考點03等式與不等式的性質(zhì)6種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)考點03等式與不等式的性質(zhì)6種常見考法歸類考點一比較兩個數(shù)(式)的大小考點二不等式的性質(zhì)及應用考點三求代數(shù)式的取值范圍考點四不等式的證明考點五不等式的實際應用考點六不等式的綜合問題1、比較兩數(shù)(式)大小的方法作差法作商法原理設(shè)a，b∈R，則a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b設(shè)a>0，b>0，則eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b（若，則；；.）步驟作差并變形（配方、因式分解、通分等）?判斷差與0的大小?得結(jié)論作商并變形（配方、因式分解、通分等）?判斷商與1的大小?得結(jié)論（如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用作商法，其它一般用作差法.）注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形作商時各式的符號應相同，如果a，b均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反．變形方法有分母(或分子)有理化，指、對數(shù)恒等變形等注：比較兩式大小還可用函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．2、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性3、分數(shù)性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)真分數(shù)性質(zhì)：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)假分數(shù)性質(zhì)：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).其中真分數(shù)性質(zhì)也常被稱為“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(濃度變大)；糖水析出糖后，糖水變淡(濃度變小).”4、利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法利用不等式性質(zhì)進行命題的判斷時，判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷(判斷成立時)或反例說明(判斷不成立時)，在實際考查中，多與一些常見函數(shù)單調(diào)性結(jié)合考查.(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．5、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每個變量的范圍，否則會導致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范圍．(1)設(shè)g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范圍．不可忽略a，b的制約關(guān)系，而單獨求出a，b的范圍，再求g(a，b).考點一比較兩個數(shù)(式)的大小1．（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知，則（

）A． B．C． D．與的大小無法判斷2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·高三課時練習）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.5．【多選】（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2023·全國·高三專題練習）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則（

）A． B．C． D．9．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B．C． D．考點二不等式的性質(zhì)及應用10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，則使成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)滿足，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．13．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．14．【多選】（2023·全國·模擬預測）已知實數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．15．（2023·北京·人大附中校考模擬預測）若實數(shù)、滿足，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．17．【多選】（2023·山東·校聯(lián)考二模）已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．18．【多選】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最小值為6考點三求代數(shù)式的取值范圍19．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知，，分別求(1)(2)(3)的取值范圍.20．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為21．（2023·全國·高三專題練習）已知，，的取值范圍是_______________22．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的取值范圍是_____．23．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（2023·全國·高三專題練習）已知有理數(shù)a，b，c，滿足，且，那么的取值范圍是_________．25．（2023·全國·高三專題練習）已知三個實數(shù)a、b、c，當時，且，則的取值范圍是____________．26．（2023·全國·高三專題練習）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點四不等式的證明27．（2022·全國·高三專題練習）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：28．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)，，滿足．(1)若，求證：；(2)若，，求的最小值．29．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，，且的最小值為1．(1)求的值；(2)證明：．考點五不等式的實際應用30．（2023·北京·高三專題練習）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長大于）按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑，軟件會在運動軌跡上標注出相應的里程數(shù)．已知劉老師共跑了，恰好回到起點，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．1031．（2023·全國·高三專題練習）近年來受各種因素影響，國際大宗商品價格波動較大，我國某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購方案.方案一：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說法正確的是（

）A．方案一更經(jīng)濟 B．方案二更經(jīng)濟C．兩種方案一樣 D．條件不足，無法確定32．（2023·全國·高三專題練習）為滿足人民群眾便利消費、安全消費、放心消費的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場．市場內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費為萬元；每間肉食水產(chǎn)店面的建造面積為，月租費為0.8萬元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過總面積的85%．①兩類店面間數(shù)的建造方案為_________種．②市場建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設(shè)方案平均每間店面月租費不低于每間蔬菜水果類店面月租費的90%，則的最大值為_________萬元．33．（2023·上海·高三專題練習）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時間（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當每毫升血液含藥量不低于4微克時，該藥能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？(2)某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？考點六不等式的綜合問題34．（2023·上海·高三專題練習）已知函數(shù)(其中)滿足：對任意，有，則的最小值為_________．35．（2023·全國·高三專題練習）已知正數(shù)滿足且成等比數(shù)列，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．36．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．37．（2023·全國·高三專題練習）已知a，b，c滿足，，則（

）A．， B．，C．， D．，考點03等式與不等式的性質(zhì)6種常見考法歸類考點一比較兩個數(shù)(式)的大小考點二不等式的性質(zhì)及應用考點三求代數(shù)式的取值范圍考點四不等式的證明考點五不等式的實際應用考點六不等式的綜合問題1、比較兩數(shù)(式)大小的方法作差法作商法原理設(shè)a，b∈R，則a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b設(shè)a>0，b>0，則eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b（若，則；；.）步驟作差并變形（配方、因式分解、通分等）?判斷差與0的大小?得結(jié)論作商并變形（配方、因式分解、通分等）?判斷商與1的大小?得結(jié)論（如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用作商法，其它一般用作差法.）注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形作商時各式的符號應相同，如果a，b均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反．變形方法有分母(或分子)有理化，指、對數(shù)恒等變形等注：比較兩式大小還可用函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．2、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性3、分數(shù)性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)真分數(shù)性質(zhì)：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)假分數(shù)性質(zhì)：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).其中真分數(shù)性質(zhì)也常被稱為“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(濃度變大)；糖水析出糖后，糖水變淡(濃度變小).”4、利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法利用不等式性質(zhì)進行命題的判斷時，判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷(判斷成立時)或反例說明(判斷不成立時)，在實際考查中，多與一些常見函數(shù)單調(diào)性結(jié)合考查.(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．5、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每個變量的范圍，否則會導致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范圍．(1)設(shè)g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范圍．不可忽略a，b的制約關(guān)系，而單獨求出a，b的范圍，再求g(a，b).考點一比較兩個數(shù)(式)的大小1．（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知，則（

）A． B．C． D．與的大小無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)作差法比較大小即可.【詳解】因為，所以，故.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過作差法，，確定符號，排除D選項；通過作差法，，確定符號，排除C選項；通過作差法，，確定符號，排除A選項；【詳解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故選：B.3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合作差法比較代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意，若，結(jié)合，則，故“”是“”的充分條件；者，則，取滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件．于是“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4．（2023·高三課時練習）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【分析】（1）由不等式的性質(zhì)即可證明.（2）要比較與的大小，將兩式做差展開化簡，得到即可判斷正負并比較出結(jié)果.【詳解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.又a＞b＞0，所以.（2）因為，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，所以當x＝y(tǒng)時，；當時，.5．【多選】（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐項判斷即可.【詳解】對于A項，，因為，所以，所以，所以，即：，故A項錯誤；對于B項，，因為，所以，，所以，即：，故B項正確；對于C項，，因為，所以，，，所以，即：，故C項錯誤；對于D項，因為，又因為，所以，，所以，即：，故D項正確.故選：BD6．（2023·全國·高三專題練習）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式之間的互化，以及作商法比較大小，即可比較的大小，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值法即可比較三者的大小.【詳解】由，得，由，得，因此，即；由，得，于是，所以正數(shù)的大小關(guān)系為.故選:A.7．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法結(jié)合基本不等式可得出、的大小關(guān)系，利用中間值結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，所以，，則，因為，所以，，則，所以因為，即，因此，.故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的運算法則，判斷、計算的符號，作商比較的大小即可得解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，又因，所以且，所以，所以，故選：D9．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的性質(zhì)得，，然后可判斷的正負，再利用對數(shù)的運算法則、換底公式可判斷與1的大小，從而得出結(jié)論．【詳解】因為，所以．，因為，所以，即．，因為，所以，即．綜上，．故選：A．考點二不等式的性質(zhì)及應用10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)，判斷選項的結(jié)論是否成立.【詳解】若，，，滿足，但，，不成立，A選項錯誤；，，則有，即，B選項正確；，當時，不成立，C選項錯誤；當時，，則D選項錯誤.故選：B11．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，則使成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合充分不必要條件的定義，對A，；對B，；對C，；對D，，需要討論a、b的符號，即可進一步判斷【詳解】對A，，故A不成立；對B，，故B成立；對C，，不一定推出，故C不成立；對D，，若，故D不成立.故選：B12．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)滿足，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件取特殊值或者作差法比較大小，依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，即.所以A選項錯誤；令，則，即，所以B選項錯誤；令，則，所以C選項錯誤；因為，由得，所以D選項正確.故選:D.13．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，作差法以及特殊值法，即可求解.【詳解】對于，因為，所以，則，故選項成立；對于，作差：，由已知可知：，當?shù)姆柌淮_定，故與的大小關(guān)系不確定，故選項錯誤；對于，作差：，因為，所以，，則，即，故選項正確；對于，當，，時，滿足，但，故選項錯誤；綜上：不等式恒成立的是，故選：.14．【多選】（2023·全國·模擬預測）已知實數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，D，，滿足，此時，，故A，D錯誤.（判斷一個結(jié)論錯誤時，舉反例即可）對于B，，，得，故B正確.對于C，由得，又，所以，故C正確.故選：BC15．（2023·北京·人大附中校考模擬預測）若實數(shù)、滿足，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對于D，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于ABC，取，即可判斷.【詳解】由題意，，所以，故D正確；當，時，，但，，，故A，B，C錯誤.故選：D.16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A選項，根據(jù)不等式基本性質(zhì)得到；B選項，利用基本不等式求解；C選項，利用作差法比較大小；D選項，可舉出反例.【詳解】A選項，因為，所以，不等式兩邊同時乘以，可得，故A正確；B選項，因為，所以，由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，但，故等號取不到，，B正確；C選項，，因為，，故，故，C正確；D選項，不妨設(shè)，則故選：D17．【多選】（2023·山東·校聯(lián)考二模）已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)已知等式可確定，結(jié)合不等式性質(zhì)和作差法依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，A錯誤；對于B，，，，，，，，即，B正確；對于C，，，，即，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC.18．【多選】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最小值為6【答案】AC【分析】解不等式和可判斷A，C，取特值可排除B，利用將轉(zhuǎn)化為來求解最小值，確定D.【詳解】A：，因為，所以故A正確；B：，顯然滿足條件，故B錯誤；C：，故C正確；D：，由于在上為增函數(shù)，故最小值為，D錯誤．故選AC．考點三求代數(shù)式的取值范圍19．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知，，分別求(1)(2)(3)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】利用不等式的性質(zhì)進行求解（1）（2）（3）即可.【詳解】（1），而，所以有（2）；（3），而，所以有.20．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.21．（2023·全國·高三專題練習）已知，，的取值范圍是_______________【答案】【分析】設(shè)，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．【詳解】設(shè)，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范圍.故答案為：.22．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】利用換元法，結(jié)合不等式的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設(shè)，因此得：，，，因為，所以，因此，所以.故答案為：23．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把轉(zhuǎn)化為，根據(jù)，，求出的范圍，利用單增，求出z的范圍即可.【詳解】.設(shè)，所以，解得：，，因為，，所以，因為單調(diào)遞增，所以.故選：C24．（2023·全國·高三專題練習）已知有理數(shù)a，b，c，滿足，且，那么的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】由于，且，所以，，，所以.故答案為：25．（2023·全國·高三專題練習）已知三個實數(shù)a、b、c，當時，且，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】當時滿足：且，可得，進而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.【詳解】當時滿足：且，，即，進而，解得．所以或，，令，，由于所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以故答案為：．26．（2023·全國·高三專題練習）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C考點四不等式的證明27．（2022·全國·高三專題練習）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由不等式的性質(zhì)，先得到，兩邊同時+1，即得證；（2）由不等式的性質(zhì)，先得到，兩邊乘以c,可得，兩邊同時-1，可得，再兩邊取倒數(shù)，即得證.【詳解】證明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，∴＋1≥＋1，∴≤.（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴又∵c>0，∴，∴，又c－a>0，c－b>0，∴.28．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)，，滿足．(1)若，求證：；(2)若，，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)不等性質(zhì)變形證明不等式；（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，進而得解.(1)證明：由，且，得，，故，所以，所以，即；(2)解：由且，得，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．29．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，，且的最小值為1．(1)求的值；(2)證明：．【答案】(1)1(2)證明見詳解．【分析】（1）由結(jié)合最小值即可求解結(jié)果；（2）結(jié)合（1）結(jié)果可得，討論大小即可證明結(jié)論．(1)，因為a，b，c都是正數(shù)，且的最小值為1，所以．(2)．若時，，，若時，，，所以．同理可證，，所以．故．考點五不等式的實際應用30．（2023·北京·高三專題練習）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長大于）按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑，軟件會在運動軌跡上標注出相應的里程數(shù)．已知劉老師共跑了，恰好回到起點，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】利用環(huán)形道的周長與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長的范圍，再結(jié)合跑回原點的長度建立方程，即可求解.【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長為，劉老師總共跑的圈數(shù)為，（），則由題意，所以，所以，因為，所以，又，所以，即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.故選：B31．（2023·全國·高三專題練習）近年來受各種因素影響，國際大宗商品價格波動較大，我國某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購方案.方案一：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說法正確的是（

）A．方案一更經(jīng)濟 B．方案二更經(jīng)濟C．兩種方案一樣 D．條件不足，無法確定【答案】B【分析】設(shè)第一次價格為，第二次價格為，進而求解兩種方案的平均數(shù)，并比較大小即可.【詳解】解：設(shè)第一次價格為，第二次價格為，方案一：若每次購買數(shù)量，則兩次購買的平均價格為，方案二：若每次購買錢數(shù)為，則兩次購買的平均價格為，所以，，即，當且僅當時，“=”號成立，所以方案二更經(jīng)濟.故選：B32．（2023·全國·高三專題練習）為滿足人民群眾便利消費、安全消費、放心消費的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場．市場內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費為萬元；每間肉食水產(chǎn)店面的建造面積為，月租費為0.8萬元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過總面積的85%．①兩類店面間數(shù)的建造方案為_________種．②市場建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設(shè)方案平均每間店面月租費不低于每間蔬菜水果類店面月租費的90%，則的最大值為_________萬元．【答案】161【解析】（1）設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為，根據(jù)條件建立不等關(guān)系和相等關(guān)系，求解，確定解的個數(shù)；（2）平均每間店的收入不低于每間蔬菜水果類店面月租費的90%建立不等式，根據(jù)不等式恒成立求的最大值即可.【詳解】設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為,（1）由題意知，，化簡得：，又，所以，解得：，共種；（2）由題意知，，，，，即的最大值為1萬元，故答案為：16；1【點睛】本題主要考查了不等式在實際問題中的應用，不等式的性質(zhì)，屬于難題.33．（2023·上海·高三專題練習）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時間（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當每毫升血液含藥量不低于4微克時，該藥能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？(2)某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？【答案】(1)小時(2)小時【分析】（1）根據(jù)，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可.【詳解】（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克，可得，

解得，

所以小時后該藥能起到有效抗病毒的效果．（2）設(shè)經(jīng)過小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；若，藥物濃度，