湖南省株洲市醴陵一中2025屆高一下數學期末學業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量，，則在方向上的投影為（）A．-2 B．2 C． D．2．已知向量，，，且，則實數的值為A． B． C． D．3．已知數列，其前n項和為，且，則的值是（）A．4 B．8 C．2 D．94．設，若，則數列是（）A．遞增數列 B．遞減數列C．奇數項遞增，偶數項遞減的數列 D．偶數項遞增，奇數項遞減的數列5．在等差數列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．106．用數學歸納法證明這一不等式時，應注意必須為（）A． B．， C．， D．，7．已知函數的部分圖象如圖所示，則此函數的解析式為（）A． B．C． D．8．數列1,3,6,10，…的一個通項公式是（）A． B．C． D．9．對于不同的直線l、、及平面，下列命題中錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．若，則函數的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若過點作圓的切線，則直線的方程為_______________.12．在平行六面體中，為與的交點，若存在實數，使向量，則__________．13．函數的定義域記作集合，隨機地投擲一枚質地均勻的正方體骰子（骰子的每個面上分別標有點數，，，），記骰子向上的點數為，則事件“”的概率為________.14．在邊長為2的正三角形ABC內任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是________．15．若數列滿足，，，則______.16．求374與238的最大公約數結果用5進制表示為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點，求的邊上的中線所在的直線方程．18．設函數，定義域為．（1）求函數的最小正周期，并求出其單調遞減區(qū)間；（2）求關于的方程的解集．19．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數n，存在多項式函數，使得對所有實數x均成立，其中均為整數，當n為奇數時，，當n為偶數時，；（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數？20．在四棱錐中，，．（1）若點為的中點，求證：平面；（2）當平面平面時，求二面角的余弦值．21．已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式;（2）設，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影為=-2故選A2、A【解析】

求出的坐標，由得，得到關于的方程.【詳解】，，因為，所以，故選A.【點睛】本題考查向量減法和數量積的坐標運算，考查運算求解能力.3、A【解析】

根據求解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查數列和的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.4、C【解析】

根據題意，由三角函數的性質分析可得，進而可得函數為減函數，結合函數與數列的關系分析可得答案。【詳解】根據題意，，則，指數函數為減函數即即即即，數列是奇數項遞增，偶數項遞減的數列，故選：C.【點睛】本題涉及數列的函數特性，利用函數單調性，通過函數的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。5、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數列的基本量的求解，難度較易.已知等差數列的任意兩項的值，可通過構建和的方程組求通項公式.6、D【解析】

根據題意驗證，，時，不等式不成立，當時，不等式成立，即可得出答案.【詳解】解：當，，時，顯然不等式不成立，當時，不等式成立，故用數學歸納法證明這一不等式時，應注意必須為，故選：.【點睛】本題考查數學歸納法的應用，屬于基礎題．7、B【解析】

由圖象可知,所以,又因為,所以所求函數的解析式為.8、C【解析】

試題分析：可采用排除法，令和，驗證選項，只有，使得，故選C．考點：數列的通項公式．9、C【解析】

由平面的基本性質及其推論得：對于選項C，可能l∥n或l與n相交或l與n異面，即選項C錯誤，得解．【詳解】由平行公理4可得選項A正確，由線面垂直的性質可得選項B正確，由異面直線所成角的定義可得選項D正確，對于選項C，若l∥α，n∥α，則l∥n或l與n相交或l與n異面，即選項C錯誤，故選C．【點睛】本題考查了平面中線線、線面的關系及性質定理與推論的應用，屬簡單題．10、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【詳解】當且僅當,即時，取等號.故選：B【點睛】本題考查利用均值不等式求函數最小值,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

討論斜率不存在時是否有切線，當斜率存在時，運用點到直線距離等于半徑求出斜率【詳解】圓即①當斜率不存在時，為圓的切線②當斜率存在時，設切線方程為即，解得此時切線方程為，即綜上所述，則直線的方程為或【點睛】本題主要考查了過圓外一點求切線方程，在求解過程中先討論斜率不存在的情況，然后討論斜率存在的情況，利用點到直線距離公式求出結果，較為基礎。12、【解析】

在平行六面體中把向量用用表示，再利用待定系數法，求得.再求解。【詳解】如圖所示：因為，又因為，所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了空間向量的基本定理，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.13、【解析】要使函數有意義，則且，即且，即，隨機地投擲一枚質地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點數為，則，則事件“”的概率為.14、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個扇形,當P落在其內時符合要求,∴P==.15、【解析】

由，化簡得，則為等差數列，結合已知條件得.【詳解】由，化簡得，且，，得，所以是以為首項，以為公差的等差數列，所以，即故答案為：【點睛】本題考查了數列的遞推式，考查了判斷數列是等差數列的方法，屬于中檔題.16、【解析】

根據最大公約數的公式可求得兩個數的最大公約數，再由除取余法即可將進制進行轉換.【詳解】374與238的最大公約數求法如下：，，，，所以兩個數的最大公約數為34.由除取余法可得：所以將34化為5進制后為，故答案為：.【點睛】本題考查了最大公約數的求法，除取余法進行進制轉化的應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

設邊的中點,則由中點公式可得：,即點坐標為所以邊上的中線先的斜率則由直線的斜截式方程可得：這就是所求的邊上的中線所在的直線方程.18、（1）最小正周期為，單調遞減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用兩角差的余弦公式、二倍角降冪公式以及輔助角公式將函數的解析式化簡為，由周期公式可得出函數的最小正周期，由，解出的范圍得出函數的單調遞減區(qū)間；（2）由，得出，解出該方程可得出結果.【詳解】（1），所以，函數的最小正周期為，由，得，因此，函數的單調遞減區(qū)間為；（2）令，得，或，解得或，因此，關于的方程的解集為.【點睛】本題考查三角函數基本性質的求解，解題時要將三角函數解析式利用三角恒等變換思想進行化簡，然后再利用相應公式或圖象進行求解，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題.19、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數學歸納法進行證明；（3）根據（2）的結論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數時，時，，其中，成立時，，其中，成立時，，其中，成立，則當時，所以得到因為均為整數，所以也均為整數，故原式成立；為偶數時，時，，其中，時，，其中，成立，時，，其中，成立，則當時，所以得到其中，因為均為整數，所以也均為整數，故原式成立；綜上可得：對任何正整數，存在多項式函數，使得對所有實數均成立，其中，均為整數，當為奇數時，，當為偶數時，；（3）由（2）可得其中均為有理數，因為為無理數，所以均為無理數，故為無理數，所以不是有理數.【點睛】本題考查利三角函數的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數學歸納法證明，屬于難題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

(I)結合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結合平面與平面性質,證明結論.(II)建立空間坐標系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結合向量數量積公式,計算余弦值,即可.【詳解】(Ⅰ)取的中點為，連結，.由已知得，為等邊三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵為的中點，為的中點，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)連結，交于點，連結，由對稱性知，為的中點，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.設二面角的大小為，則.【點睛】本道題考查了平面與平面平行判定和性質,考查了空間向量數量積公式,關鍵建立空間坐標系,難度偏難.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由遞推公式，再遞推一步，得，兩式相減化簡得，可以判斷數列是等差數列，進而可以求出等差數列的通項公式;（2）根據（1）和對數的運算性質，用裂項相消法可以求出數列的前項和.【詳解】解：（1）由知