1.1.2空間向量的數量積運算A級必備學問基礎練1.如圖,在三棱錐A-BCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DB=DC=3,AD=4,E為棱BC的中點,則AE·BC=(A.3 B.2 C.1 D.02.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1·BA.22 B.42C.2 D.43.已知四面體ABCD的全部棱長都等于2,E是棱AB的中點,F是棱CD靠近C的四等分點,則EF·AC=(A.-12 B.C.-52 D.4.如圖,在棱長為1的正四面體ABCD中,M,N分別為棱BC,AD的中點,則直線AM和CN夾角的余弦值為()A.23 B.C.12 D.5.(多選題)已知四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩相互垂直,則下列結論中,確定成立的是()A.|AB+AC+B.|AB+AC+AD|2=|AB|2+|AC|2C.(AB+AC+ADD.AB6.(多選題)已知長方體ABCD-A1B1C1D1,則下列向量的數量積可以為0的是()A.AD1C.AB·A7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1全部棱長均為2,∠A1AB=∠A1AC=π3,點E,F滿足AE=12AA8.已知MN是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1內切球的一條直徑,則AM·AN=9.在平行四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的長.B級關鍵實力提升練10.(多選題)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都是1,且它們彼此的夾角都是60°,M為A1C1與B1D1的交點.記AB=a,AD=b,AA1=c,則下列說法正確的是(A.AC1=a+b+c B.BM=12aC.AA1·BD=0 D.11.如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則向量PC在向量BC上的投影向量為(用向量BC來表示).

12.如圖,在正四面體ABCD中,棱長為a,M,N分別是棱AB,CD上的點,且MB=2AM,CN=12ND,求MN的長13.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=22,AD1=25,∠BAD=60°,∠BAA1=45°,AC與BD相交于點O.(1)求AB·(2)求∠DAA1;(3)求OA1的長.

參考答案1.1.2空間向量的數量積運算1.D由題可得DA·DB=∵AE=12(AB+AC)=12(DB-DA+DC-DA)=12∵DB=DC,∴DC2=DB2,∴AE·2.D在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知|AA1|=2,|BC1因為AA1=BB1,則AA1·BC1=|AA1||BC1|3.D因為E是棱AB的中點,F是棱CD靠近C的四等分點,所以EF=因為AB·AC=|AB||AC|cos<AB,ACBC·AC=|BC||AC|cos<BC,ACCD·AC=|CD||AC|cos<CD,AC所以EF·AC=12×2+2+14×(-4.A在正四面體ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=π3因為M,N分別為棱BC,AD的中點,所以AM=12所以AM·CN=12(AB+AC)·12AD-AC=12由題可得,AM=CN=32所以|cos<AM,CN>|=即直線AM和CN夾角的余弦值為23.故選A5.ABD作如圖所示的長方體,則四面體ABCD為長方體的一部分,設|AC|=a,|AD|=b,|AB|=c.由題可得,AB+AC+AD=AEAB+AC-AD=AE|AB+AC+AD|2=|AF|2=a2+b2+c2=|AB|2+|AC|2+|∵AD⊥平面ACEB,BC?平面ACEB,∴AD⊥BC,即AD·BC∴(AB+AC+AD)·BC=(AE+AD)·由圖易知,AB⊥CD,AC⊥BD,6.ABC如圖所示,若AA1=AD,則AD1⊥B1C,故A正確;若AB=AD,則AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD,則BB1⊥AC.∵BB1∩BD=B,BB1,BD?平面B1BDD1,∴AC⊥平面B1BDD1.又BD1?平面B1BDD1,∴BD1⊥AC,故B正確;∵AB⊥平面AA1D1D,AD1?平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,故C正確;∵BD1和BC分別為矩形A1D1CB的對角線和邊,∴直線BD1和BC不行能垂直,故D錯誤.故選ABC.7.2由題可得AB·AC=∵EF=EA+AB+BF∴EF2=12AB+12AC-12AA8.2因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,所以其內切球的半徑r=12×2=1球心確定在該正方體的體對角線的中點處,且體對角線長為22+22設該正方體的內切球的球心為O,則AO=3,OM=ON=1,易知AM=AO+OM,AN=AO+ON,所以AM·AN=(AO+OM)·(AO+ON)=|AO|29.解因為PC=PA+AD+DC,所以|PC|2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC=62+42+32+2|AD||10.ACAC1=AB+BC+因為M為線段A1C1的中點,所以BM=12(BA1+BC1)=12(因為BD=AD-AB=b-a,所以AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c|AC1|=(a+11.32BC在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∵BC?平面ABC,∴PA⊥BC,PA·BC=在△ABC中,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,∴BC·BC=|BC|2=36,AB·BC=|AB||BC|cos(180°-∴向量PC在向量BC上的投影向量為PC=PA=0+18+363612.解∵MN=MB+BC+CN=23AB∴|MN|2=-13AB+13AD+23AC2=19|AB|2+19|AD|2+49|AC|2-故|MN|=|MN|即MN=5313.解(1)AB·AD=|AB||AD|cos∠BAD=4×2×cos60°=(2)因為ABCD-A1B1C1D1為平行六面體,所以四邊形AA1D1D為平行四邊形,則A1D1∥AD,A1D1