專題17.9勾股定理的逆定理（分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021下·黑龍江綏化·六年級期末）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，從中選出三根恰好可以圍成一個直角三角形，這個直角三角形的面積是（

）A．6 B．10 C．7.5 D．13.52．（2019下·八年級單元測試）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，1），點B的坐標為（11，1），點C到直線AB的距離為5，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的C點有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．8個3．（2023上·貴州貴陽·八年級校考階段練習）如圖是由6個邊長相等的正方形組成的網格，則（）

A． B．C． D．4．（2022上·廣東佛山·八年級佛山市華英學校校考期中）如圖，在以下四個正方形網格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（）A．B．C． D．5．（2023上·上海徐匯·八年級校聯考階段練習）如圖，在四邊形中，，，，，且，下列結論中：①；②；③；④．其中正確的結論是（

）A．② B．①② C．①④ D．①③④6．（2023上·浙江嘉興·九年級校考開學考試）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．7．（2023下·河北衡水·九年級校考期中）如圖，點在內部，點與點關于對稱，點與點關于對稱．甲、乙兩位同學各給出了自己的說法：甲：若，則是等邊三角形；乙：若，則．對于兩位同學的說法，下列判定正確的是（

）

A．甲正確 B．乙正確 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯誤8．（2022下·遼寧營口·八年級統考期中）甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是，甲客輪沿著北偏東的方向航行，后到達小島，乙客輪到達小島．若，兩島的直線距離為，則乙客輪離開港口時航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏東或北偏西 D．南偏東或北偏西9．（2018上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，則四邊形ABCD的面積為（）A． B．4 C．1 D．210．（2019上·河南洛陽·八年級偃師市實驗中學校考階段練習）下列說法正確的是（

）A．在直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5B．三角形為直角三角形，三角形的三邊長為a，b，c，則滿足a2-b2＝c2C．以任意三個連續自然數為三邊長都能構成直角三角形D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，則△ABC為直角三角形填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·四川達州·八年級校考期末）在中，，，，則．12．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市江南中學校考期中）若a、b、c是的三邊，且，則最大邊上的高是．13．（2023上·江蘇淮安·八年級統考期中）如圖，在的網格中，．14．（2023上·江蘇連云港·八年級校考期中）如圖，中，，，．將沿射線折疊，使點與邊上的點重合，為射線上一個動點，當周長最小時，的長為．15．（2023下·浙江寧波·八年級校考期末）如圖，正方形的面積是169平方厘米，正方形面積是144平方厘米，正方形的面積是25平方厘米，則陰影四邊形的面積是平方厘米．

16．（2023下·黑龍江大慶·八年級校考期末）筆直的河流一側有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．則原路線千米．17．（2022上·山東青島·七年級統考期中）海面上有兩個疑似漂浮目標．A艦艇以12海里/時的速度離開港口O，向北偏西方向航行；同時，B艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是．18．（2019下·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考期中）如圖，點C為直線l上的一個動點，于D點，于E點，，，當長為為直角三角形．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024上·湖南長沙·八年級校聯考期末）如圖，在中，已知，D是邊上的一點，，，.（1）求證：是直角三角形；（2）求的面積.20．（8分）（2023上·浙江寧波·八年級校聯考期中）如圖，已知點是等邊內一點，連結，，，D為外一點，且，連接，，．（1）求證：．（2）若，，，求的度數．21．（10分）（2024上·重慶萬州·八年級統考期末）如圖，在一條筆直的東西方向的公路上有A、B兩地，相距500米，且離公路不遠處有一塊山地C需要開發，已知C與A地的距離為300米，與B地的距離為400米，在施工過程中需要實施爆破，為了安全起見，爆破點C周圍半徑260米范圍內不得進入．（1）山地C距離公路的垂直距離為多少米？（2）在進行爆破時，A、B兩地之間的公路是否有危險需要暫時封鎖？若需要封鎖，請求出需要封鎖的公路長．22．（10分）（2020上·全國·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x軸、y軸于點A（a，0）點，B（0，b），且a、b滿足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，點P在直線AB的左側，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若點P在x軸上，求點P的坐標；（3）若為直角三角形，求點P的坐標．

23．（10分）（2023上·廣東廣州·九年級統考期末）如圖1，在中，，，點為內任意一動點，（1）當時，求的度數；（2）當點滿足時，①求的度數；②如圖2，取的中點，連接，試求，，之間的數量關系并說明理由．24．（12分）（2023上·江蘇鎮江·八年級丹陽市第八中學校考期中）【問題初探】勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學習了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發靈感，給出了如圖①的拼圖：兩個全等的直角三角板和直角三角板，頂點F在邊上，頂點C、D重合，連接．設交于點G．，，，．請你回答以下問題：

（1）與的位置關系為______．（2）填空：______（用含c的代數式表示）．（3）請嘗試利用此圖形證明勾股定理．【問題再探】平移直角三角板，使得頂點B、D重合，這就是大家熟悉的“K型圖”，如圖②，此時三角形是一個等腰直角三角形．請你利用以上信息解決以下問題：已知直線及點P，作等腰直角，使得點A、B分別在直線a、b上且．（尺規作圖，保留作圖痕跡）

【問題拓展】請你利用以上信息解決以下問題：已知中，，，，則的面積______．參考答案：1．A【分析】根據三角形的三邊關系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以組成三角形，再根據勾股定理逆定理可知該三角形為直角三角形，即可求得答案；解：∵9=4+5∴9cm的小棒不能組成三角形∵∴此三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm和4cm∴故選A【點撥】本題考查了三角形的性質，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相關知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關鍵．2．C【分析】當∠A=90°時，滿足條件的C點2個；當∠B=90°時，滿足條件的C點2個；當∠C=90°時，滿足條件的C點2個．所以共有6個．解：∵點A，B的縱坐標相等，∴AB∥x軸，∵點C到AB距離為5，AB=10，∴點C在平行于AB的兩條直線上，∴過點A的垂線與那兩條直線有2個交點，過點B的垂線與那兩條直線有2個交點，以AB為直徑的圓與那兩條直線有只有2個交點（這兩個兩點在線段AB的垂直平分線上），∴滿足條件的C點共，6個．故選C．【點撥】用到的知識點為：到一條直線距離為某個定值的直線有兩條．△ABC是直角三角形，它的任意一個頂點都有可能為直角頂點．3．C【分析】設小正方形的邊長為1，根據勾股定理逆定理得到，再由三角形內角和定理進行計算即可．解：如圖，設小正方形的邊長為1，

則，，，，，，，故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．4．A【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可．解：A、三邊長分別為，∵，∴不是直角三角形，故本選項符合題意；B、三邊長分別為，，∴是直角三角形，故本選項不符合題意；C、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項不符合題意；D、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項不符合題意．故選A．【點撥】本題考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題關鍵．5．B【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四邊形內角和定理，先根據勾股定理得到，進而證明，推出是直角三角形，且，由四邊形內角和定理得到，再由得到，據此可判斷①②④；根據現有條件無法得到，即可判斷③．解：如圖所示，連接，∵在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形，且，故①正確；∴，故②正確；，故④錯誤；根據現有條件無法得到，故③錯誤；故選B．6．B【分析】根據平方的非負性，算術平方根的非負性，絕對值的非負性，即可求出，從而可得出，即證明為直角三角形，且a，b為直角邊，最后根據三角形面積公式求解即可．解：∵，∴，∴，解得：．∵，∴，∴為直角三角形，且a，b為直角邊，∴的面積為．故選B．【點撥】本題考查非負數的性質，勾股定理逆定理．熟練掌握非負數的性質和勾股定理逆定理是解題關鍵．7．C【分析】連接，根據對稱的性質以及垂直平分線的判定和性質可得，，，，推得，，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求得；若，求得，根據等邊三角形的判定即可證明甲同學的說法正確；若，根據勾股定理的逆定理可推得，即可證明乙同學的說法正確．解：連接，如圖：

∵點與點關于對稱，點與點關于對稱，即是的垂直平分線，是的垂直平分線，∴，，，，∴，又∵，∴，在等腰三角形中，，在等腰三角形中，，則；若，則，又∵，∴為等邊三角形，故甲同學的說法正確；若，∵，即，則，，滿足，∴為直角三角形，∴，則，故乙同學的說法正確；故選：C．【點撥】本題考查了對稱的性質，垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，等邊三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵．8．C【分析】根據題意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理證明△AOB是直角三角形，從而求出∠AOB=90°，然后分兩種情況，畫出圖形，進行計算即可解答．解：由題意得，海里，海里，OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分兩種情況：如圖1，=180°-30°-90°=60°，乙客輪離開港口時航行的方向是：南偏東60°，如圖2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客輪離開港口時航行的方向是：北偏西60°，綜上所述：乙客輪離開港口時航行的方向是：南偏東60或北偏西60°，故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，方向角，根據題目的已知條件畫出圖形進行分析是解題的關鍵．9．D【分析】根據勾股定理求出AC，根據勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根據三角形的面積公式分別求出△ABC和△ACD的面積，即可得出答案．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∵CD＝1，AD＝3，AC＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四邊形ABCD的面積：S＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×2×2+×1×2＝2+，故選D．【點撥】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應用，能求出△ACD是直角三角形是解此題的關鍵．10．D【分析】根據直角三角形的判定進行分析，從而得到答案．解：A、應為“直角三角形中，已知兩直角邊的邊長為3和4，則斜邊的邊長為5”，故不符合題意；B、應為“三角形是直角三角形，三角形的直角邊分別為b，c，斜邊為a，則滿足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合題意；C、比如：邊長分別為3，4，5，有32+42=25=52，能構成直角三角形，故不符合題意；D、根據三角形內角和定理可求出三個角分別為15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了直角三角形的性質和判定，注意在敘述命題時要敘述準確．11．【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用、三角形的面積公式．解決問題的關鍵在于判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．解：∵，，∴，又∵，∴，∴是直角三角形，∴．故答案為：．12．【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，等面積法求三角形的高．熟練掌握勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀是解題的關鍵．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，，設最大邊上的高為，依題意得，，即，計算求解即可．解：∵，∴，∴是直角三角形，，設最大邊上的高為，依題意得，，即，解得，，故答案為：．13．45【分析】連接，根據網格判定為等腰直角三角形，得出，根據平行線的性質得出，，根據即可求出結果．解：連接，如圖所示：∵，，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴．故答案為：45．【點撥】本題主要考查了網格與勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，證明為等腰直角三角形．14．【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理的逆定理，軸對稱的性質，掌握相關性質是解答本題的關鍵．根據翻折的性質和勾股定理的逆定理，得到為直角三角形，設，則，再利用勾股定理得到答案．解：由題意得：，兩點關于射線對稱，，為定值，要使周長最小，即最小，如圖，當點為與射線的交點時，周長最小，，，，，，，為直角三角形，，，，設，則，在中，，即，解得：，，故答案為：．15．【分析】根據正方形的面積、正方形面積、正方形的面積可以計算，，，進而判定為直角三角形，即可求證、、三點共線，且陰影部分的面積為，即可解題．解：根據正方形的面積、正方形面積、正方形的面積可得厘米，厘米，厘米，且滿足，為直角三角形，，、、三點共線，、、三點共線，為直角三角形，（厘米），（厘米），∴（平方厘米）（平方厘米）∴（平方厘米）．∵（平方厘米）∴陰影四邊形的面積（平方厘米）．故答案為．【點撥】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各邊長相等、各內角為直角的性質，三角形面積的計算，本題中求陰影部分的面積為是解題的關鍵．16．/【分析】先根據勾股定理的逆定理說明是直角三角形且，設千米，則千米，最后在運用勾股定理即可解答．解：∵在中，，∴，∴是直角三角形且；設千米，則千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴，解得x=．故答案為．【點撥】本題主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知識點，掌握勾股定理的逆定理和定理是解決本題的關鍵．17．北偏東【分析】根據勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，求出的度數即可．解：由題意得，（海里），（海里），又∵海里，∵，即∴，∵，∴，則B艦艇的航行方向是北偏東，故答案為：北偏東．【點撥】本題考查的是勾股定理的逆定理的應用和方位角的知識，根據題意判斷出是直角三角形是解決問題的關鍵．18．3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根據矩形的性質得到BF=DE=4，DF=BE=1，根據勾股定理用CD表示出AC、BC，根據勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．解：作BF⊥AD于F，則四邊形DEBF為矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，

當△ABC為直角三角形時，即解得，CD=3，如圖2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，當∠ACB=90°時，由勾股定理得，

由得：解得：同理可得：當∠ABC=90°時，綜上：的長為：3或2或．故答案為：3或2或．【點撥】本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么19．（1）見分析；（2）【分析】本題主要考查了勾股定理和其逆定理以及等腰三角形的性質，解題關鍵是利用勾股定理構造方程求出腰長．（1）根據勾股定理的逆定理證明即可；（2）設，則，利用勾股定理列方程求得，從而求得，再利用三角形的面積公式求解即可．解：（1）證明：∵，，，∴在中，，即，∴是直角三角形；（2）解：設，則，在中，，解得：，∴，∴．20．（1）見分析；（2）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理．（1）根據等邊三角形的性質得到，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據全等三角形的性質得到，，推出是等邊三角形，得到，，根據勾股定理的逆定理得到，于是得到結論．解：（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，在與中，∴（SAS）；（2）解：∵，∴，，∵，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴．21．（1）；（2）需要，【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用；（1）過作，因為，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通過三角形的面積轉化，即可求解；（2）以點為圓心，為半徑畫弧，交于點E、F，連接，，由等腰三，比較與的大小即可判斷，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出適當的輔助線，將實際問題轉化為勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．（1）解：由題意得，，，如圖，過作，，，是直角三角形，且，，，解得：，答：山地C距離公路的垂直距離為；（2）解：公路有危險需要暫時封鎖，理由如下：如圖，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點E、F，連接，，則，，，由（1）可知，，，有危險需要暫時封鎖，在中，，，即需要封鎖的公路長為．22．（1）a＝2，b＝4；（2）P（﹣4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）【分析】（1）a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0整理得（a﹣2）2+|2a+b|＝0，再根據非負數的性質求得a，b的值即可；（2）點P在直線AB的左側，且在x軸上，∠APB＝45°，得到OP＝OB＝4，即可得到P點坐標；（3）由題意可知△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，則分∠ABP＝90°或∠BAP＝90°兩種情況進行討論即可.解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵點P在直線AB的左側，且在x軸上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（﹣4，0）；（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如圖，

①當∠ABP＝90°時，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，過點P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（﹣4，2）；②當∠BAP＝90°時，過點P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'