6.2.1空間向量基本定理教學(xué)目標(biāo)：1．駕馭空間向量基本定理及其推論；2．理解空間隨意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)已知向量線性表示；3．在簡(jiǎn)潔問題中，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量．教學(xué)重點(diǎn)：空間向量基本定理．教學(xué)難點(diǎn)：理解空間隨意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)已知向量線性表示，而且這種表示是唯一的．教學(xué)過程：一、問題情境問題1：平面對(duì)量基本定理表明，平面內(nèi)任一向量可以用該平面的兩個(gè)不共線向量來線性表示，那么，空間任一向量能用三個(gè)不共線的向量來線性表示嗎？二、學(xué)生活動(dòng)圖1問題2-1：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，如何用，表示？圖1回憶：平面對(duì)量基本定理內(nèi)容．圖2問題2-2：如圖2，點(diǎn)G是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，能否用，線性表示？為什么？圖2問題2-3：兩個(gè)非零向量只能線性表示它們所在平面內(nèi)的向量，不在這個(gè)平面內(nèi)的向量就不能線性表示了．那么一個(gè)非零向量只能線性表示什么樣的向量？嘗試依據(jù)之前學(xué)習(xí)閱歷，完成下表：向量與相關(guān)定理表示某一方向上的隨意向量表示某一平面內(nèi)的隨意向量表示某一空間內(nèi)的隨意向量依據(jù)共線定理平面對(duì)量基本定理基向量的個(gè)數(shù)一個(gè)基向量?jī)蓚€(gè)基向量基向量要求非零向量非零向量、不共線三、建構(gòu)數(shù)學(xué)空間向量的基本定理假如三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使．證明：（存在性）設(shè)，，不共面，過點(diǎn)作，，，．過點(diǎn)P作直線PP′平行于，交平面于點(diǎn)P′．在平面內(nèi)，過點(diǎn)P′作直線P′A′∥OB，P′B′∥OA，分別與直線OA，OB相交于點(diǎn)A′，B′，于是，存在三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使，，，∴．所以．（唯一性）假設(shè)還存在x′，y′，z′使．∴＝．∴．不妨設(shè)x≠x′即x－x′≠0，∴，∴，，共面此與已知沖突．∴該表達(dá)式唯一．綜上兩方面，原命題成立．若三向量，，不共面，那么空間的任一向量都可由，，線性表示，我們把｛，，｝叫作空間的一個(gè)基底，，，叫作基向量．空間隨意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．假如空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛上嗷ゴ怪保敲催@個(gè)基底叫作正交基底，特殊地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用｛，，｝表示．推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使．四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1如圖，在正方體OADB-CA′D′B′中，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn)，M是與CE的交點(diǎn)，試分別用向量，，表示和．解：因?yàn)椋裕伞鱋ME∽△D′MC，可得．又，則，所以．五、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)