，60，70，80，90，90，100；B組：40，50，60，70，70，80，80，80，90，90．分析數據：組別平均分中位數方差優秀率A組716530930%B組717524920%應用數據：（1）求A，B兩組學生成果的合格率．（2）小嘉說：“這次學問競賽我的成果沒有達到優秀，但在我們小組屬于中等偏上，且我們組的合格率、優秀率都比另一組高，所以我認為我們組的成果更好．”①請你推斷小嘉此次學問競賽的成果．②假設你是另一組的成員，請寫出一條你所在小組成果更好的理由．【分析】（1）依據合格率的計算方法求解可得；（2）①依據合格率、優秀率以及中位數的意義求解可得；②可從方差闡述即可．【解析】（1）A組：9÷10＝0.9＝90%，B組：8÷10＝0.8＝80%，∴A組合格率為90%，B級合格率為80%；（2）①∵A組合格率與優秀率都比B組好，∴小嘉在A組，∵A組中位數為65分，∴比65分高且沒有達到優秀的為70分和80分，又70分為第5名，80分為第4名，小嘉中等偏上，∴小嘉此次成果為80分；②∵B組成果的方差比A組成果的方差小，成果更穩定，∴B組成果更好．21．（鹿城區校級二模）九年級某班實行辯論競賽，除參賽選手外，其他同學作為觀眾評委，分別給正方、反方兩隊的表現進行打分，成果分為A，B，C，D四個等級，其中相應等級的得分依次記為5分，4分，3分，2分．小雯將正方和反方兩隊的成果整理并繪制成如下統計圖．請你依據所供應的信息解答下列問題．（1）分別求出正方和反方兩隊的平均成果．（2）請結合平均數、中位數、眾數等統計量進行分析，你認為哪個參賽隊的成果更好？請簡述理由．【分析】（1）依據平均數的概念計算即可；（2）先比較正方、反方兩隊的平均分，再比較正方、反方兩隊的中位數和眾數，即可得出答案．【解析】（1）正＝×（5×11+4×10+3×4+2×5）＝3.9反＝（30×30%×5+30×35%×4+30×20%×3+30×15%×2）＝3.8；（2）從平均數看，正方的成果要比反方好；從中位數看正，反兩隊是一樣的，都是4分；從眾數看，正方的眾數是5分，反方的眾數是4分，正方要好，總體上看，正方要比反方好．（合理即可）22．（上城區校級期末）我市某中學八年級實行“中國夢?校內好聲音”歌手大賽，其中八年級（1）、八年級（2）班派出的5名選手的競賽成果如圖所示：（1）依據圖，完成表格：中位數（分）眾數（分）平均數（分）八年級（1）班757575八年級（2）班709075（2）請問，哪個班參加競賽選手的成果比較整齊？為什么？（3）如圖要在兩個隊中選擇一隊參加學校的競賽，你認為選擇哪個隊較好，為什么？【分析】（1）依據條形統計圖找出給出的數據，把這組數據從小到大排列，找出最中間的一個數（或中間兩個數的平均數）就是中位數，再依據眾數定義找出眾數，依據求平均數公式求出平均數即可；（2）依據方差公式求出方差，再得出答案即可；（3）依據方差和平均數比較，即可得出答案．【解析】（1）∵共有5個人，八（1）班的成果是75，65，70，75，90，∴把這組數據從小到大排列為65，70，75，75，90，∴這組數據的中位數是75，平均數是（75+65+70+75+90）÷5＝75，∵八（2）班的成果是60，90，90，65，70，∴把這組數據從小到大排列為60，65，70，90，90，∴這組數據的眾數是90，故答案為：75，75，90；（2）八（1）班參加競賽選手的成果比較整齊，理由是：八（1）班的成果是方差＝×[（75﹣75）2+（65﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（90﹣75）2]＝70，八（2）班的成果是方差＝×[（60﹣75）2+（90﹣75）2+（90﹣75）2+（65﹣75）2+（70﹣75）2]＝160，∵兩個班的平均數相同，八（1）班的方差小，∴八（1）班選手的成果總體上較整齊；（3）選八（1）班，理由是：八（1）班的方差小，比較整齊．23．（衢州期末）某校實行“衢州有禮八個一”學問問答競賽．每班選20名同學參加競賽，依據答對的題目數量，得分等級分為5分，4分，3分，2分，學校將八年級甲班和乙班的成果整理并繪制成統計圖．（1）請把甲班學問問答成果統計圖補充完整；（2）通過統計得到如表，請求出表中數據a，b的值．班級平均數（分）中位數（分）眾數（分）