專題2-1實數（考題猜想，實數大小比較的九種題型方法）方法1：比較絕對值法【方法點撥】比較兩個負數的大小，先比較它們的絕對值，再根據絕對值大的反而小求解即可．【例題1】（23-24七年級下·全國·假期作業）比較與的大小．【答案】【詳解】解：，而【變式1】（23-24七年級下·全國·假期作業）比較與的大小．【答案】【詳解】解：【變式2】（2023九年級·全國·專題練習）比較與的大小．【答案】【分析】比較兩個負數的大小，先比較它們的絕對值，再根據絕對值大的反而小求解即可．【詳解】∵，，∵，∴，根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，∴．【點睛】本題考查無理數比較大小，熟練掌握負數的大小比較方法是解決本題的關鍵．【變式3】（21-22八年級上·河北邢臺·期中）比較大小：﹣和﹣．【答案】＞【分析】兩個負數比較大小，先比較它們的絕對值，絕對值大的反而小．【詳解】解：∵，，，，而，∴＞．【點睛】本題考查實數的大小比較，掌握兩個負數比較大小，絕對值大的反而小是解題關鍵．方法2：開方法【方法點撥】對于一些簡單的含根號的數字，有時可以直接把數化入到根號里面，然后比較根號內數字的大小即可。【例題2】（22-23七年級上·全國·單元測試）比較大小：(1)與7；(2)與1．【答案】(1)(2)【分析】（1）因為，，因為，所以即可得到與7的大小關系；（2）與1兩種同時擴大2倍，即與2，然后都加上1，即與3，因為，且，所以即可得到與1的大小關系．【詳解】（1）解：∵，，且，∴；（2）解：∵，且，∴，，即，那么，則．【點睛】本題主要考查的是比較實數的大小等知識內容，學會靈活對式子的整理是解題的關鍵．【變式1】（22-23八年級上·廣東梅州·階段練習）比較下列各組數的大小．(1)和；(2)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，，得出，即可得出答案；（2）根據，，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，即；（2）解：∵，，∴，即．【點睛】本題主要考查了實數大小的比較，解題的關鍵是熟練掌握算術平方根和立方根的定義．【變式2】（22-23八年級上·廣東梅州·階段練習）比較下列各組數的大小．(1)和和；(2)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據算術平方根與立方根的定義可得，，進而即可求解；（2）先估算的大小，進而即可求解．【詳解】（1），，，，．（2），，．【點睛】本題考查了實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較的方法是解題的關鍵．【變式3】（21-22八年級上·全國·課時練習）比較下列各組數中兩個數的大小．（1）和；

（2）和．【答案】（1）；（2）【分析】通過比較被開方數來比較二次根式的大小．【詳解】（1）∵∴，即（2）∵∵∴，即．【點睛】本題考查二次根式比較大小的知識，熟練求解二次根式的被開方數是解題的關鍵．方法3：平方法【方法點撥】平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數分別平方，再根據a>0，b>0時，可由得到a>b來比較大小，這種方法常用于比較無理數的大小。【例題3】（22-23八年級上·廣東梅州·階段練習）比較大小（要有具體過程）：和；【答案】(1)【分析】兩邊同平方即可比較大小；【詳解】解：，，，；【點睛】本題考查了實數的大小比較，熟練掌握“平方法”或“作差法”及“作商法”等常見的比較大小的方法是解本題的關鍵．【變式1】（22-23八年級上·廣東梅州·階段練習）比較大小：與；【答案】；【分析】比較與的平方的大小即可；【詳解】解：，，；【點睛】此題考查了比較實數的大小，熟練掌握比較兩個實數大小的方法是解答此題的關鍵．【變式2】（23-24七年級下·湖北荊州·階段練習）比較下列各組數的大小：(1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數的大小比較，正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小．一個有理數與一個開方開不盡的數比較，常通過比較它們的平方（或立方）的大小來比較或都化成帶根號的數比較被開方數的大小．（1）比較兩個數平方的大小即可求解；（2）比較兩個數平方的大小即可求解．【詳解】（1）∵，，，∴；（2）∵，，，∴．方法4：立方法【例題4】（22-23七年級下·全國·課時練習）比較與2.3的大小．【答案】【詳解】因為，，而10＜12.167，所以．【變式1】（20-21七年級下·全國·課時練習）比較下列各組數的大小：（1）與2.5；（2）與．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出，再比較即可；（2）先求出，再比較即可．【詳解】解：（1），9＜15.625，，，（2），，，．【點睛】本題考查了實數的大小比較，能靈活運用立方根的定義進行變形是解此題的關鍵．【變式2】（21-22八年級上·河南南陽·期中）比較下列數的大小錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】A、B、D利用冪的乘方進行變形然后比較大小，C選項復數比較大小，絕對值大的反而小判定即可；【詳解】解A.∵27＞25∴＜，故A正確B.∵121＜125∴＜，故B錯誤C.∵＜∴，故C正確D.∵7＜8∴，故D正確故答案選B【點睛】本題考查了實數的大小比較，利用冪的乘方對不等號兩邊進行變形比較大小是解題的關鍵．【變式3】（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）比較大小：．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】先利用同時立方法得到：，，再利用同時平方法得到：，，根據和的大小關系即可確定和的大小關系．【詳解】解：，；，；∵，∴故答案為：【點睛】本題考查實數比大小，掌握常見的實數比大小的方法是解決本題的關鍵．方法5：取近似值法【方法點撥】估算法的基本是思路是設a,b為任意兩個正實數，先估算出a,b兩數或兩數中某部分的取值范圍，再進行比較。【例題5】（2023九年級·全國·專題練習）比較與的大小．【答案】【分析】先求出無理數的近似值，再比較兩個數的大小．【詳解】解：∵，∴．又∵，∴．【點睛】題目主要考查無理數的估算及大小比較，熟練掌握無理數的估算方法是解題關鍵．【變式1】（21-22八年級上·福建三明·期中）下列數的大小比較中，不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，，再結合不等式的性質可判斷A，B，再利用近似值可判斷C，D，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，故A不符合題意；∵，∴，∴，故B符合題意；∵，∴，故C不符合題意；而正確，故D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是無理數的大小比較，掌握無理數的大小比較的方法是解本題的關鍵．【變式2】（22-23七年級下·湖北恩施·期中）下列說法正確的有（

）個①的平方根是

②負數沒有立方根③大小比較：

④是5的平方根A．1 B．2 C．3 D．4．【答案】B【分析】利用平方根、立方根的定義與性質，實數大小的比較逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、，則其的平方根是，故說法不正確；B、任何一個實數都有立方根，正數的立方根為正，零的立方根為零，負數的立方根為負，故說法不正確；C、，則，故說法正確；D、是5的平方根，說法正確；故正確的說法有兩個，故選：B．【點睛】本題考查了平方根、立方根的概念與性質，實數大小的比較，掌握這些知識是關鍵．【變式3】（21-22七年級上·北京平谷·期末）下列實數比較大小正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據有理數比較大小的法則對各選項進行比較即可．【詳解】解：A、1>-4，故本選項錯誤；B、-1000<-0.001，故本選項錯誤；C、，故本選項錯誤；D、，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查的是實數的大小比較，即正數都大于0；負數都小于0；正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的其值反而小．方法6：放縮法【方法點撥】即把要比較的兩個數適當的放大或縮小，使復雜的問題簡單化，進而達到比較兩個實數的大小的目的。【例題6】（22-23七年級下·全國·課時練習）比較與的大小．【答案】【詳解】因為，，所以．【變式1】（23-24七年級下·全國·假期作業）比較下列各組數的大小：(1)和7；(2)和；(3)4，和．【答案】(1)(2)(3)【詳解】解：（1）．（2）．（3）．．【變式2】（2023九年級·全國·專題練習）比較與的大小．【答案】【分析】先估算和的大小，然后進行比較，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴；【點睛】本題考查了實數的大小比較，無理數的估算，解題的關鍵是掌握比較兩個無理數的大小可以采用放縮法．【變式3】（2021八年級上·全國·專題練習）比較和1的大小．【答案】＜1【分析】先找出的取值范圍進而得到的取值范圍即可比較出大小．【詳解】解：∵＜＜，

即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【點睛】本題考查實數的大小比較的應用，主要考查學生的比較能力，得出的取值范圍是解題關鍵．方法7：作差法【方法點撥】差值比較法的基本思路是設a，b為任意兩個實數，先求出a與b的差，再根據當a-b>0時，得a>b。當a-b<0時，得到a<b。當a-b=0，得到a=b。【例題7】（2023八年級上·全國·專題練習）比較和的大小．【答案】．【分析】利用作差法及無理數的估算，即可比較出大小．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了無理數大小的比較方法-作差法，無理數的估算，熟練掌握和運用無理數大小的比較方法是解題的關鍵．【變式1】（2022八年級·全國·專題練習）比較和的大小（作差法）【答案】【分析】利用作差法及無理數的估算，即可比較出大小．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查了無理數大小的比較方法-作差法，無理數的估算，熟練掌握和運用無理數大小的比較方法是解決本題的關鍵．【變式2】（2023九年級·全國·專題練習）比較和的大小．【答案】【分析】根據作差法進行比較實數的大小即可．【詳解】解：∵，而，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查實數的大小比較，熟練掌握作差法進行實數的大小比較是解題的關鍵．【變式3】（22-23八年級上·四川成都·期中）解下列問題：(1)解方程：；(2)比較與的大小【答案】(1)或7(2)【分析】（1）根據平方根的定義即可進行解答；（2）用做差法即可進行解答．【詳解】（1）解：∵，∴或，解得：或7．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了根據平方根的定義解方程，比較實數的大小，解題的關鍵是熟練掌握一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，以及無理數的估算方法．方法8：作商法【方法點撥】商值比較法的基本思路是設a，b為任意兩個正實數，先求出a與b得商。當“<1時，a<b;當“>1時，a>b;當”=1時，a=b。來比較a與b的大小。【例題8】（2022八年級·全國·專題練習）比較與的大小（作商法）【答案】【分析】根據作商比較法，看最后的比值與1的大小關系，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，又∵，，∴．【點睛】本題主要考查實數大小比較，二次根式的混合運算，解題關鍵在于掌握運算法則，準確進行計算．【變式1】（22-23八年級上·全國·單元測試）作商比較法的理論依據是，，若，則；若，則；若，則．請用作商法比較與的大小．【答案】【分析】用除以，結果與1比較大小即可．【詳解】解：，，，．【點睛】本題考查作商法比較二次根式的大小，解題的關鍵是掌握二次根式的性質及乘除運算法則．【變式2】（21-22八年級上·全國·課時練習）比較下列二次根式的大小：（1）與；（2）與．【答案】（1）；（2）【詳解】解析：（1）作差法比較大小；（2）作商法比較大小．答案：解：（1）∵，∴；（2），∴．題型解法：（1）作差法：如果兩個二次根式出現某些被開平方數相同的最簡二次根式，常采用作差法．若，則；若，則；若，則；（2）作商法：a，b都是正數，若，則；若，則；若，則．【變式3】比較與的大小.【答案】【分析】根據作商比較法，看最后的比值與1的大小關系，從而可以解答本題．【詳解】因為，，，所以.【點睛】此題考查分母有理化，實數大小比較，解題關鍵在于掌握運算法則.方法9：特殊值法【方法點撥】比較兩個實數的大小，有時取特殊值會更簡單。【例題9】（2023九年級·全國·專題練習）已知，將x，，，按從小到大的順序排列為．【答案】【分析】利用特殊值法求解，然后比較大小即可．【詳解】解：取，則，，，∵，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查實數的大小比較及立方根、平方的計算，采用特殊值法求解是解題關鍵．【變式1】（2024八年級下·浙江·專題練習）若，則，，，按從小到大的順序排列為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質，實數的大小比較，熟練掌握有理數大小比較方法是解題的關鍵．根據的取值范圍，設，分別求出，，的值，比較大小即可求解．【詳解】解：∵，∴設，則，故，，，∵，，，∴；即．故答案為：．【變式2】（2023上·四川達州·七年級校考期末）已知－1＜a＜0，則a，，－a，a2大小關系是（用“＜”號連接）．【答案】【分析】在a的取值范圍，用取特殊值進行計算再比較即可解決問題．【詳解】解：令a=-0.3，則，-a=0.3，a2=0.09，∵0.3＞0.09＞-0.3＞-，∴＜