天津市一中2025屆數學高一下期末學業水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000m/h，飛行員先看到山頂的俯角為，經過1min后又看到山頂的俯角為，則山頂的海拔高度為（精確到0.1km，參考數據：）A．11.4km B．6.6km C．6.5km D．5.6km2．函數y=2cosx-1A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－13．在中，角所對的邊分別為，若.且，則的值為（）A． B．C． D．或4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為（）A．13+5 B．11+5 C．5．一條直線經過點，并且它的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則這條直線的方程是()A． B．C． D．6．已知1，a，b，c，5五個數成等比數列，則b的值為（）A． B． C． D．37．已知向量=(3，4)，=(2，1)，則向量與夾角的余弦值為()A． B． C． D．8．如果數列的前項和為，則這個數列的通項公式是（）A． B． C． D．9．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且=3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若=x+(1-x)，則x的取值范圍是()A． B．C． D．10．在中，邊，，分別是角，，的對邊，且滿足，若，則的值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．12．已知向量，的夾角為，若，，則________.13．正項等比數列中，為數列的前n項和，，則的取值范圍是____________．14．在《九章算術·商功》中將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點為______.15．光線從點射向y軸，經過y軸反射后過點，則反射光線所在的直線方程是________.16．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列滿足,,設.(1)求,,;(2)證明:數列是等比數列,并求數列和的通項公式.18．定理：若函數的圖象關于直線對稱，且方程有個根，則這個根之和為.利用上述定理，求解下列問題：（1）已知函數，，設函數的圖象關于直線對稱，求的值及方程的所有根之和；（2）若關于的方程在實數集上有唯一的解，求的值.19．在中，內角，，的對邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面積.20．已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；（3）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.21．在△中，，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的大小．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據題意求得和的長，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得問題答案.【詳解】在中，根據正弦定理，所以：山頂的海拔高度為18-11.5=6.5km.故選：C【點睛】本題考查了正弦定理在實際問題中的應用，考查了學生數學應用，轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

根據余弦函數有界性確定最值.【詳解】因為-1≤cosx≤1，所以【點睛】本題考查余弦函數有界性以及函數最值，考查基本求解能力，屬基本題.3、D【解析】

首先根據余弦定理，得到或.再分別計算即可.【詳解】因為，所以，即：，解得：或.當時，.當時，.所以或.故選：D【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，熟記公式為解題的關鍵，屬于中檔題.4、B【解析】

三視圖可看成由一個長1寬2高1的長方體和以2和1為直角邊的三角形為底面高為1的三棱柱組合而成．【詳解】幾何體可看成由一個長1寬2高1的長方體和以2和1為直角邊的三角形為底面高為1的三棱柱組合而成S=【點睛】已知三視圖，求原幾何體的表面積或體積是高考必考內容，主要考查空間想象能力，需要熟練掌握常見的幾何體的三視圖，會識別出簡單的組合體．5、B【解析】

先求出直線的傾斜角，進而得出所求直線的傾斜角和斜率，再根據點斜式寫直線的方程.【詳解】已知直線的斜率為，則傾斜角為，故所求直線的傾斜角為，斜率為，由直線的點斜式得，即。故選B.【點睛】本題考查直線的性質與方程，屬于基礎題.6、A【解析】

根據等比數列奇數項也成等比數列，求解.【詳解】因為1，a，b，c，5五個數成等比數列，所以也成等比數列，等比數列奇數項的符號一致，，.故選A.【點睛】本題考查了等比數列的基本性質，屬于簡單題型，但需注意這個隱含條件.7、A【解析】

由向量的夾角公式計算．【詳解】由已知，，．∴．故選A．【點睛】本題考查平面向量的數量積，掌握數量積公式是解題基礎．8、B【解析】

根據，當時，，再結合時，，可知是以為首項，為公比的等比數列，從而求出數列的通項公式.【詳解】由，當時，，所以，當時，，此時，所以，數列是以為首項，為公比的等比數列，即.故選：B.【點睛】本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎題.9、D【解析】

根據所給的數量關系，寫出要求向量的表示式，注意共線的向量之間的三分之一關系，根據表示的關系式和所給的關系式進行比較，得到結果．【詳解】如圖.依題意，設=λ，其中1<λ<，則有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且不共線，于是有x=1-λ∈，即x的取值范圍是.故選D.【點睛】本題考查向量的基本定理，是一個基礎題，這種題目可以出現在解答題目中，也可以單獨出現，注意表示向量時，一般從向量的起點出發，繞著圖形的邊到終點．10、A【解析】

利用正弦定理把題設等式中的邊換成角的正弦，進而利用兩角和公式化簡整理可得的值，由可得的值【詳解】在中，由正弦定理可得化為：即在中，，故,可得，即故選【點睛】本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理，向量的數量積的運用，考查了兩角和公式，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進而利用正弦函數的圖象和性質即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．12、【解析】

由，展開后進行計算，得到的值，從而得到答案.【詳解】因為向量，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查求向量的模長，向量的數量積運算，屬于簡單題.13、【解析】

利用結合基本不等式求得的取值范圍【詳解】由題意知，，且，所以，當且僅當等號成立，所以.故答案為：【點睛】本題考查等比數列的前n項和及性質，利用性質結合基本不等式求最值是關鍵14、【解析】

根據，可得平面，進而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點.【詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點為.故答案為：.【點睛】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應用問題，屬于基礎題.15、（或寫成）【解析】

光線從點射向y軸，即反射光線反向延長線經過關于y軸的對稱點，則反射光線通過和兩個點，設直線方程求解即可。【詳解】由題意可知，所求直線方程經過點關于y軸的對稱點為，則所求直線方程為，即.【點睛】此題的關鍵點在于物理學上光線的反射光線和入射光線關于鏡面對稱，屬于基礎題目。16、【解析】

分析：先根據三角形面積公式求出母線長,再根據母線與底面所成角得底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求結果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側面積為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,；(2)證明見詳解，，.【解析】

（1）根據遞推公式，賦值求解即可；（2）利用定義，求證為定值即可，由數列通項公式即可求得和.【詳解】（1）由條件可得，將代入得，，而，所以.將代入得，所以.從而，，.（2）由條件可得，即，，又，所以是首項為1，公比為3的等比數列，.因為，所以.【點睛】本題考查利用遞推關系求數列某項的值，以及利用數列定義證明等比數列，及求通項公式，是數列綜合基礎題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）根據定義域和對稱性即可得出的值，求出的解的個數，利用定理得出所有根的和；（2）令，則為偶函數，于是的唯一零點為，于是，即可解出的值．【詳解】解：（1）在上的圖象關于直線對稱，，令得，，即，．在上有7個零點，方程的所以根之和為．（2）令，則，是偶函數，的圖象關于軸對稱，即關于直線對稱，只有1解，的唯一解為，即，，解得．【點睛】本題考查了函數零點與函數圖象對稱性的關系，屬于基礎題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）由二倍角公式得，求得則角可求；（2），得，由正弦定理得，再結合余弦定理得則面積可求【詳解】（1）因為，所以，解得，因為，所以；（2）因為，所以，由正弦定理得所以，由余弦定理，，所以,所以.【點睛】本題考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，準確計算是關鍵，是基礎題20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設點P坐標為（x，y），運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡的方程；（2）由，則點到邊的距離為，由點到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設，則圓的圓心為運用直徑式圓的方程，得直線的方程為，結合直線系方程，即可得到所求定點．【詳解】（1）設點的坐標為由可得，，整理可得所以曲線的軌跡方程為.（2）依題意，，且，則點到邊的距離為即點到直線的距離，解得所以直線的斜率為.（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上是直線上的動點，設則圓的圓心為，且經過坐標原點即圓的方程為，又因為在曲線上由，可得即直線的方程為由且可得，解得所以直線是過定點.【點睛】本題考查點的軌